22.2 相似三角形的判定（第4课时用三边的关系判定三角形相似）（同步课件）数学沪科版九年级上册

八年级沪科版数学上册 第二十二章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第四课时 用三边的关系判定三角形相似 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握相似三角形的判定定理3-三边成比例的两个三角形相似； 2.理解相似三角形判定定理3的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题； 3.经历从探究到证明归纳的过程，培养学生的推理能力，渗透类比的数学思想方法； 4.通过观察、猜想、探究、证明等活动，培养学生获得数学猜想的经验，提高探索知识的兴趣. 情景导入 还记得全等三角形的判定定理“边边边”（SSS）的内容吗？ 有三边对应相等的两个三角形全等 同学们还记得上节课我们学过有哪些相似三角形的判定方法呢？ 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 两角对应相等，两三角形相似． 上节课所学判定三角形相似的方法有： 1.三边成比例的两个三角形相似 新知探究 请拿出纸笔，在纸上画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 然后动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似呢？ A B C C′ B′ A′ A B C C′ B′ A′ 通过测量我们不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C’， 又因为这两个三角形的边对应成比例， 所以 △ABC ∽△A′B′C′. 亦可以用前面所学得定理证明该结论. 探究发现 ∴ C′ B′ A′ 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. B C A D E 又 ，AD=A′B′， ∴ ， . C′ B′ A′ B C A D E ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． (简记：三边成比例的两个三角形相似) ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： ∵ = = ， A ′ B ′ C ′ C B A 概念归纳 由此我们可以得到判定三角形相似的另一个定理： 例1 在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由. 课本例题 (1) AB = 5, AC = 3, ∠A = 45°, A'B' = 10, A'C' = 6, ∠A' = 45°; (2) ∠A = 38°, ∠C = 97°, ∠A' = 38°, ∠B' = 45°; (3) AB = 2, BC = , AC = , A'B' = , B'C' =1, A'C' = . ∠ A = ∠ A' = 45°, ∴ ΔABC ∽ΔΑ'Β'C'. (2) ∵∠B = 180° -(∠A + C) = 180° – (38° + 97°) =45°, ∵∠B = ∠B' = 45°. ∠A =∠A' = 38°, ∵ΔΑBC∽ΔΑ'B'C'. (1) AB = 5, AC = 3, ∠A = 45°, A'B' = 10, A'C' = 6, ∠A' = 45°; (2) ∠A = 38°, ∠C = 97°, ∠A' = 38°, ∠B' = 45°; (3) AB = 2, BC = , AC = , A'B' = , B'C' =1, A'C' = . 1. 一个三角形的三边长分别为 a ＝5， b ＝12， c ＝13，另一 个三角形的三边长分别为a'＝1，b'＝2.4，c'＝2.6，则这两 个三角形(　B　) B A. 都是直角三角形，但不相似 B. 都是直角三角形，且相似 C. 都是钝角三角形，且相似 D. 都是锐角三角形，且相似 练一练 2. [2024·合肥五十中月考]若△ ABC 的每条边长增加各自的10％得到△A'B'C'，则∠B'的度数与其对应角∠ B 的度数相比(　D　) A. 增加了10％ B. 减少了10％ C. 增加了(1＋10％) D. 没有改变 D 练一练 3. 一个三角形的三边长之比为3∶4∶5，另一个三角形的最 短边长为9，当另外两边长分别为 时，这两个 三角形相似. 12，15　 练一练 4. [2023·滁州期末]如图，在四边形 ABCD 中， E 是对角线 AC 上一点，且 ＝ ＝ . (1)若∠ DAE ＝22°，求∠ BAD 的度数； 解：(1)∵ ＝ ＝ ， ∴△ ABE ∽△ ACD ，∴∠ CAD ＝∠ BAE ＝22°， ∴∠ BAD ＝∠ CAD ＋∠ BAE ＝44°. 练一练 4. [2023·滁州期末]如图，在四边形 ABCD 中， E 是对角线 AC 上一点，且 ＝ ＝ . (2)判断△ ADE 与△ ACB 是否相似，并说明理由. 解：(2)△ ADE ∽△ ACB . 理由： ∵ ＝ ，∴ ＝ . 又∵∠ DAE ＝∠ CAB ，∴△ ADE ∽△ ACB . 练一练 概念归纳 判定三角形相似的方法技巧： 如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. C B A A′ B′ C′ 解：△ ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，根据勾股定理，得 ∴ △ ABC与△ A′B′C′相似. 课本例3.如图, 方格网的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，△ ABC与△A′B′C′相似吗?为什么? AB= , AC=2 , BC= ; A'B'= , A'C'= , B'C'=5; ∴ = = = = 2.网格中相似三角形的判定 新知探究 5. [2024·哈尔滨月考]如图，每个小正方形的边长均为1，则 下列四个选项中的三角形，与△ ABC 相似的是(　A　) A A B C D 练一练 6. [传统文化]在如图所示的象棋棋盘中(各个小正方形的边长均相等)，根据“马走日”的规则，若要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，则“马”下一步应落在(　B　) A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 B 练一练 7. 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别为 A (2，3)， B (0，1)， C (8，1)，请在图中找到点 D ，使△ ABC ∽△ DEF . (1)点 D 的坐标为 ⁠； (7，2)或(7，4)　 练一练 (2)求证：△ ABC ∽△ DEF . 证明：由题易得 AB ＝ ＝2 ， AC ＝ ＝2 ， BC ＝8， DE ＝ ＝ ， DF ＝ ＝ ，EF ＝4. ∵ ＝ ＝2， ＝ ＝2， ＝ ＝2， ∴ ＝ ＝ ，∴△ ABC ∽△ DEF . 练一练 课本练习 1，在△ABC中，∠C > ∠B，P是边AB上的一点，连接CP. （1）当∠ACP满足什么条件时△ACP∽△ABC？ （2）当AP：AC满足什么条件时，△ACP∽△ABC？ 解：（1）当∠ACP = ∠ B，△ACР∽ΔABC. （2）当 AP：AC = AC：AB时，△АCР ∽ΔАBC. 2.如图，AE = 4 cm，AD = 3 cm，DE = 2.4 cm，BD = 2 cm，CE =cm，求BC的长. 3.要画两个相似三角形，其中一个三角形的三边长分别为8，10，12，另一个三角形的一边长是4， 求另一个三角形的其余两边长. 你画的三角形唯一吗？ A D E C 解：不唯一. （1)若4与8是对应边，设与10和12对应的两边分别为x，y，则.解得x=5，y=6. （2）若4与10是对应边，设与8和12对应的两边分别为x，y，则，解得x=3.2，y=4.8. （3）若4与12是对应边，设与8和10对应的两边分别为x，y，则，解得. 4.顺次连接三角形三边中点所得的小三角形与原三角形相似吗？为什么？ B D A F C E 解：相似，理由如下： 如右图所示，在 △ABC 中，点 D，E，F 分别为三边的中点， 则 DE，EF，DF 分别为△ABC 的三条中位线， 即DE=AC，EF=AB，DF=BC， 则， 所以ΔΕFD∽ΔABC. 1. [2024·常州二十四中月考]已知△ABC的三边长分别为6 cm，7. 5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当这两个三角形相似时， △DEF的另外两边长可以是( ) A. 2 cm，3 cm B. 4 cm，5 cm C. 5 cm，6 cm D. 6 cm，7 cm C 分层练习-基础 29 2. 一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条. 要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有 (　　) A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种 B 30 【点拨】由题易知长120 cm的木条不能作为一边. 设从长120 cm的木条上截下的两段分别长x cm，y cm(x<y，x＋y≤120)， ①当长60 cm的木条与长75 cm的边对应时，有 ，解得x＝80，y＝96. ∵x＋y＝176>120，不符合题意，∴舍去. ②当长60 cm的木条与长100 cm的边对应时，有 ，解得x＝45，y＝72，∵x＋y＝117＜120，∴符合题意. ③当长60 cm的木条与长120 cm的边对应时，有 ，解得x＝37. 5，y＝50. ∵x＋y＝87. 5＜120，∴符合题意. 故不同的截法有两种. 33 34 35 ①和③ 4. 如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是__________. 38 D 5. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是(　　) A. CE≠ BD 　 B. △ABC ≌△CBD C. AC＝CD 　 D. ∠ABC＝∠CBD 39 【点拨】 6. 已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m＋n的值为_____________________. 42 【点拨】当3，4为直角边长，6，8也为直角边长时，两个三角形相似，不合题意； 当三边长分别为3，4， 和6，8，2 时，两个三角形相似，不合题意； 当3，4为直角边长，8为另一个直角三角形的斜边长时， m＝5，n＝ ＝2 ，此时两个三角形不相似，因此 m＋n＝5＋2 ； 当6，8为直角边长时，4为另一个直角三角形的斜边长时，n＝10，m＝ ＝ ，此时两个三角形不相似，因此m＋n＝10＋ . 综上， m＋n的值为 . 7. 图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成. 图①是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求在图①中选择其中一个图形画出相应的格点图形(顶点均在格点上). 分层练习-巩固 44 (1)选一个四边形画在图②中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3格后所得的图形； (答案不唯一) 【解】如图所示. 45 (2)选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的 倍，画在图③中. (答案不唯一) 【解】如图所示. 46 【证明】易知AB2＝20，AC2＝5， BC2＝25. ∴AB2＋AC2＝BC2. ∴△ABC为直角三角形. 8. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)求证：△ABC为直角三角形； 47 (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； 48 (3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似(要求：不写作法与证明). 【解】如图，△P4P5P2即为符合要求的三角形. 49 9. 如图，四边形ABCD,CDEF,EFGH都是边长相等的正方形. (1)△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由. 50 51 【解】∵△ACF∽△GCA， ∴∠1＝∠CAF. ∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°. (2)求∠1＋∠2的度数. 52 【证明】∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点， ∴ED，EF，DF分别为△AOB，△OBC，△AOC的中位线. ∴△ABC∽△DEF. 10. 如图①，△ABC内有任一点O，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点. (1)求证：△ABC∽△DEF； 分层练习-拓展 53 (2)如果点O在△ABC的外部(如图②)，请仿照图①画出图形，探讨①中的结论是否成立. 【解】画出图形如图，(1)中结论仍成立，证明同(1)，略. 54 成比例 B 课堂反馈 D 课堂反馈 利用三边判定两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 课堂小结 ＝＝ ＝＝ ＝＝ 3. 如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝. (1)当＝＝时，求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格. ＝＝ ∠A＝∠A′ (2)当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由. 【解】△ABC与△A′B′C′相似. 理由如下： 如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于点E，D′E′交A′C′于点E′. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC. ∴＝＝. 同理可证＝＝. 又∵＝，∴＝，＝. ∴＝，＝，即＝. ∴＝. 又∵＝＝，∴＝＝. ∴△DCE∽△D′C′E′. ∴∠CED＝∠C′E′D′. ∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°. 同理∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°. ∴∠ACB＝∠A′C′B′. 又∵＝，∴△ABC∽△A′B′C′. 如图所示. 易知BC＝＝2， CD＝＝，BD＝＝5， 由EF∥GD，易得△BFE∽△BGD， ∴＝，即＝，解得EF＝1. 5. ∴CE＝CF－EF＝4－1. 5＝2. 5. ∴＝＝，即CE＝BD，故选项A错误. 显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误. ∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故选项C错误. ∵＝＝＝，∴△BAC∽△BCD. ∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确. 5＋2或10＋ 5＋2或10＋ 【解】△ABC和△DEF相似. 理由如下： 由(1)得AB＝2，AC＝，BC＝5. 根据勾股定理得DE＝4，DF＝2，EF＝2， ∴＝＝＝. ∴△ABC∽△DEF. 【解】△ACF与△GCA相似. 理由：可设正方形ABCD，CDEF，EFGH的边长为a，则△ACF的三边长分别为AC＝a，CF＝a，AF＝a，△GCA的三边长分别为AC＝a，CG＝2a，AG＝a. ∴＝＝，＝＝，＝＝. ∴＝＝. ∴△ACF∽△GCA. ∴＝＝＝. 相似三角形的判定定理3 三边 的两个三角形相似． 自我诊断1. 已知△ABC的三边长分别为2,5,6.若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长可以是(　　) A．3,6,7　　　　　　　 B．6,15,18　　　　　　　 C．3,8,9　　　　　　　 D．8,10,12 易错点1: 忽略对应导致解题错误． 2. △ABC的三边长分别为3，eq \r(3)，eq \r(15)，△A1B1C1的两边长分别为1和eq \r(5)，则△A1B1C1的第三边长为　　时，△ABC与△A1B1C1相似． 易错点2: 考虑不周全，导致漏解． 3. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别是4,5,6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为(　　) A．2.5,3 B．eq \f(4,3)，eq \f(5,3) C．1.6,2.4 D．2.5,3或1.6,2.4或eq \f(4,3)，eq \f(5,3) eq \r(3) $$