训练题 27-“枫叶新希望杯”九年级数学竞赛训练题

NEWHOPECUP １０４　 九年级训练题(二十七) (第１题图) 一、选择题 １．如图,菱形ABCD 绕点D 旋转后得到菱形DEFG, 则下列角中不是旋转角的是(　　)． A．∠EDC B．∠ADE C．∠BDF D．∠CDG ２．在半径为１０cm 的☉O 中,弦AB＝１０cm,则弦AB 所对的圆周角的度数为(　　)． A．３０° B．６０° C．３０°或１５０° D．６０°或１２０° ３．已知∠A 为锐角,则 (１－cosA)２ ＝(　　)． A．cosA－１ B．１－cosA C．１＋cosA D．sinA ４．已知多项式x２－mx－６含有因式x－３,则实数m 的值为(　　)． A．－５ B．５ C．－１ D．１ ５．某同学在投掷飞镖时,发现镖盘上有十个环(包括中心圆),投中中心圆记为１０分,投中镖 盘上依次往外的大环,分别记作９分、８分、７分、６分、５分、４分、３分、２分、１分,这名同学 投掷两次都投中了镖盘,那么第二次的得分比第一次的得分高的概率为(　　)． A．９２０ B． １ ２ C． １１ ２０ D． ３ ５ (第６题图) ６．如图,已知在直角△ABC 中,点D 为斜边BC 的中点,过 点A 作AE⊥AD 交CB 的延长线于点E,则下列说法正 确的是(　　)． A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC ７．已知二次函数y＝ a－b２ æ è ç ö ø ÷x２－cx－a－b２ 的顶点为 １,－８５b æ è ç ö ø ÷ ,那么以a、b、c为边长的三 角形的形状是(　　)． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 ８．已知正比例函数y１＝x,反比例函数y２＝９x ,当x＞０时,函数y＝１８－y１－y２ 的最大值为 (　　)． A．１２ B．１８ C．２４ D．２７ "#$% １０５　 二、填空题 ９．在一次考试中有若干道选择题,每道题有４个选项,正确的选项都只有一个,监考老师在 催交卷了,望望却还有两道题不会做,他便每道题随意选了一个答案填上去,则他把两道 题都选对的概率是 ． １０．由若干个完全相同的小正方体构成的几何体的主视图与俯视图如图所示,则组成这个几 何体的小正方体的个数为 个． １１．一个等腰三角形绕着顶点以相同的旋转角旋转九次后刚好得到一个正十边形,那么这个 等腰三角形的底角的度数为 ． １２．为缓解看病难、看病贵的社会问题,某地区下调了某种药品的价格,经过连续两次降价, 每盒药品的价格由２００元降到了１２８元,那么平均每次降价的百分比为 ． １３．在☉O 中,半径为８cm,弧AB︵所对的圆心角为１２０°,那么弦AB 的长度为 ． １４．已知△ABC为直角三角形,且∠B＝９０°,AB＝５cm,BC＝３cm,则sinA＝ ． １５．如图,在等腰△ABC中,∠A＝∠１＝∠２＝３６°,如果AB＝AC＝２,那么DE＝ ． (第１５题图) 　　　　　　　 (第１６题图) １６．如图,点P 的坐标为(４,３),PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,PC、PD 分别交反比例函 数y＝kx 的图象于点A、B,设S＝S△OAB－S△ABP,则S的最大值为 ． 三、解答题 １７．用适当方法解下列方程． (１)(３x－２)(３x＋２)＝１２;(２)x２－４x－１２＝０;(３)２x２＋４x－３＝０． NEWHOPECUP １０６　 １８．如图,已知AB 为☉O 的直径,∠A＝３０°,且另一边交☉O 于点C,OD⊥AB 交AC 于点 D,如果OD＝１０cm,求CD 的长度． １９．如图１,将矩形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转得到矩形AEFG,使得点E 落在CD 上, 连接BE． (１)求证:∠BAE＝２∠CBE; (２)如图２,连接BG 交AE 于点H,取BE 的中点I,连接 HI、AF,探究 HI和AF 的数 量关系,说明理由; (３)如果AB＝５,BC＝３,求BG 的长． 　　　图１　　　　　　　　　　　　　　图２ "#$% １０７　 ２０．在平面直角坐标系中,已知点A(３,３)、B(６,０),AC⊥x轴,垂足为点C,直线y＝１２x 与 抛物线y＝－１４x ２＋２x相交于点O、D,过x轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线 PE,交射线OA 于点E． (１)求点D 的坐标; (２)设点P 的横坐标为a≠３,求以点A、B、C、E 为顶点的四边形的面积S 与a 的函数关 系式; (３)设直线PE 交射线OD 于点F,交抛物线于点Q,以FQ 为一边在FQ 的右边作矩形 FQMN,若FN＝３２ ,且矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形,求出a的取 值范围． NEWHOPECUP 九年级训练题(二十七) 一、选择题 １．A ２．C　提示:△AOB 为等边三角形,圆心角∠AOB ＝６０°,所以圆周角为３０°或１５０°． ３．B　提示:在直角三角形中,cosA 表示∠A 的邻 边与斜边的比值,是小于１的,∴１－cosA＞０． ４．D　提示:因为多项式x２－mx－６含有因式x－ ３,∴关于x的方程x２－mx－６＝０有一个根为 x＝３,代入方程可解得m＝１． ５．A　提示:两次都投中镖盘,得分共有１００种情 况,第二次的得分比第一次的得分高的情况有 ４５种． ６．C　提示:∵∠BAE＋∠BAD＝∠DAE＝９０°＝ ∠BAC＝∠CAD＋∠BAD,∴∠BAE＝∠CAD, 又点 D 为 斜 边 BC 的 中 点,∴AD＝CD,∴ ∠ACD＝∠CAD,∴∠BAE＝∠ACD,而∠E 为 公共角,∴△BAE∽△ACE． "#$ １６７　 ７．B　提示:由题意得 － －c ２a－b２( ) ＝１, a－b２( ) －c－a－ b ２＝－ ８ ５b． ì î í ï ï ï ï 解得 a＝４５b , c＝３５b． ì î í ï ï ïï 检验知成立,∴a２＋c２＝b２． ８．A 　 提 示:∵ 当 x ＞０ 时,x －６＋ ９x ＝ x－ ３ x æ è ç ö ø ÷ ２ ≥０,即x＋ ９x ≥６ ,当且仅当 x＝ ３ x ,即x＝３时,等号成立,∴y＝１８－y１－y２＝ １８－ x＋９x( ) ≤１２． 二、填空题 ９．１１６　 提示:每道题选对的概率都是１ ４ ,１ ４× １ ４＝ １ １６． １０．９或１０　提示:在俯视图上标出正方体的个数 如图所示: １１．７２°　提示:顶角度数为３６０°１０ ＝３６° ,∴底角度数 为７２°． １２．２０％　提示:设平均每次降价的百分比为x,则 ２００(１－x)２＝１２８,解得x＝ ９５ 或x＝ １５ ,其中 x＝９５ 舍去． １３．８ ３cm　提示:∠OAB＝３０°,圆心点O到弦AB 的距离为４cm,∴AB＝２ ８２－４２ ＝８ ３(cm)． １４．３ ３４３４ 　 提 示:AC＝ ３４cm,sinA＝BCAC ＝ ３ ３４ ３４ ． １５．３－ ５　提示:设 DE＝x,则BE＝CD＝x,BD ＝AD＝２－x,EC＝２－２x,BC＝２－x,由 △DEC∽△ABC得DEAB＝ EC BC ,即x ２＝ ２－２x ２－x ,解 得x＝３＋ ５(舍),或x＝３－ ５． １６．３　提示:易知点A ４,k４( ) ,点B k ３ ,３( ) , 则 S ＝S四边形OAPB －２S△APB ＝４×３－k－ ４－k３( ) ３－ k ４( ) ＝－ k２ １２＋k＝－ １ １２ (k２－１２k ＋３６)＋３＝－ １１２ (k－６)２＋３,当k＝６时,S 取 最大值３． 三、解答题 １７．解:(１)原方程可化为:９x２－４＝１２, ∴９x２＝１６,３x＝±４,∴x＝±４３ ; (２)原方程可化为:(x＋２)(x－６)＝０, ∴x＋２＝０或x－６＝０,∴x＝－２或x＝６; (３)Δ＝４２－４×２×(－３)＝４０, ∴x＝－４± ４０２×２ ＝ －２± １０ ２ ． １８．解:连接BC,则∠C＝９０°,∵OD⊥AB, ∴∠AOD＝∠C＝９０°,又∠A 为公共角, ∴△ADO∽△ABC,∴ADAB＝ AO AC． ∵∠A＝３０°,OD＝１０cm,∴AD＝２０cm,AO＝ １０ ３cm,∴AB＝２０ ３cm, ∴ ２０ ２０ ３ ＝ １０ ３２０＋CD ,解得CD＝１０cm． １９．解:(１)设∠ABE＝∠AEB＝α,则∠BAE＝１８０° －２α＝２(９０°－α),∠CBE＝９０°－α,∠BEC＝α, ∴∠BAE＝２∠CBE． (２)如 图,过 点 B 作BM ⊥AE 交 于 点 M,则 ∠BME＝∠C＝９０°,由(１)知∠AEB＝∠BEC ＝α,边BE公共,∴△BME≌△BCE, ∴BM＝BC＝AD＝AG,又∵∠GAH＝∠BMH ＝ ９０°,∠AHG ＝ ∠MHB,∴ △AGH ≌ △MBH, ∴GH＝BH,连接GE,则 HI为△BEG 的中位 线,∴HI＝１２GE ,而GE＝AF,∴HI＝１２AF． (３)如果AB＝５,BC＝３,那么BM＝BC＝３, ∴AM＝４,MH＝２,BH＝ １３,∴BG＝２ １３． NEWHOPECUP １６８　 ２０．解:(１)联立y＝ １２x 和y＝ － １４x ２ ＋２x 得 x＝０, y＝０{ 或 x＝６, y＝３．{ ∴点D(６,３)． (２)设直线OA 的解析式为y＝kx, ∵点A(３,３), ∴３k＝３,解得k＝１, ∴直线OA 的解析式为y＝x． ∵点P 的横坐标为a,PE∥y轴,且交射线OA 于点E, ∴点E(a,a)． 当０＜a＜３时,如图１,S＝S△OAB －S△OCE ＝ １２ ×６×３－１２×３a＝９－ ３ ２a． 图１ 当a＞３时,如图２,S＝S△OBE －S△OAC ＝１２×６a －１２×３×３＝３a－ ９ ２． 图２ 综上,S＝ ９－３２a ,０＜a＜３, ３a－９２ ,a＞３． ì î í ï ï ïï (３)① 如图 ３,当a＜３,且 FQ＝FN 时,矩形 FQMN 与△AOB重叠部分为轴对称图形, 此时,∵FQ＝FN, ∴－１４a ２＋２a－１２a＝ ３ ２ , 解得a＝３± ３,其中a＝３＋ ３不满足a＜３, ∴a＝３－ ３． 图３ ②如图４,当AC为矩形FQMN 的对称轴时,矩 形FQMN 与△AOB重叠部分为轴对称图形, 此时,∵FN＝２PC, ∴３２＝２ (３－a),解得a＝９４． 图４ ③如图５,当PQ与AC 重合时,矩形FQMN 与 △AOB重叠部分为等腰直角三角形,是轴对称 图形,此时a＝３． 图５ ④如图６,当点F 为直线OD 与AB 的交点时, ∵点A(３,３)、B(６,０),∴AB 所在的直线方程 为y＝－x＋６, 联立y＝－x＋６和y＝１２x ,解得x＝４． ∴当３≤a＜４时,矩形FQMN 与△AOB 重叠 部分为等腰直角三角形,是轴对称图形, 图６ !"#$ 综上,a的取值范围是a＝３－ ３或a＝ ９４ 或３ ≤a＜４．