22.1.4 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

九年级人教版数学上册 第二十二章 二次函数 22.1.4 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质 第二课时 用待定系数法求解二次函数表达式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点） 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点） 情景导入 一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？ 通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 求一次函数表达式的方法是什么？ 它的一般步骤是什么？ 一次函数y=kx+b(k≠0)有两个待定系数，通常需要已知两个点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标便可求出它的表达式. 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写解析式） 求二次函数表达式的方法步骤 若一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，你能使用待定系数法求出这个二次函数的解析式吗？ 本节课我们就来学习待定系数法，来解决这个问题. 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式. 1.用一般式求解二次函数表达式 新知探究 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？ 需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 那么对于二次函数呢？有几个点可以确定二次函数，并且这几个点需要满足什么条件？ 有三个待定系数，我们需要其三点坐标即可求出这个二次函数的表达式. 回到导入的问题，如果一个二次函数的图象经过(-1，10)， (1，4)，(2，7)三点，我们如何求这个二次函数的解析式呢？ 解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. 由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，得关于a，b，c的三元一次方程组， 解得 1.设一般式 2.点代入一般式 3.解得方程组 ∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5. 4.写出解析式 典例剖析 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 步骤如下： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 一般式法求解二次函数表达式的方法 概念归纳 7 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。 由不在同一直线上的三点列出关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。 概念归纳 任意三点不可以在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴. 1.一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得 4a+2b+1=4， 9a+3b+1=10， 解这个方程组，得 ∴所求的二次函数的表达式是 练一练 根据以下步骤依次运算即可： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 2.如图所示是二次函数的图象，试求这个二次函数的解析式． 解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c过点(0，2)，(1，0)，(2，0)三点， 解得： ∴二次函数的解析式为： 练一练 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），请你试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k, 把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 2.用顶点式求解二次函数表达式 新知探究 用顶点式求解二次函数步骤与一般式相同，只是在设方程时设为顶点式而已，代点求解即可 已知顶点坐标用顶点式求二次函数 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 概念归纳 3.若我们已知抛物线的顶点坐标为(1，－1)，过原点，试求抛物线的解析式. 解：设这个二次函数的表达式为 代入（0，0），得0=a-1， 解得：a=1. 所以抛物线的解析式为 将顶点坐标代入得： 练一练 3.用交点法求解二次函数表达式 新知探究 若有(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 在直角坐标系中建立函数图象，我们可以发现这三个点中有两点与x轴有交点. 解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点. 所以可设这个二次函数的表达式是 y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标）. 因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 ∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 概念归纳 已知抛物线与x轴的交点用交点式求解二次函数表达式的方法 步骤如下： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式. 解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3) ∵图象过点C(0,3) ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3 练一练 5.如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式. 解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3, 知抛物线一定过点(-2,0). 设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8), ∵抛物线过点(0,4), ∴4=a(0+2)(0-8), 练一练 6.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8， 求其解析式. 解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), ∵抛物线过点(1,16) ∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15. 练一练 利用待定系数法求二次函数解析式时， 一般可以分以下几种情况： (1)顶点在原点，可设为y＝ax2； (2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋k； (3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2； (4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx； (5)已知顶点(h，k)时，可设顶点式y＝a(x－h)2＋k； (6)已知抛物线上三点时，可设一般式为y＝ax2＋bx＋c； (7)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，可设交点式为y＝a(x－x1)(x－x2)． 概念归纳 已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)， 3=4a+c， －3=a+c， ∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5. ∴{ a=2， c=－5. 解得 { 我们发现这两点坐标关于y轴对称 4.特殊条件下求二次函数的表达式 新知探究 课本练习 1.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与时，y=0.求这个二次函数的解析式. 1.解：设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）. 根据题意，得 c=-1， a=1， 4a-2b+c=0， b= , c=-1. 解得 所求二次函数的解析式为y=x²+ x-1. 2.一个二次函数的图象经过（0，0），（-1，-1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）. 根据题意，得 c=0， a-b+c=-1，解得， a+b+c=9. 所求二次函数的解析式为y=4x²+5x. b=5， a=4， c=0. 课本练习 A C 随堂练 B y＝－x2＋x＋2 随堂练 2x2－1 随堂练 随堂练 方程组 a、b、c －6 13 y＝2x2－3x＋5 分层练习-基础 分层练习-基础 a(x－h)2＋k B 分层练习-基础 a(x－x1)(x－x2) 分层练习-基础 D D 分层练习-巩固 D y＝x2－x－2 y＝x2＋2x＋3 分层练习-巩固 y＝x2－4x或y＝x2－4x＋3 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 一个矩形的长是宽的 2 倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数解析式. 1. 解：设这个矩形的宽为 x，面积为 y，则 y = 2x2. 习题22.1 某种商品的价格是 2 元，准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是 x，经过两次降价后的价格 y（单位：元）随每次降价的百分率 x 的变化而变化，y 与 x 之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 2. 解：y = 2(1 – x)2. 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象： y = 4x2，y = –4x2，y = x2. 3. 解：列表如下： x … –2 –1 0 1 2 … y = 4x2 … 16 4 0 4 16 … y = –4x2 … –16 –4 0 –4 –16 … y = x2 … 1 0 1 … 描点、连线，如图所示. 分别写出抛物线 y = 5x2 与 y = – x2 的开口方向、对称轴和顶点. 4. 解：抛物线 y = 5x2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标是（0，0）； 抛物线 y = 的开口向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标是（0，0）. 分别在同一直角坐标系中，描点画出下列各组二次函数的图象，并写出对称轴和顶点： （1）y = x2 + 3，y = x2 – 2； （2）y = – (x + 2)2，y = – (x – 1)2； （3）y = (x + 2)2 – 2，y = (x – 1)2 + 2. 5. （1）对称轴是 y 轴，顶点分别是(0，3)，(0，-2). （2）对称轴分别是 x = -2，x = 1， 顶点依次是 (-2，-2)，(1，2). （3）对称轴分别是 x = -2，x = 1， 顶点依次是 (-2，-2)，(1，2). 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图： （1）y = -3x2 + 12x - 3； 6. 解：∵a = -3，b = 12，c = -3， ∴ ∴ 抛物线 y = -3x2 + 12x - 3 的开口向下，对称轴为直线 x = 2，顶点坐标是（2，9）. 描点画图略. 解：∵a = 4，b = -24，c = 26, ∴ ∴ 抛物线 y = 4x2 - 24x + 26 的开口向上，对称轴为直线 x = 3，顶点坐标是 (3，-10). 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图： （2）y = 4x2 - 24x + 26； 6. 解：∵a = 2，b = 8，c = -6， ∴ ∴ 抛物线 y = 2x2 + 8x - 6的开口向上，对称轴是 x = -2，顶点坐标为（-2，-14）. 描点画图略. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图： （3）y = 2x2 + 8x - 6； 6. 解：∵a = ，b = -2，c = -1， ∴ ∴ 抛物线 y = x2 - 2x - 1 的开口向上，对称轴是 x = 2，顶点坐标是（2，-3）. 描点画图略. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图： （4）y = x2 - 2x - 1． 6. 填空： (1) 已知函数 y = 2(x + 1)2 + 1，当 x < 时，y 随 x 的增大而减小，当 x > 时，y 随 x 的增大而增大； (2)已知函数 y = -2x2 + x - 4，当 x < 时，y 随 x 的增大而增大，当 x > 时，y随x的增大而减小. 7. -1 -1 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 12 mm，BC = 24 mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 mm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 mm/s 的速度移动. 如果 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，那么△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 如何变化？写出 S 关于 t 的函数解析式及 t 的取值范围. 8. 解：由题意，可知 S = (12 - 2t)×4t = 4t(6 - t) = -4t2 + 24t，即△PBQ 的面积 S 关于时间 t 的函数解析式为 S = -4t2 + 24t. 又∵线段的长度只能为正数， ∴ ∴ 0 < t < 6，即自变量 t 的取值范围是 0 < t <6. 一辆汽车的行驶距离 s (单位：m) 关于行驶时间 t (单位：s) 的函数解析式是 s = 9t + t2，经过 12 s 汽车行驶了多远？行驶 380 m 需要多少时间？ 9. 解：当 t = 12 时，s = 9t + t2 = 9×12 + ×122 = 180；当 s = 380 时，380 = 9t + t2，解得 t1 = -38 (不合题意，舍去)，t2 = 20． 答：经过 12 s 汽车行驶了 180 m，行驶 380 m 需要 20 s. 根据二次函数图象上三个点的坐标，求出函数的解析式： （1）（-1，3），（1，3），（2，6）； *10. 解：抛物线的对称轴为 = 0， 设该抛物线的解析式为 y = ax2 + k (a ≠ 0)， 代入点 (1，3)，(2，6)，得 ∴ 所求函数解析式为 y = x2 + 2. （2）（-1，-1），（0，-2），（1，1）； 解：设函数解析式为 y = ax2 + bx +c (a ≠ 0)， 代入点 (-1，-1)，(0，-2)，(1，1) ，得 解得 ∴ 所求函数解析式为 y = 2x2 + x - 2. （3）（-1，0），（3，0），（1，-5）； 解：设函数解析式为 y = a(x + 1)(x - 3) (a ≠ 0)， 代入点（1，-5），得 -5 = a(1 + 1)(1 - 3)， 解得 a = ． ∴ 所求解析式为 y = (x + 1)(x - 3)，即 y = x2 - x - . （4）（1，2），（3，0），（-2，20）. 解：设函数解析式为 y = ax2 + bx +c (a ≠ 0)， 代入点 (1，2)，(3，0)，(-2，20)，得 解得 ∴ 所求函数解析式为 y = x2 - 5x + 6. 抛物线 y = ax2 + bx + c 经过 (-1，-22)，(0，-8)，(2，8) 三点，求它的开口方向、对称轴和顶点. *11. 把 (-1，-22)，(0，-8)，(2，8) 分别代入 y = ax2 + bx + c 中，解得 a = -2，b = 12，c = -8. 所以抛物线的解析式为 y = -2x2 + 12x - 8 =-2(x - 3)2 + 10． 其开口向下，对称轴为直线 x = 3，顶点坐标为 (3，10). 解： 如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加 1.5 m/s. 12. （1）写出滚动的距离 s (单位：m) 关于滚动的时间 t (单位：s)的函数解析式．(提示：本题中，距离 = 平均速度 v×时间 t，v = ，其中，v0 是开始时的速度，vt 是 t 秒时的速度.) 解：由题意得 = = = t， ∴ s = t = t2． （2）如果斜面的长是 3 m，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 解：把 s = 3 代入 s = 中， 得 t = 2 (t = -2 舍去). 答：钢球从斜面顶端滚到底端要用 2 s. 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 课堂小结 1.一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5.则这个二次函数的关系式是( ) A.y＝4x2＋3x－5　　　　 B.y＝2x2＋x＋5 C.y＝2x2－x＋5 D.y＝2x2＋x－5 2.下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴且经过点(0,1)的是( ) A.y＝(x－2)2＋1 B.y＝(x＋2)2＋1 C.y＝(x－2)2－3 D.y＝(x＋2)2－3 3.(河南中考)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为( ) A.－2　　 　 B.－4　　 　 C.2　　 　 D.4 4.如图，抛物线的解析式为 . 5.抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，且过点(2,7)、(－eq \r(3)，5)，则y＝ . 6.根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式： (1)已知抛物线的顶点坐标是(1,2)，且过点(2,3)； (2)已知二次函数的图象经过(1，－1)、(0,1)、(－1，13)三点； (3)已知抛物线与x轴交于点(1,0)、(3,0)，且图象过点(0，－3). 解：(1)根据题意设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋2，将(2,3)代入得：a＋2＝3，即a＝1，则抛物线解析式为y＝x2－2x＋3； (2)设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，将(1，－1)、(0,1)、(－1,13)三点代入得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－1,c＝1,a－b＋c＝13))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝－7,c＝1))，则抛物线解析式为y＝5x2－7x＋1； (3)根据题意设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，将(0，－3)代入得：3a＝－3，即a＝－1，则抛物线解析式为y＝－x2＋4x－3. 知识点一：已知任意点求二次函数的解析式 由已知条件列出关于a、b、c的 ，求出 的值，就可以写出二次函数的解析式． 1．已知点A(2,5)、B(4,5)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，则b＝ ，c＝ . 2．若一个二次函数图象经过点(－1,10)、(2,7)和(1,4)三点，则这个函数解析式为 . 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时y＝1；当x＝－1时y＝6；当x＝1时y＝0，求这个二次函数的解析式． 解：依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0,a－b＋c＝6,c＝1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－3,c＝1)).∴函数解析式为：y＝2x2－3x＋1. 知识点二：已知顶点求二次函数的解析式 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值时，可设顶点式y＝ . 4．已知二次函数的图象顶点坐标为(2，－3)且经过点(0,3)，则解析式为 　　 　. 5．二次函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，则p、q的值为(　　) A．p＝－2，q＝15　　　　 B．p＝－2，q＝5或p＝－6，q＝13 C．p＝－6，q＝13 D．p＝2，q＝－5或p＝6，q＝－13 y＝eq \f(3,2)(x－2)2－3 知识点三：已知抛物线与x轴的交点，求二次函数的解析式 当已知抛物线与x轴的交点坐标时，可设交点式y＝ ． 6．已知二次函数的图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，与y轴交于(0,2)，则这个函数解析式为　 　. 7．已知二次函数的图象与x轴交于A(－2,0)、B(3,0)两点，且函数有最大值2，求二次函数的解析式． y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(5,2)x＋2 解：y＝－eq \f(8,25)(x－eq \f(1,2))2＋2. 8．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(－1，－11)、B(1,9)两点，则这个二次函数的解析式是(　　) A．y＝－10x2＋x　　　　 B．y＝－10x2＋19 C．y＝10x2＋x D．y＝－x2＋10x 9．若抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点为(－3,6)，则b、c的值分别为(　　) A．b＝－6，c＝15 B．b＝6，c＝－15 C．b＝－6，c＝－15 D．b＝6，c＝15 10．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出了下面的表格： x … －2 －1 0 1 2 … y … －11 －2 1 －2 －5 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是(　　) A．－11　　 B．－2　　 C．1　　 D．－5 11．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1,0)和(2,0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，则这个二次函数的解析式为 . 12．如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0,3)，那么所得新抛物线的表达式是 . 13．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过A(c,0)，且关于直线x＝2对称，则这个二次函数的解析式为 . 14．用待定系数法求下列二次函数的解析式： (1)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且经过原点(0,0)，求该二次函数的解析式； (2)一个二次函数，当x＝－2与3时，y＝0，且函数图象最高点的纵坐标为2. 解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－1，把点(0,0)代入上式得0＝a(0－1)2－1，解得a＝1，∴此二次函数的解析式为：y＝(x－1)2－1，即：y＝x2－2x； (2)设二次函数的解析式为：y＝a(x＋2)(x－3)，整理得：y＝ax2－ax－6a，∵此函数图象的最高点的纵坐标为2，∴eq \f(4a·－6a－a2,4a)＝2，解得a＝－eq \f(8,25).∴此函数的解析式为：y＝－eq \f(8,25)(x＋2)(x－3)．即：y＝－eq \f(8,25)x2＋eq \f(8,25)x＋eq \f(48,25). 15．(宁波中考)已知抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过点(1,0)、(0，eq \f(3,2))． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式． 解：(1)把(1,0)、(0，eq \f(3,2))分别代入y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋b＋c＝0,c＝\f(3,2)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－1,c＝\f(3,2)))，故抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)； (2)∵y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2)(x＋1)2＋2，∴其顶点坐标为(－1,2)．∴为使平移后的抛物线的顶点恰好落在原点，可先将其向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度(答案不唯一，正确即可)．平移后的函数表达式为y＝－eq \f(1,2)x2. 16．已知函数y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋b(ab≠0)．在同一平面直角坐标系中： (1)若函数y1的图象过点(－1,0)，函数y2的图象过点(1,2)，求a、b的值． (2)若函数y2的图象经过y1的图象的顶点． ①求证：2a＋b＝0； ②当1＜x＜eq \f(3,2)时，比较y1与y2的大小． 解：(1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－b＝0,a＋b＝2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1))； (2)①证明：因为函数y1的图象的顶点坐标为(－eq \f(b,2a)，eq \f(－b2,4a))，所以a(－eq \f(b,2a))＋b＝eq \f(－b2,4a)，即b＝eq \f(－b2,2a).因为ab≠0，所以－b＝2a，所以2a＋b＝0；②由①可得，b＝－2a，所以y1＝ax(x－2)，y2＝a(x－2)，所以y1－y2＝a(x－2)(x－1)．因为1＜x＜eq \f(3,2)，所以x－2＜0，x－1＞0，所以(x－2)(x－1)＜0，所以当a＞0时，a(x－2)(x－1)＜0，即y1＜y2；当a＜0时，a(x－2)(x－1)＞0，即y1＞y2. 会用一般式求二次函数的解析式． 【例1】已知二次函数的图象经过点A(3,0)、B(2，－3)、C(0，－3)，求此函数的解析式． 【思路分析】　知道三个点的坐标，可设一般式，把三个点坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组即可． 【规范解答】　设此函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＝9a＋3b＋c,－3＝c,－3＝4a＋2b＋c))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－2,c＝－3)). ∴此函数的解析式为y＝x2－2x－3. 会用顶点式求二次函数的解析式． 【例2】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，顶点(1，－4)，与x轴交于点(－1,0)，求此抛物线的解析式． 【思路分析】　知道顶点坐标，可以设顶点式，再把(－1,0)代入即可． 【规范解答】　∵顶点为点(1，－4)，∴设抛物线解析式为y＝a(x－1)2－4(a≠0)，将(－1,0)代入y＝a(x－1)2－4，解得a＝1，∴y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3. 会用交点式求二次函数解析式． 【例3】已知抛物线交x轴于点A(－2，0)、点B(4,0)，交y轴于点C(0，－4)，求抛物线的解析式． 【思路分析】　已知抛物线与x轴的两交点坐标，可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，把C点坐标代入即可． 【规范解答】　∵抛物线交x轴于点A(－2，0)、点B(4,0)，∴设抛物线解析式为y＝a(x＋2)(x－4)(a≠0)，∵点C(0，－4)在此抛物线上，∴－4＝a(0＋2)(0－4)，∴a＝eq \f(1,2)，∴所求的抛物线解析式为y＝eq \f(1,2)(x＋2)(x－4)，即y＝eq \f(1,2)x2－x－4. $$