2.3 用公式法求解一元二次方程（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

九年级北师大版数学上册 第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程 第二课时 用公式法解决面积问题 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. （难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. （重点） 2x2 -11x + 8 = 0； 用公式法解方程： 解：（1）a = 2，b = -11，c = 8. ∵ b2 - 4ac = (-11)2 - 4×2×8= 57 > 0， 情景导入 旧知回顾 上节课我们学习了用公式法解一元二次方程 公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0时,方程无实数根. 某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道宽应该设计为多 少？设通道宽为x m，则由题意列 的方程为____________________. C B D A (30-2x)(20-x)＝6×78 情景导入 用公式法求解面积问题 新知探究 在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出设计方案吗？ 16m 12m 如果是你，你会如何设计这片荒地呢？ 方案1 方案2 方案3 方案4 以上答案并不唯一，我们也来欣赏一下其他同学的设计方案！ 解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即 x2 - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为2m. 小明设计： 如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m. 16m 12m 他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？ x x 解：设扇形半径为 xm, 根据题意得： 即 πx2 = 96. 解方程得 x1 = , x2 = (舍去), 答：扇形半径约为5.5m. 小亮设计： 如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同. 你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？ 16m 12m 小颖设计： 如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等. 你能帮小颖计算一下图中x吗？ 16m 12m xm xm 解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即 x2 - 28x + 96 = 0. 解方程得 x1 = 4 , x2 = 24, 将x =24 代入方程中不符合题意舍去 答：小路的宽为4m. 例1.有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四周各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去边长为多大的正方形？ 典例剖析 解：设铁皮各角应切去边长为x cm的正方形． 根据题意，得(100－2x)(50－2x)＝3600. 整理，得x2－75x＋350＝0， 解得x1＝5，x2＝70. ∵当x＝70时，100－2x＝－40＜0，50－2x＝－90＜0， ∴x＝70不合题意，舍去， ∴x＝5. 答：铁皮各角应切去边长为5 cm的正方形． 例2.将一条长20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ (2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 【点拨】两段铁丝做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可． 典例剖析 解：设一个正方形的周长为x cm，则另一个正方形的周长为(20－x) cm. (1)根据题意，得( )2＋( )2＝17. 整理，得x2－20x＋64＝0， 解得x1＝16，x2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为16 cm和4 cm； (2)根据题意，得( )2＋( )2＝12. 整理，得x2－20x＋104＝0. ∵b2－4ac＝(－20)2－4×1×104＝－16＜0， ∴此方程无解． ∴两个正方形的面积之和不可能等于12 cm2. 概念归纳 主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，问几秒时△PDQ的面积为35 cm2? 练一练 2.如图，由点 P (14, 1)，A(a, 0)，B(0, a) (0 < a < 14) 确定的△PAB 的面积为 18，求 a 的值. 如果 a > 14 呢？ 解: 0＜a＜14 时,设BP 所在直线的表达式为 y＝mx＋b． 将 (0, a), (14, 1)代入, 得 ∴ BP 延长线与 x 轴交点坐标为 ∵ S△PAB = 18， 当 a > 14 时，可求得 a 的值为 . 练一练 课本练习 对于本课花园设计问题，小颖的设计方案如图所示，你能帮她求出图中的x吗？ 在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶嵌一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？ 1. 解：设金色纸边的宽是x cm， 根据题意，得(90+2x)(40+2x)×72%= 90×40. 解得x1=5，x2=-70（不合题意，舍去）. 答：金色纸边的宽是5 cm. 习题2.6 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长25 m），另三边用木栏围成，木栏长40 m. （1）鸡场的面积能达到180 m2吗？能达到200 m2吗？ （2）鸡场的面积能达到250 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 2. 解：设鸡场靠墙一边的长为x m，则另外两边长均为 m. （1）①依题意，得 . 解得x1= （不合题意，舍去），x2= . ∴x= ，则 . ∴当鸡场的长为 m，宽为 m时， 鸡场的面积能达到180 m². ②依题意，得 . 解得x1=x2=20，则 . ∴当鸡场的长为20 m，宽为10 m时，鸡场的面积能达到200 m². （2）依题意，得 . 整理，得x²-40x+500=0，此时方程无实数根. ∴鸡场的面积不能达到250 m². 如图，圆柱的高为15 cm，全面积（也称表面积）为200π cm2，那么圆柱底面半径为多少？ 3. 解：设圆柱底面半径为R cm. 依题意，得15×2πR+2πR²=200π. 解得R1=5，R2=-20（不合题意，舍去）. ∴圆柱底面半径为5 cm. 如图，由点P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(a>0)确定的△PAB的面积为18，求a的值. 4. 解：如图，过点P做x轴的垂线,垂足为点M. ∵S△PAB=S梯形PMOB-S△BOA-S△PMA=18， ∴ (1+a)×14- a² - ×1×(14-a)=18. 解得a1=3，a2=12. ∴a的值为3或12. M 知识点　公式法在实际生活中应用 1. [2023哈尔滨]为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩 形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平 方米，设矩形空地的长为 x 米，根据题意，所列方程正确 的是(　A　) A. x ( x －6)＝720 B. x ( x ＋6)＝720 C. x ( x －6)＝360 D. x ( x ＋6)＝360 A 分层练习-基础 2. 在长为60米，宽为40米的矩形草坪中修如图所示的两条宽 度相同的小路，小路的面积为650平方米，求小路的宽.设 小路的宽为 x 米，可列方程为 ⁠. 40 x ＋60 x － x2＝650　 3. 如图，某工厂师傅要在一个面积为15 m2的矩形钢板上裁 剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正 方形的边长比小正方形的边长大1 m，则裁剪后小正方形 的边长为 ⁠m. 2　 4. 如图，一块矩形铁皮的长为10 cm，宽为8 cm，现在它的 四个角上剪去四个相同的小正方形，做成底面积为24 cm2 的无盖的长方体盒子，求剪去的小正方形的边长. 解：设剪去的小正方形的边长为 x cm，则无盖长方体盒子的 底面长为(10－2 x )cm，宽为(8－2 x ) cm， 依题意得(10－2 x )(8－2 x )＝24， 解得 x ＝2或 x ＝7(不合题意，舍去). 答：剪去的小正方形的边长为2 cm. 5. [2023扬州]为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩 形生态园 ABCD (如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另 外三面用18 m的篱笆围成.生态园的面积能否为40 m2？如 果能，请求出 AB 的长；如果不能，请说明理由. 解：假设生态园的面积能为40 m2. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴设 AB ＝ CD ＝ x m，则 AD ＝ BC ＝ (18－ x ) m，根据题意得， x (18－ x )＝40， 解得 x1＝8， x2＝10. ∴生态园的面积能为40 m2， AB 的长为8 m或10 m. 6. 【新考法·平移法】如图，在宽为20 m，长为30 m的 矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的 部分种上草坪，要使草坪的面积为551 m2，则道路的 宽为 ⁠ m. 1　 分层练习-巩固 7. 如图，利用一面墙(墙长20米)，用总长度为43米的篱笆(图 中实线部分)围成一个矩形鸡舍 ABCD ，且中间共留两个1 米的小门，若矩形鸡舍 ABCD 的面积为150平方米，则篱 笆 BC 的长为 ⁠. 10米　 8. 【情境题·生活应用】郑州黄河风景名胜区，又称郑州黄河水利风景区，位于河南省省会郑州市西北20千米处黄河之滨，南依岳山，北邻黄河，历经多年的开发建设，形成了融观光旅游、休闲度假、科普教育、寻根祭祖、弘扬华夏文明为一体的大型风景名胜区，吸引大批市民前来游玩休闲.风景区今年准备在如图的墙 AB ， BC 周围用篱笆围成一个跑马场，墙 AB 长为36米， BC 无限长，篱笆 MN ， NQ ， PB 把跑马场隔成跑马区(矩形 MNPB )和饲养区(等腰直角三角形 PBQ )两个区域，并在三处各留2米宽的大门.已知篱笆总长为84米.设 MN 的长为 x 米.当 x 为多少时，跑马区的面积为 600平方米？ 解：∵篱笆总长为84米，且 MN ＝ x 米，四边形 MNPB 为矩 形，△ PBQ 为等腰直角三角形， ∴ PB ＝ PQ ＝ MN ＝ x 米， ∴ MB ＝ NP ＝84＋2×3－3 x ＝90－3 x (米). 根据题意得 x (90－3 x )＝600， 整理得 x2－30 x ＋200＝0， 解得 x1＝10， x2＝20， 当 x ＝10时，90－3 x ＝90－3×10＝60＞36，不符合题意，舍去； 当 x ＝20时，90－3 x ＝90－3×20＝30＜36，符合题意. 答：当 x 为20时，跑马区的面积为600平方米. 9. 在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案. (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由. 分层练习-拓展 解：(1)不符合.理由如下： 设小路宽度均为 x m，根据题意得(16－2 x )(12－2 x )＝ ×12×16， 解得 x1＝2， x2＝12(不合题意，舍去). ∴小路的宽度应均为2 m， ∴小芳的方案不符合条件. 9. 在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案. (2)你还有其他的设计方案吗？请在图③中画出你所设计的 草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明. 解：(2)(答案不唯一) 如图①，取矩形上边的长的中点作为三角形的顶点，下 边的长的两个端点作为三角形的另外两个顶点，此三角 形的面积等于矩形面积的一半； 如图②，横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同， 当小路的宽为4 m时，小路面积等于剩下的面积等于矩 形面积的一半. 课堂反馈 小丽家想要在自己家的阳台上铺地砖,经测量后设计了如图所示的图纸,灰色区域为宽度相等的一条“7”形的健身用的鹅卵石小路,空白部分为地砖铺设区域.要使铺地砖的面积为14 m2,则小路的宽度应为多少米? 列一元二次方程解决实际问题 解：设小路的宽度应为x m,依题意得 (4.5-x)·(4-x)=14, ∴x1=8(舍去),x2=0.5. 答:小路的宽度应为0.5 m. 公式法的应用 几何图形 类型 彩条/小路宽度问题 常见几何图形面积是等量关系. 课堂小结 41 解：设x s时△PDQ的面积为35 cm2，即S矩形ABCD－ S△ADP－S△PBQ－S△DCQ＝12×6－×12x－(6－x)·2x－ ×6×(12－2x)＝35，解得x1＝3＋2，x2＝3－2.因为当点P，Q移动(3＋2)s或(3－2)s时均符合题意，所以(3＋2)s或(3－2)s时△PDQ的面积为35 cm2. $$