第1章 三角形的初步认识（单元复习课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

第一章 三角形的初步认识 八年级浙教版数学上册 单元考点串讲 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 模型专练 技巧总结 大于 小于 180° 两端 两边 考点透视 考点1：三角形的三边关系 1. [2023·金华]在下列长度的四条线段中，能与长6 cm，8 cm的两条线段围成一个三角形的是(　C　) A. 1 cm B. 2 cm C. 13 cm D. 14 cm C 典例剖析 2. 已知 a ， b ， c 是一个三角形的三边长，化简｜ a ＋ c － b ｜－｜ b － c ＋ a ｜－｜ a － b － c ｜＝ ⁠. 3. [情境题 生活应用]八年级1班学生杨冲家和李锐家到嵊 州书城的距离分别是5 km和3 km.那么杨冲、李锐两家的 距离不可能是(　B　) A. 3 km B. 9 km C. 5 km D. 4 km a －3 b ＋ c 　 B 考点2：三角形中三条重要线段的应用 4. 如图， AD 为△ ABC 的中线， BE 为△ ABD 的中线.若 △ ABC 的面积为60， BD ＝5，则△ BDE 中 BD 边上的 高是(　D　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (第4题) D 5. 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， BE 是高线， ∠ BAC ＝50°，∠ EBC ＝20°，则∠ ADC 的度数 为 ⁠. (第5题) 85°　 考点3：三角形的内角和及外角的性质 6. 若将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α 的大小为(　B　) A. 85° B. 75° C. 65° D. 60° (第6题) B 7. [新趋势 跨学科 2023·山西]如图，一束平行于主光轴的 光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 O 的 光线相交于点 P ，点 F 为焦点.若∠1＝155°，∠2＝ 30°，则∠3的度数为(　C　) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° (第7题) C 【解析】 如图，∵ AB ∥ OF ，∠1＝155°， ∴∠ BFO ＝180°－∠1＝25°. ∵∠ POF ＝∠2＝30°， ∴∠3＝∠ POF ＋∠ BFO ＝30°＋25°＝55° 8. [新考向 知识情境化]如图，考古学家发现在地下 A 处有一 座古墓，古墓上方是燃气管道，为了不影响管道，准备在 B 处和 C 处开工挖出“V”字形通道.若∠ DBA ＝120°， ∠ ECA ＝125°，则∠ A 的度数是(　C　) A. 55° B. 60° C. 65° D. 75° (第8题) C 考点4：定义与命题 9. 下列命题是假命题的是(　A　) A. 相等的两个角是对顶角 B. 若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 垂线段最短 A 10. [2024·杭州期末]能说明命题“如果 ＝ ，那么 a ＝ b ”是假命题的反例是(　A　) A. a ＝－1， b ＝1 B. a ＝－1， b ＝－1 C. a ＝1， b ＝2 D. a ＝1， b ＝1 A 考点5：全等三角形的性质 11. [2024·绍兴上虞区期中]若△ ABC ≌△ DEF ， AB ＝2， AC ＝4，且△ DEF 的周长为奇数，则 EF 的值为(　D　) A. 3 B. 4 C. 1或3 D. 3或5 D 12. 如图，△ ABC ≌△ ADE ，且 AE ∥ BD ，∠ BAD ＝ 130°，则∠ BAC 的度数为 ⁠. 【点拨】 ∵△ ABC ≌△ ADE ， ∴ AB ＝ AD ，∠ BAC ＝∠ DAE ，∴∠ ABD ＝∠ ADB . ∵∠ BAD ＝130°，∴∠ ABD ＝∠ ADB ＝25°. ∵ AE ∥ BD ，∴∠ DAE ＝∠ ADB ＝25°， ∴∠ BAC ＝25°. 25°　 考点6：全等三角形的判定 13. [情境题 生活应用]如图，小明家仿古家具的一块三角 形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给 玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形 记为△ ABC ，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻 璃不一定符合要求的是(　C　) A. AB ， BC ， AC B. AB ， BC ，∠ B C. AB ， AC ，∠ B D. ∠ A ，∠ B ， BC (第13题) C 14. 如图， AB 与 CD 相交于点 O ，且 OA ＝ OB ，连结 AC ， BD ，添加下列选项中的一个条件，不能判定△ AOC 和 △ BOD 全等的是(　C　) A. OC ＝ OD B. ∠ A ＝∠ B C. AC ＝ BD D. AC ∥ BD (第14题) C 15. 如图， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥ AC ，垂足为 E ， BF ∥ AC 交 ED 的延长线于点 F ，若 BC 恰好平分 ∠ ABF ， AE ＝2 BF . 给出下列四个结论：① DE ＝ DF ； ② DB ＝ DC ；③ AD ⊥ BC ；④ AC ＝3 BF . 其中正确的 有 个. 4　 (第15题) 【点拨】 ∵ BF ∥ AC ，∴∠ C ＝∠ CBF . ∵ BC 平分∠ ABF ，∴∠ ABC ＝∠ CBF ， ∴∠ C ＝∠ ABC . ∵ AD 是△ ABC 的角平分线，∴∠ BAD ＝∠ CAD . 又∵ AD ＝ AD ，∴△ ABD ≌△ ACD ( AAS )， ∴∠ ADB ＝∠ ADC ， BD ＝ CD ，故②正确； ∵∠ ADB ＋∠ ADC ＝180°， ∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°， ∴ AD ⊥ BC ，故③正确； 在△ CDE 与△ BDF 中， ∴△ CDE ≌△ BDF ( ASA )， ∴ CE ＝ BF ， DE ＝ DF ，故①正确； ∵ AE ＝2 BF ， ∴ AC ＝ AE ＋ CE ＝2 BF ＋ BF ＝3 BF ，故④正确. 故正确的结论有4个. 考点7：线段垂直平分线的性质定理 16. [2024·湖州南浔区期末]如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 35°，∠ C ＝50°，分别以点 A ， C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交 BC 于点 P ， 连结 AP ，则∠ BAP 的度数是(　C　) A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° (第16题) C 考点8：角平分线的性质定理 17. 如图， BD 是△ ABC 的角平分线， AB ＝3， BC ＝5，那 么△ ABD 与△ CBD 的面积之比是(　B　) A. 3∶2 B. 3∶5 C. 5∶3 D. 不能确定 B 考点9：全等三角形的判定与性质的综合应用 18. [新视角 动态探究题]如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝6， BC ＝8，点 C 在 l 上.点 P 从点 A 出发，沿折线 AC — CB 以每秒1个单位长度的速度向终点 B 运动，点 Q 从点 B 出发，沿折线 BC — CA 以每秒3个单位长度的速度向终点 A 运动. P ， Q 两点同时出发，分别过P ， Q 两点作 PE ⊥ l 于点 E ， QF ⊥ l 于点 F . 设点 P 的运动时间为 t 秒. (1)当 P ， Q 两点相遇时，求 t 的值； 【解】由题意得 t ＋3 t ＝6＋8，解得 t ＝ ， ∴当 P ， Q 两点相遇时， t 的值为 . (2)在整个运动过程中，求 CP 的长(用含 t 的代数式表示)； 【解】由题意易知， CP ＝ (3)当△ PEC 与△ QFC 全等时，直接写出所有满足条件的 CQ 的长. 【解】 CQ 的长为5或2.5或6. 19. 在等腰直角三角形 ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，直线 MN 过点 A 且 MN ∥ BC . 以点 B 为一锐角顶点作直角三角形 BDE ，∠ BDE ＝90°，且点 D 在直线 MN 上(不与点 A 重合).如图①， DE 与 AC 交于点 P ，易证得 BD ＝ DP . (无需写证明过程) ① (1)在图②中， DE 与 CA 的延长线交于点 P ， BD ＝ DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由. ② 【解】 BD ＝ DP 成立. 理由如下：如图，过点 D 作 DF ⊥ MN 交 AB 的延长线于点 F . ∵∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝∠ C ＝45°. ∵ AD ∥ BC ，∴∠ BAD ＝∠ ABC ＝45°， ∠ PAD ＝∠ C ＝45°， ∴易得△ ADF 是等腰直角三角形， ∴ AD ＝ DF ，∠ F ＝45°＝∠ PAD . ∵∠ BDP ＝∠ ADF ＝90°， ∴∠ ADP ＝∠ FDB ， ∴△ ADP ≌△ FDB ，∴ DP ＝ BD . (2)在图③中， DE 与 AC 的延长线交于点 P ， BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明. 【解】 BD ＝ DP . 如图②，过点 D 作 DF ⊥ MN ，交 BA 的延长线于 点 F ，则易得△ ADF 为等腰直角三角形， ∠ PAD ＝45°，∴ DA ＝ DF ，∠ F ＝45°. ∵∠ BDP ＝∠ ADF ＝90°，∴∠ ADP ＝∠ BDF . 在△ BDF 与△ PDA 中，∠ F ＝∠ PAD ＝45°， DF ＝ DA ，∠ BDF ＝∠ PDA ，∴△ BDF ≌△ PDA ， ∴ DP ＝ BD . 易错点一 画钝角三角形的高时出错 例 1.如图，在△ABC中，作出边AC上的高BE. 正解：如图，过点B作边AC所在直线的垂线，垂足为E. 易错易混 易错点二 确定等腰三角形的边长时，易忽略三角形的三边关系而出错 例 2.已知在等腰三角形ABC中，其中一边长为4，周长为17，则其底边长为（ ） Α.4 B.9 C.4 或9 D.不存在 正解：当4为腰长时，它的底边长为17-4-4=9. ∴4+4<9，不能构成三角形； 当4为底边长时，它的腰长为（17-4）÷2=6.5. ∴4+6.5>6.5，能构成等腰三角形.综上所述，其底边长为 4.故选 A. A 本题还应分情况讨论，第二种情况，如图 ∵BD 为边 AC 上的高， ∠ADB= 90°. ∵∠ABD= 40°， ∴∠BAD = 90°-∠ABD = 50°. ∵∠ABC = ∠C，∠BAD= ∠ABC+∠C， ∴∠C=∠BAD=25°. 综上所述，∠C 的度数为65°或25° 易错点三 忽视三角形的形状而漏解 例 3.在△ABC中，∠ABC= ∠C，BD是边AC上的高，∠ABD=40°，求∠C的度数. 技巧1：证线段相等 1.[2023·福建]如图， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，∠ AOD ＝∠ COB . 求证： AB ＝ CD . 【证明】∵∠ AOD ＝∠ COB ， ∴∠ AOD －∠ BOD ＝∠ COB －∠ BOD ， 即∠ AOB ＝∠ COD . 在△ AOB 和△ COD 中， ∴△ AOB ≌△ COD ( SAS )，∴ AB ＝ CD . 技巧总结 【技巧总结】 若两条线段在两个三角形中，则证明这两条线段所在的两个三角形全等，根据已知条件并结合全等三角形的判定方法解题. 2.如图， AB ＝ AC ， BE ⊥ AC 于 E ， CD ⊥ AB 于 D ， BE ， CD 交于点 O ，求证： OB ＝ OC . 【证明】∵ BE ⊥ AC ， CD ⊥ AB ，∴∠ AEB ＝∠ ADC ＝90°. 在△ ABE 和△ ACD 中，​ ∴△ ABE ≌△ ACD ( AAS )，∴∠ B ＝∠ C ， AE ＝ AD . 又∵ AB ＝ AC ，∴ BD ＝ CE . 在△ BDO 和△ CEO 中， ∴△ BDO ≌△ CEO ( AAS )，∴ OB ＝ OC . 技巧2： 证角相等 3.如图， AB ∥ CD ， AB ＝ CD ， BE ＝ CF .求证：∠ AFB ＝∠ DEC . 【证明】∵ BE ＝ CF ， ∴ BE － EF ＝ CF － EF ，即 BF ＝ CE . ∵ AB ∥ CD ，∴∠ B ＝∠ C . 在△ ABF 和△ DCE 中， ∴△ ABF ≌△ DCE ( SAS )， ∴∠ AFB ＝∠ DEC . 【技巧总结】 寻找全等三角形的对应边、对应角，可以利用标图让已知条件图形化，必要时进行两次三角形全等. 4.已知△ ABN 和△ ACM 的位置如图， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∠1＝∠2. 求证：(1) BD ＝ CE ； 【证明】在△ ABD 和△ ACE 中， ∴△ ABD ≌△ ACE ( SAS )，∴ BD ＝ CE . (2)∠ M ＝∠ N . 【证明】∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ DAE ＝∠2＋∠ DAE ，即∠ BAN ＝∠ CAM . 由(1)得△ ABD ≌△ ACE ，∴∠ B ＝∠ C . 在△ ACM 和△ ABN 中，∵ ∴△ ACM ≌△ ABN ( ASA )，∴∠ M ＝∠ N . 技巧3： 证线段的和差关系 5.如图，四边形 ABCD 是正方形， E 是 CD 边上任意一点，连结 AE ，作 BF ⊥ AE ， DG ⊥ AE ，垂足分别为 F ， G . 求证： BF － DG ＝ FG . 【证明】∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ DA ，∠ BAD ＝90°. ∵ BF ⊥ AE ， DG ⊥ AE ，∴∠ AFB ＝∠ DGA ＝90°. ∴∠ DAG ＋∠ FAB ＝∠ DAG ＋∠ ADG ＝90°， ∴∠ FAB ＝∠ GDA . ∴△ ABF ≌△ DAG ( AAS ). ∴ BF ＝ AG ， AF ＝ DG . ∴ BF － DG ＝ AG － AF ＝ FG . 【技巧总结】 寻找全等三角形的对应边、对应角，可以利用标图让已知条件图形化，将较长线段进行分解替换. 6.如图， CD ∥ AB ，△ ABC 的中线 AE 的延长线与 CD 交于点 D . (1)若 AE ＝3，求 DE 的长度； 【解】∵ CD ∥ AB ， ∴∠ B ＝∠ DCE . ∵ AE 是中线，∴ CE ＝ BE . 在△ ABE 和△ DCE 中， ∴△ ABE ≌△ DCE ( ASA )，∴ DE ＝ AE ＝3. (2)∠ DAC 的平分线与 DC 交于点 F ，连结 EF ，若 AF ＝ DF ， AC ＝ DE ，求证： AB ＝ EF ＋ AF . 【证明】∵△ ABE ≌△ DCE ，∴ AB ＝ CD . ∵ AF 平分∠ DAC ，∴∠ CAF ＝∠ DAF . ∵ AC ＝ DE ， AE ＝ DE ，∴ AC ＝ AE . 在△ CAF 和△ EAF 中， ∴△ CAF ≌△ EAF ( SAS )，∴ CF ＝ EF ， ∴ AB ＝ CD ＝ CF ＋ DF ＝ EF ＋ AF . 技巧4：证线段的倍分关系 7.如图，已知 CE ， CB 分别是△ ABC ，△ ADC 的中线，且 AB ＝ AC ，∠ ACB ＝∠ ABC . 求证： CD ＝2 CE . 【证明】延长 CE 到点 F ，使 EF ＝ CE ，连结 BF ， 则 CF ＝2 CE . ∵ CE 是△ ABC 的中线，∴ AE ＝ BE . 在△ BEF 和△ AEC 中， ∴△ BEF ≌△ AEC ( SAS ).∴∠ EBF ＝∠ A ， BF ＝ AC . 又∵∠ ABC ＝∠ ACB ，∴∠ CBD ＝∠ A ＋∠ ACB ＝∠ EBF ＋∠ ABC ＝∠ CBF . ∵ CB 是△ ADC 的中线，∴ AB ＝ BD . 又∵ AB ＝ AC ＝ BF ，∴ BF ＝ BD . 在△ CBF 和△ CBD 中， ∴△ CBF ≌△ CBD ( SAS ).∴ CF ＝ CD . ∴ CD ＝2 CE . 【技巧总结】 可以利用标图让已知条件图形化，通过添加辅助线构造全等三角形，有时可以运用倍长中线法进行求解. 8.如图，在△ ABC ，△ CDE 中，点 D 在 AB 上， AC 与 DE 交于点 F ， AB ∥ CE . (1)如图①，若∠ A ＝47°，∠ DCE ＝82°， CD 平分∠ ACB ，则∠ B 的度数为 ⁠； 63°　 (2)如图②，若点 F 为 AC 的中点，作 DM ⊥ DA ， DN ⊥ DC 且 DM ＝ DA ， DN ＝ DC ，连结 MN . 求证： MN ＝2 EF . 【证明】如图， ∵点 F 为 AC 的中点，∴ AF ＝ CF . ∵ AB ∥ CE ， ∴∠5＝∠ E . 又∵∠4＝∠3，∴△ ADF ≌△ CEF ， ∴ DA ＝ CE ， DF ＝ EF ，∴ DE ＝2 EF . ∵ DM ⊥ DA ， DN ⊥ DC ， ∴∠1＋∠6＝90°，∠2＋∠6＝90°，∴∠1＝∠2. ∵ AB ∥ CE ，∴∠ DCE ＝∠2＝∠1. 又∵ DM ＝ DA ＝ CE ， DN ＝ DC ， ∴△ MND ≌△ EDC ，∴ MN ＝ DE ＝2 EF . 模型1：手拉手模型 1. 如图， B ， C ， E 三点在同一条直线上，△ ABC 和△ DCE 均为等边三角形，连结 AE ， BD . 求证： AE ＝ BD . 【证明】∵△ ABC 和△ DCE 均为等边三角形， ∴ AC ＝ BC ， CD ＝ CE ， ∠ ACB ＝∠ DCE ＝60°. ∴∠ ACB ＋∠ ACD ＝∠ ACD ＋∠ DCE ， 即∠ BCD ＝∠ ACE . 在△ BCD 和△ ACE 中， ∴△ BCD ≌△ ACE . ∴ AE ＝ BD . 2. 如图①，在△ OAB 和△ OCD 中， OA ＝ OB ， OC ＝ OD ，∠ AOB ＝∠ COD ＝90°， AC ， BD 交于点 M . (1)求证： AC ＝ BD ； 【证明】∵∠ AOB ＝∠ COD ＝90°， ∴∠ AOB ＋∠ AOD ＝∠ COD ＋∠ AOD ， 即∠ BOD ＝∠ AOC . 又∵ OB ＝ OA ， OD ＝ OC ， ∴△ BOD ≌△ AOC ， ∴∠ OBD ＝∠ OAC ， AC ＝ BD . (2)判断 AC 与 BD 的位置关系，然后说明理由； 【解】 AC ⊥ BD . 理由如下：∵∠ AMD ＝∠ ABM ＋∠ BAM ，∠ BAM ＝ ∠ BAO ＋∠ OAC ， ∴∠ AMD ＝∠ ABM ＋∠ BAO ＋∠ OBD ＝∠ OBA ＋ ∠ BAO . ∵∠ AOB ＝90°，∴∠ OBA ＋∠ BAO ＝90°， ∴∠ AMD ＝90°，∴ AC ⊥ BD . 模型2：一线三等角模型 3. (1)如图①，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， AE 是过点 A 的一条直线，且点 B ， C 在 AE 的异侧， BD ⊥ AE 于点 D ， CE ⊥ AE 于点 E ，求证： BD ＝ DE ＋ CE ； 【证明】∵ BD ⊥ AE ， CE ⊥ AE ， ∴∠ BDA ＝∠ AEC ＝90°， ∴∠ ABD ＋∠ BAE ＝90°. 又∵∠ BAC ＝90°，∴∠ CAE ＋∠ BAE ＝90°， ∴∠ ABD ＝∠ CAE . 在△ ABD 和△ CAE 中， ​ ∴△ ABD ≌△ CAE ( AAS ). ∴ BD ＝ AE ， AD ＝ CE . ∵ AE ＝ AD ＋ DE ，∴ BD ＝ DE ＋ CE . (2)若直线 AE 绕点 A 旋转到图②的位置( BD ＜ CE )，其余条件不变，问 BD 与 DE ， CE 的关系如何？请予以证明. 【解】 BD ＝ DE － CE . 证明：∵ BD ⊥ AE ， CE ⊥ AE ， ∴∠ BDA ＝∠ AEC ＝90°， ∴∠ ABD ＋∠ DAB ＝90°. ∵∠ BAC ＝90°，∴∠ DAB ＋∠ CAE ＝90°. ∴∠ ABD ＝∠ CAE . 在△ ABD 和△ CAE 中， ∴△ ABD ≌△ CAE ( AAS ). ∴ BD ＝ AE ， AD ＝ CE . ∴ AD ＋ AE ＝ BD ＋ CE ， ∴ DE ＝ BD ＋ CE ，∴ BD ＝ DE － CE . 4. CD 是经过∠ BCA 的顶点 C 的一条直线， CA ＝ CB ， E ， F 是直线 CD 上的两点，且∠ BEC ＝∠ CFA ＝∠β. (1)若直线 CD 经过∠ BCA 的内部，且点 E ， F 在射线 CD 上. (ⅰ)若∠ BCA ＝90°，∠β＝90°，如图①，则 BE CF ， EF ｜ BE － AF ｜.(填“＞”“＜”或“＝”) ＝　 ＝　 ∵∠ BEC ＝∠ CFA ＝∠β，∠β＝90°，∠ ACB ＝ 90°， ∴∠ BEC ＝∠ AFC ＝90°，∠ BCE ＋∠ ACF ＝90°， ∴∠ CBE ＋∠ BCE ＝90°，∴∠ CBE ＝∠ ACF . 在△ BCE 和△ CAF 中， 【点拨】 ∴△ BCE ≌△ CAF ( AAS )， ∴ BE ＝ CF ， CE ＝ AF ， ∴ EF ＝ CF － CE ＝ BE － AF . ∴ EF ＝｜ BE － AF ｜. ∴ EF ＝ CF － CE ＝ BE － AF . ∴ EF ＝｜ BE － AF ｜ (ⅱ)若0°＜∠ BCA ＜180°，且∠β＋∠ BCA ＝180°，如图②，(ⅰ)中的两个结论还成立吗？请说明理由. 【解】(ⅰ)中的两个结论仍然成立.理由如下： ∵∠ BEC ＝∠ CFA ＝∠β，∠β＋∠ BCA ＝180°， ∴∠β＋∠ CBE ＋∠ BCE ＝180°，∠β＋∠ BCE ＋∠ ACF ＝180°，∴∠ CBE ＝∠ ACF . 在△ BCE 和△ CAF 中，​ ∴△ BCE ≌△ CAF ( AAS )，∴ BE ＝ CF ， CE ＝ AF ， ∴ EF ＝ CF － CE ＝ BE － AF . ∴ EF ＝｜ BE － AF ｜. (2)如图③，若直线 CD 经过∠ BCA 的外部，且∠β＝∠ BCA ，请直接写出线段 EF ， BE ， AF 之间的数量关系.(不需要证明) 【解】EF ＝ BE ＋ AF . 模型3：8字模型 5. [2024·杭州上城区期中]如图， AD ， BF 相交于 O 点， OA ＝ OD ， AB ∥ DF ，点 E ， C 在 BF 上， BE ＝ CF . (1)求证：△ ABO ≌△ DFO ； 【证明】∵ AB ∥ DF ，∴∠ B ＝∠ F ，∠ BAO ＝∠ FDO . 在△ ABO 和△ DFO 中， ∴△ ABO ≌△ DFO ( AAS ). (2)判断线段 AC ， DE 的位置关系和数量关系，并说 明理由. 【解】 AC ＝ DE ， AC ∥ DE . 理由：∵△ ABO ≌△ DFO ，∴ BO ＝ FO . 又∵ BE ＝ CF ，∴ EO ＝ CO . 在△ AOC 和△ DOE 中， ∴△ AOC ≌△ DOE ( SAS )， ∴ AC ＝ DE ，∠ DAC ＝∠ ADE ， ∴ AC ∥ DE . 6. (1)如图①，在△ ABC 中， AB ＝5， AC ＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围； 【解】如图①，延长 AD 到点 E ，使 DE ＝ AD ， 连结 BE . ∵ AD 是 BC 边上的中线，∴ BD ＝ DC . 又∵∠ ADC ＝∠ EDB ，∴△ ADC ≌△ EDB ( SAS )， ∴ BE ＝ AC ＝3.在△ ABE 中， AB ＝5，∴5－3＜ AE ＜5＋3， ∴2＜ AE ＜8，∴2＜2 AD ＜8，∴1＜ AD ＜4. (2)受到(1)的启发，请你解答下面的问题：如图②，在△ ABC 中， D 是 BC 边上的中点， DE ⊥ DF ， DE 交AB 于点 E ， DF 交 AC 于点 F ，连结 EF . 求证： BE ＋ CF ＞ EF . 【证明】如图②，延长 FD 到点 G ，使 GD ＝ DF ， 连结 BG ， EG . ∵ D 是 BC 边上的中点，∴ BD ＝ DC . 又∵∠ BDG ＝∠ CDF ，∴△ BDG ≌△ CDF ( SAS )， ∴ BG ＝ CF . ∵ DE ⊥ DF ， DG ＝ DF ， ∴ ED 所在直线是 GF 的垂直平分线， ∴ EG ＝ EF . 在△ BEG 中， BE ＋ BG ＞ EG ，∴ BE ＋ CF ＞ EF . 模型4：半角模型 7. 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点， F 为 CD 边上一点，已知 BE ＋ DF ＝ EF ，求∠ EAF 的度数. 【解】如图，延长 CB 到点 H ，使得 BH ＝ DF ，连结 AH . ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ BAD ＝∠ ABE ＝∠ D ＝90°， AB ＝ AD ，∴∠ ABH ＝90°. 在△ ABH 和△ ADF 中， ∴△ ABH ≌△ ADF ( SAS ).∴ AH ＝ AF ，∠ BAH ＝∠ DAF . ∴∠ BAH ＋∠ BAF ＝∠ DAF ＋∠ BAF ， 即∠ HAF ＝∠ BAD ＝90°. ∵ BE ＋ DF ＝ EF ，∴ BE ＋ BH ＝ EF ，即 HE ＝ EF . 在△ AEH 和△ AEF 中， ∴△ AEH ≌△ AEF ( SSS ).∴∠ EAH ＝∠ EAF . ∴∠ EAF ＝ ∠ HAF ＝45°. 【技巧总结】 图中所作的辅助线，相当于将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转90°，使 AD 边与 AB 边重合，得到△ ABH . 8. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D ＝90°， E ， F 分别是边 BC ， CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠ BAD . 求证： EF ＝ BE ＋ FD . 【证明】如图，延长 EB 到点 G ，使 BG ＝ DF ，连结 AG . ∵ AB ＝ AD ，∠ ABG ＝∠ ABC ＝∠ D ＝90°， BG ＝DF ， ∴△ ABG ≌△ ADF ， ∴ AG ＝ AF ，∠1＝∠2. ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠ EAF ＝ ∠ BAD ， ∴∠ GAE ＝∠ EAF . 又∵ AE ＝ AE ， AG ＝ AF ，∴△ AEG ≌△ AEF . ∴ EG ＝ EF . ∵ EG ＝ BE ＋ BG ，∴ EF ＝ BE ＋ FD . 模型5：旋转型全等三角形中的截长补短 9. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°， AB ＝ AD . 若点 E 在 CB 的延长线上，点 F 在 CD 的延长线上，且满足 EF ＝ BE ＋ FD ，请写出∠ EAF 与∠ DAB 的数量关系，并说明理由. 【解】∠ EAF ＝180°－ ∠ DAB . 理由如下：如图，在 DC 的延长线上取一点 G ，使得 DG ＝ BE ，连结 AG . ∵∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°，∠ ABC ＋∠ ABE ＝180°， ∴∠ ADC ＝∠ ABE . 又∵ AD ＝ AB ， DG ＝ BE ， ∴△ ADG ≌△ ABE ( SAS )， ∴ AG ＝ AE ，∠ DAG ＝∠ BAE . ∵ EF ＝ BE ＋ FD ＝ DG ＋ FD ＝ GF ， AF ＝ AF ， ∴△ AEF ≌△ AGF ( SSS )，∴∠ FAE ＝∠ FAG . ∵∠ FAE ＋∠ FAG ＋∠ GAE ＝360°， ∴2∠ FAE ＋(∠ GAB ＋∠ BAE )＝360°， ∴2∠ FAE ＋(∠ GAB ＋∠ DAG )＝360°，即2∠ FAE ＋ ∠ DAB ＝360°，∴∠ EAF ＝180°－ ∠ DAB . 10. [新考法 分类讨论法]如图①，把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形 ACBD ，以 D 为顶点作∠ MDN ，交边 AC ， BC 于 M ， N ，已知∠ CAD ＝∠ CBD ＝90°. (1)当∠ ACD ＋∠ MDN ＝90°时， AM ， MN ， BN 三条线段之间有何数量关系？请写出你的证明过程. 【解】 AM ＋ BN ＝ MN . 证明如下： ∵△ ACD ≌△ BCD ， ∴∠ ADC ＝∠ BDC ， AD ＝ BD . 如图①，延长 CB 到点 E ，使 BE ＝ AM ， 连结 DE . ∵∠ A ＝∠ CBD ＝90°，∴∠ A ＝∠ EBD ＝90°. 在△ DAM 和△ DBE 中， ∴△ DAM ≌△ DBE ( SAS )，∴∠ MDA ＝∠ BDE ， DM ＝ DE . ∵∠ ACD ＋∠ MDN ＝90°，∠ ACD ＋∠ ADC ＝90°， ∴∠ ADC ＝∠ MDN ＝∠ BDC ， ∴∠ ADM ＝∠ CDN ＝∠ BDE ，∠ CDM ＝∠ BDN ，∴∠ MDN ＝∠ NDE . 在△ MDN 和△ EDN 中， ∴△ MDN ≌△ EDN ( SAS )，∴ MN ＝ NE . ∵ NE ＝ BE ＋ BN ＝ AM ＋ BN ，∴ AM ＋ BN ＝ MN . (2)如图②，在(1)的条件下，若将 M ， N 移到 CA ， BC 的延长线上，完成图②，其余条件不变，则 AM ， MN ， BN 之间有何数量关系？证明你的结论. 【解】完成图②如图， BN － AM ＝ MN . 证明如下：∵△ ACD ≌△ BCD ， ∴∠ ADC ＝∠ BDC ， AD ＝ BD . 如图②，在 BC 上截取 BE ＝ AM ，连结 DE . ∵∠ B ＝∠ CAD ＝90°， ∴∠ B ＝∠ DAM ＝90°. 在△ DAM 和△ DBE 中， ∴△ DAM ≌△ DBE ( SAS )， ∴∠ ADM ＝∠ BDE ， DM ＝ DE . ∵∠ CDA ＋∠ ACD ＝90°，∠ MDN ＋∠ ACD ＝90°， ∴∠ MDN ＝∠ CDA ， ∴∠ MDN －∠ ADN ＝∠ CDA －∠ ADN ， 即∠ MDA ＝∠ CDN ，∴∠ BDE ＝∠ CDN . ∵∠ ADC ＝∠ BDC ，∴∠ ADC －∠ CDN ＝∠ BDC － ∠ BDE ，即∠ NDA ＝∠ EDC ， ∴∠ NDA ＋∠ MDA ＝∠ EDC ＋∠ CDN ， 即∠ MDN ＝∠ EDN . 在△ MDN 和△ EDN 中， ∴△ MDN ≌△ EDN ( SAS )，∴ MN ＝ NE . 又∵ NE ＝ BN － BE ＝ BN － AM ， ∴ BN － AM ＝ MN . 模型6：一般类型全等三角形中的截长补短 11. [2024·宁波月考]如图，在△ ABC 中，∠ B ＝60°， AD ， CE 分别是∠ BAC ，∠ BCA 的平分线， AD ， CE 相交于点 F . 试判断线段 AE ， CD 与 AC 之间的数量关系并说明理由. 【解】 AC ＝ AE ＋ CD . 理由如下：在 CA 上截取 CG ＝ CD ，连结 FG . ∵ CE 是∠ BCA 的平分线，∴∠ DCF ＝∠ GCF . 在△ CFG 和△ CFD 中， ∴△ CFG ≌△ CFD ( SAS )，∴ DF ＝ GF . ∵∠ B ＝60°， AD ， CE 分别是∠ BAC ，∠ BCA 的平分线， ∴∠ EAF ＝∠ FAC ＝ ∠ BAC ，∠ FCA ＝ ∠ ACB ， ∴∠ FAC ＋∠ FCA ＝ (∠ BAC ＋∠ ACB )＝ (180°－∠ B )＝60°， ∴∠ AFC ＝120°，∴∠ CFD ＝60°＝∠ CFG ，∴∠ AFG ＝60°. 又∵∠ AFE ＝∠ CFD ＝60°，∴∠ AFE ＝∠ AFG . 在△ AFG 和△ AFE 中， ∴△ AFG ≌△ AFE ( ASA )， ∴ AE ＝ AG ，∴ AC ＝ AG ＋ CG ＝ AE ＋ CD . 12. [新视角猜想验证题]数学课上，小白遇到这样一个问题：如图①，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，求证：∠ ABE ＝∠ ACD . 在此问题的基础上，老师补充：过点 A 作 AF ⊥ BE 于点 G 交 BC 于点 F ， 过点 F 作 FP ⊥ CD 交 BE 于点 P ，交 CD 于点 H ，试探究线段 BP ， FP ， AF 之间的数量关系，并说明理由. 小白通过研究发现，∠ AFB 与∠ HFC 有某种数量关系；小白还通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论. 阅读上面材料，请回答下面问题： (1)求证：∠ ABE ＝∠ ACD ； 【证明】在△ ABE 和△ ACD 中， ∴△ ABE ≌△ ACD ( SAS )，∴∠ ABE ＝∠ ACD . (2)猜想∠ AFB 与∠ HFC 的数量关系，并证明； 【解】猜想∠ AFB ＝∠ HFC . 证明如下：设∠ ABE ＝∠ ACD ＝ x . ∴∠ FBG ＝∠ FCH ＝45°－ x . ∵ AF ⊥ BE ，∴∠ BGF ＝90°， ∴∠ AFB ＝90°－(45°－ x )＝45°＋ x . ∵ FP ⊥ CD ，∴∠ HFC ＝90°－(45°－ x )＝45°＋ x ， ∴∠ HFC ＝∠ AFB . (3)探究线段 BP ， FP ， AF 之间的数量关系，并证明. 【解】 BP ＝ FP ＋ AF . 证明如下：如图，过点 C 作 CM ⊥ AC 交 AF 延长线于 点 M ，延长 FP 交 AC 于点 N . ∵∠ BAF ＋∠ FAC ＝90°，∠ BAF ＋∠ ABG ＝90°，∴∠ FAC ＝∠ ABG . 在△ ABE 和△ CAM 中， ∴△ ABE ≌△ CAM ( ASA )，∴ BE ＝ AM ，∠ M ＝∠ BEA . ∵∠ BFA ＝∠ MFC ＝∠ NFC ， FC ＝ FC ， ∠ ACB ＝∠ BCM ＝45°，∴△ NFC ≌△ MFC ( ASA )， ∴ FM ＝ FN ，∠ M ＝∠ FNC ， ∴∠ FNC ＝∠ BEA ，∴ PN ＝ PE ， ∴ BP ＝ BE － PE ＝ AM － PE ＝ AF ＋ FM － PE ＝ AF ＋ FN － PN ＝ AF ＋ FP . $$