第02讲 等差数列及其前n项和（十大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测 2025年高考数学 第02讲 等差数列及其前n项和 目录 CONTENTS 考情透视·目标导航 01 知识导图·思维引航 02 考点突破·题型探究 03 真题练习·命题洞见 04 05 06 课本典例·高考素材 易错分析·答题模板 01 考情透视·目标导航 考点要求 考题统计 考情分析 （1）等差数列的概念 （2）等差数列的通项公式与求和 （3）等差数列的性质 2024年甲卷（文）第5题，5分 2024年II卷第12题，5分 2023年甲卷（文）第5题，5分 2023年I卷第7题，5分 2022年上海卷第10题，5分 2022年乙卷（文）第13题，5分 （1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算． （2）解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查． 复习目标： （1）理解等差数列的概念． （2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． （3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． （4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 4 02 知识导图·思维引航 稿定PPT 02 03 考点突破·题型探究 知识梳理·基础回归 知识点1：等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，定义表达式为 . (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有_________ 2 同一 个常数 d an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*) 2A＝a+b 8 知识梳理·基础回归 知识点2：等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ . (2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ . a1＋(n－1)d 9 知识梳理·基础回归 知识点3：等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 10 知识梳理·基础回归 （7）若项数为偶数，则； ；． （8）若项数为奇数，则；；． 知识点3：等差数列的常用性质 11 知识梳理·基础回归 （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 知识点3：等差数列的常用性质 12 知识梳理·基础回归 解题方法总结 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 13 【典例1-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．3 B．7 C．11 D．23 【答案】C 【解析】，解得， ． 故选：C 题型一：等差数列的基本量运算 题型突破·考法探究 【典例1-2】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由，， 得，解得， 则等差数列的公差， 于是， 由，得， 所以．故选：B   题型一：等差数列的基本量运算 【方法技巧】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 题型突破·考法探究 【变式1-1】（2024·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【解析】设等差数列公差为，∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 题型一：等差数列的基本量运算 题型突破·考法探究 【典例2-1】已知数列的前n项和为，若， ．记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由． 【解析】因为， 当时，，又因为，所以 当时，因为， 由，得①， 所以②， 所以①-②得：，， 所以，，， 但 所以不是等差数列． 题型二：等差数列的判定与证明 题型突破·考法探究 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）数列的前项和满足．证明：是等差数列； 【解析】由题意（*）， 两边同加项，得：， 由（*）式可得： ， 所以， 得， 即成立， 当时，，得； 综上，恒成立， 所以是以2为公差的等差数列． 题型二：等差数列的判定与证明 题型突破·考法探究 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）数列的前项和满足．证明：是等差数列； 【方法技巧】 判断数列是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 题型二：等差数列的判定与证明 题型突破·考法探究 【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足． 证明：数列是等差数列； 【解析】证明：令，又，则有 ， 又，所以 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列 题型二：等差数列的判定与证明 题型突破·考法探究 【典例3-1】（2024·高三·上海·期中）已知等差数列的前项的和为，且，，则正整数的值为 ． 【答案】 【解析】在等差数列中，由，得，因为成立，由对称性知，， 则， 所以 所以 所以， 即，解得． 题型三：等差数列的性质 题型突破·考法探究 【典例3-2】（2024·上海·模拟预测）记等差数列的前项和为，，则 ． 【答案】78 【解析】因为为等差数列，所以． 故答案为：78．   【方法技巧】 如果为等差数列，当时， ． 题型三：等差数列的性质 题型突破·考法探究 【变式3-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 则． 故答案为：． 题型三：等差数列的性质 题型突破·考法探究 【典例4-1】（2024·高三·天津宁河·期末）已知等差数列， 的前项和分别为，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以 ． 故答案为： 题型四：等差数列前n项和的性质 题型突破·考法探究 【典例4-2】在等差数列中，，其前项和为，若，则 ． 【答案】 【解析】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列． 因为，所以的公差为，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以．   【方法技巧】 在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列． 题型四：等差数列前n项和的性质 题型突破·考法探究 【变式4-1】等差数列 ， 的前 项和分别为 ，，若对任意的正整数 都有 ，则 ． 【答案】 【解析】． 故答案为：． 题型四：等差数列前n项和的性质 题型突破·考法探究 【典例5-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】在等差数列中，，由，可得， ，，且数列为递减数列， 所以使得前n项的和最大的n值为8． 故选：B． 题型五：等差数列前n项和的最值 题型突破·考法探究 【典例5-2】（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 所以当时，取得最小值． 故选：D． 题型五：等差数列前n项和的最值 题型突破·考法探究 【典例5-2】（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 求等差数列前项和最值的2种方法 （1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． （2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值； ②若，则满足的项数使得取得最小值． 题型五：等差数列前n项和的最值 题型突破·考法探究 【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．10 C．10或11 D．11 【答案】B 【解析】由等差数列的性质知， 即． 又，故，则，，则， 则当取最小值时，． 故选：B． 题型五：等差数列前n项和的最值 题型突破·考法探究 【典例6-1】（2024·云南曲靖·二模）小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（    ） A．25元 B．18元 C．20元 D．16元 【答案】C 【解析】因为这3本书的单价既是等差数列，又是等比数列， 所以该数列为非零常数列， 则每本书的单价为元． 故选：C． 题型六：等差数列的实际应用 题型突破·考法探究 【典例6-2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（    ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【解析】设出每一秒钟的路程为数列， 由题意可知为等差数列， 则数列首项，公差， 所以， 由求和公式有，解得， 故选：C． 题型六：等差数列的实际应用   【方法技巧】 利用等差数列的通项公式与求和公式求解． 题型突破·考法探究 【变式6-1】（2024·高三·浙江嘉兴·期末）卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0．1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（    ） A．25．7m B．30．6m C．35．3m D．40．4m 【答案】C 【解析】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为：， 可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为： ， 且． 由等差数列的求和公式得： 故选：C 题型六：等差数列的实际应用 题型突破·考法探究 【典例7-1】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 【解析】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是． 题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 题型突破·考法探究 【典例7-1】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． （2）由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时， ， 题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 题型突破·考法探究 【典例7-1】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 当时， ， 因此， 所以当时，． 题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 题型突破·考法探究 【典例7-2】已知数列满足，， （1）求； （2）当为奇数时，求数列的前项和 【解析】（1）因为， 所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以． （2）由， 所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 得到， 设， 则 题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 题型突破·考法探究 【典例7-2】已知数列满足，， （1）求； （2）当为奇数时，求数列的前项和 ， 又，所以为奇数时，  【方法技巧】 对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类． 题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 题型突破·考法探究 【变式7-1】已知数列的通项公式为 （1）求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意得：，则为等差数列，首项． ∴． （2） ∴① ∴② ①-②得， ∴ ． 题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 题型突破·考法探究 【典例8-1】（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为． （1）确定常数，并求； （2）求数列的前15项和． 【解析】（1）由数列的前n项和， 根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值， 即，解得，所以，     当时，， 当时，（符合上式）， 所以数列的通项公式为． 题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 题型突破·考法探究 【典例8-1】（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为． （1）确定常数，并求； （2）求数列的前15项和． （2）由（1）知，可得， 且当且时，可得；当且时，可得， 所以数列的前15项和： ． 题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 题型突破·考法探究 【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为．若为等差数列，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，， ，， ， ，则，， ，又， ，． （2）由（1）得，， 当时，， 题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 题型突破·考法探究 【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为．若为等差数列，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 当时， ， ．   【方法技巧】 由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下： （1）首先找出零值或者符号由正变负的项 （2）在对进行讨论，当时，，当时， 题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 题型突破·考法探究 【变式8-1】（2024·高三·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【解析】（1）设的公差为d，依题意得，所以， 即， 化简得，解得或（舍去）， 故， （2）依题意，． 当时，，故； 题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 题型突破·考法探究 【变式8-1】（2024·高三·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 当时，， 故 ． 故 题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 题型突破·考法探究 【典例9-1】（2024·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，所以且，则， 若，不妨令，则，，，，，， 显然不单调，故充分性不成立， 若为递减数列，则不是常数数列，所以单调， 若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾； 所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立， 故“”是“为递减数列”的必要不充分条件．故选：B 题型九：利用等差数列的单调性求解 题型突破·考法探究 【典例9-2】（2024·贵州铜仁·二模）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】C 【解析】由得，∴数列为递减的等差数列， ∵，∴，， ∴当且时，，当且时，， ∴有最大值，最大值为． 故选：C． 题型九：利用等差数列的单调性求解 题型突破·考法探究 【典例9-2】（2024·贵州铜仁·二模）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是  【方法技巧】 （1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”． （2）数列的单调性与，的单调性不完全一致． 一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”． 题型九：利用等差数列的单调性求解 题型突破·考法探究 【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有．若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【解析】由得：，即， 数列为递增的等差数列， ，，， 当且时，；当且时，； 有最小值，最小值为． 故选：A． 题型九：利用等差数列的单调性求解 题型突破·考法探究 【典例10-1】（多选题）（2024·高三·山东临沂·期中）公差为的等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．中最大 D． 【答案】CD 【解析】A：由，得， 由，得，所以，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B错误； C：因为，，，所以数列是递减数列， 其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确； D：由选项A的分析知，，，， 所以，且，即，所以，故D正确． 故选：CD 题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 题型突破·考法探究 【典例10-2】（多选题）公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．中最大 D． 【答案】AD 【解析】由，得， 又，得，， 所以，，数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数， 等差数列，公差，A选项正确；，B选项错误； 前6项和最大，C选项错误； 由，，有， 则，D选项正确． 故选：AD． 题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 题型突破·考法探究 【典例10-2】（多选题）公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．中最大 D． 【方法技巧】 等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面．这类问题通常涉及数列的通项公式、前n项和公式以及不等式性质的应用．解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的通项或前n项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒成立． 题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 题型突破·考法探究 【变式10-1】（多选题）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数k可能为（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】BC 【解析】因为当且仅当时，取得最大值， 所以，公差，且，． 所以，， ， 故时，． 当时，，则满足的最大的正整数为； 当时，，则满足的最大的正整数为， 故满足的最大的正整数可能为与．故选：BC． 题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 题型突破·考法探究 04 真题练习·命题洞见 稿定PPT 02 B C B D 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为， 若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和， 已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和． 若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为， 集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 55 05 课本典例·高考素材 1．在等差数列中，，，且，求． 【解析】设等差数列的公差为 则 所以 57 2．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足 ． （1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 【解析】（1）数列是等差数列， 证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以， 又因为， 故 ， 而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列， 而，，所以． 58 3．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数． 【解析】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， ，解得， 项数，中间项为， 由， 所以此数列中间一项是，项数为． 59 06 易错分析·答题模板 02 易错点：忽视数列的首项 易错分析：由求通项公式，可用求解．当时，如果不适合，则应写成分段形式． 【易错题1】已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ．   【易错题2】数列的前项和，则该数列的通项 ． 61 感谢观看 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