训练题 22-“枫叶新希望杯”七年级数学竞赛训练题

! %$#"! 一、选择题 1.一张桌子上叠放着若干个帽子,从三个方向上看到的图形如下图所示,则这张桌子上的帽 子共有( ). A.17个 B.12个 C.8个 D.6个 2.在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点(a,b),规定以下三种变换: (1)f(a,b)=(-a,b),如f(2,4)=(-2,4); (2)g(a,b)=(b,a),如g(2,4)=(4,2); (3)h(a,b)=(-a,-b),如h(2,4)=(-2,-4); 按照以上变换有:f(g(2,-4))=f(-4,2)=(4,2),那么f(g(h(-1,3)))=( ). A.(3,1) B.(-3,1) C.(3,-1) D.(-3,-1) 3.数轴上的点A、B、C 分别对应数0、-2014、x,点C 与点A 的距离小于点C 与点B 的距 离,则( ). A.x<-1007 B.x>-1007 C.-1007<x<1007 D.-1007<x<2014 4.若a、b、c的值各扩大25%,则abc的值扩大( ). A.164 B. 3 4 C. 125 64 D. 61 64 5.如图是由12个相同的小平行四边形组成的图形,其中阴影部分(一个小平行四边形)的面 积为2cm2,那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为( ). A.200cm2 B.236cm2 C.400cm2 D.472cm2 6.我们规定:由“四舍五入法”对非负有理数x精确到个位的值记为<x>,若m 为正整数,则 下列等式恒成立的是( ). 七年级训练题（二十二） NEWHOPECUP 20 A.<x+m>=<x>+m B.<x+m>=<x>+m+1 C.<x+m>=<x>-m D.<x-m>=<x>-m+1 7.做个数数掰手指头游戏,一边数数一边掰手指头,依次数自然数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ……每数一个数就按照大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食 指……的顺序依次掰一个手指头,当数到2014时,该掰的手指头是( ). A.大拇指 B.食指 C.中指 D.无名指 8.在一颗骰子上,1点的对面是6点,2点的对面是5点,3点的对面是4点,如图1.现将这 颗骰子先向右翻滚90°,再在水平面上按逆时针方向旋转90°,此为1次变换.若该骰子的初 始位置如图1所示,则按上述变换方法连续完成2014次变换后,该骰子朝上的一面上的 点数是( ). 图1 图2 A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 9.下面乘法算式中的“新希望杯数学竞赛”八个字各代表一个不同的数字,其中“赛”代表9, 则其余7个字所代表的数字从小到大依次为 . (第9题图) (第10题图) 10.观察如图所示的运算程序,规定:程序运行完“ ”为一次运算,若运算恰好进 行了5次后就停止,则正整数x的取值为 . 11.用边数分别为a、b、c的三种不同正多边形的地板砖铺地面,如果在地板砖粘合的每一个 顶点处,每一种地板砖有且只有一个,那么1 a+ 1 b+ 1 c= . 12.已知 x-14 æ è ç ö ø ÷yy=3,12x+3 æ è ç ö ø ÷yx=8.则(x+y)2= . 13.计算(12+ 1 3+ 1 4+ …+ 12014 )+(23+ 2 4+ 2 5+ …+ 22014 )+…+(20122013+ 2012 2014 )+20132014 = . 14.已知纸片ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,将DC 沿DE 折叠,使点C 落在点F 处,DF 交BC 于点G,且ABGD 为矩形(如图1);然后将纸片展开,再将AD 沿DP 折 叠,使点A 落在DC 上的点 M 处(如图2).两条折痕 DE、DP 所成的角∠PDE 为 度. ! %$#"! 图1 图2 选手,乙、丙两队共20名选手,丙、丁两队共34名选手,四个代表队的人数由少到多依 15.在某届“创新希望”数学大赛中,某市参加竞赛的代表队有四队,其中甲、乙两队共16名 次 是甲、乙、丙、丁,则甲、乙、丙、丁四个代表队的选手人数依次为 , , , . 16.80+81+82+83+…+82013+82014的和的个位数字是 . 三、解答题 17.已知对任意的有理数x、y,等式(x+y)2=x2+2xy+y2 都恒成立,那么当x-2y+z=1, x2+y2-z2=-2时,求证:(x-1)2+(y+2)2=(z+1)2. 18.某营销公司业务员的工资由基本保障工资和计件工资两部分组成,计件工资=销售每件 产品的奖励金额×销售的件数.下表是甲、乙两名职工某月工资信息的一部分: 职工 甲 乙 月销售件数(件) 250 280 月工资(元) 3200 3440 (1)求月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元? (2)如果业务员丙某月的工资为3000元,那么丙该月销售了多少件产品? NEWHOPECUP 22 . . 19.解方程2x-1 + 2-x - 2x+1 =0. 20.下面右图中的“白狐”图案是由5个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形拼成 的,而这7个图形刚好又能够拼成一个正方形,请在左图的正方形中画出拼成正方形的 方法,并标出每一个图形所对应的数字. PUECPOWHEN 48 此三角形的三边是2,7,8或4,5,8.则k=4或 2. 16.511 提示:凡能被9除尽的数,它各个数位上 的数加起来也能被9整除. 所以x+6+7+9+y应该能被9整除. x的取值范围是1~9,y的取值范围是0~9, 所以x+6+7+9+y的最小值是1+6+7+9 +0=23,最大值是9+6+7+9+9=40. 在23~40之间的整数中,能被9整除的只有 27、36.即x+y=5或14. 所以x679y有可能是: 56790,46791,36792,26793,16794,96795, 86796,76797,66798,56799, 而x679y不仅要能被9整除,还要能被8整除, 所以y是奇数的情况不符合实际,应排除, 剩下的可能数据有: 56790,36792,16794,86796,66798, 用它们分别除以72,得: 56790÷72=788.75, 36792÷72=511, 16794÷72=233.25, 86796÷72=1205.5, 66798÷72=927.75, 因为表示衣服的件数只能是正整数,所以只有 511符合实际. 三、解答题 17.解:M-N=axa+4+x3-a-x3+x-3-(3xa+4 -x4+x3+ax2-2x-1)=(a-3)xa+4+x3-a +x4-2x3-ax2+3x-2, 若a+4=5,则a=1,3-a=2, M-N=-2x5+x4-2x3+3x-2为五次五项 式,不符合要求,舍去; 若3-a=5,则a=-2,a+4=2, M-N=x5+x4-2x3-3x2+3x-2是五次六 项式,符合要求,此时a=-2. 答:a的值为-2. 18.解:原方程可变形为(6x+n)k+2m=40+x, 因为无论k为何值时,它的解总是x=1, 所以 6+n=0, 2m=40+1{ .解得 n=-6, m=20.5{ . 答:m、n的值分别为20.5、-6. 19.解:(1)设快车的速度为v1,慢车的速度为v2, 环形车道的长为s,则 25(v1+v2)=2520×60× (v1-v2),解得 v1=2v2,即快车的速度与慢车的速度之比为v1 ∶v2=2∶1. (2)解法一:根据题意,得 s v1+v2=25 , s v1-v2= 25 20×60 ì î í ïï ïï . 即 v1 s+ v2 s= 1 25 , v1 s- v2 s= 1 75 ì î í ïï ïï . 解得v2 s= 1 75 , 故经过了25分钟慢车跑了 v2 s×25×60= 25×60 75 =20 (圈). 解法二:由v1=2v2,知慢车每跑1圈,快车就比 慢车多跑1圈,所以当快车比慢车多跑20圈 时,慢车也跑了20圈. 20.解:(1)因 为∠ABC=100°,AF 平 分∠BAE, ∠EAC=∠DAC, 所以∠CAF=12∠BAD =12× (180°-100°)=40°. (2)因为AD∥BC,∠EAC=∠DAC, 所以∠ACB=∠DAC=∠EAC, 所以∠AEB=∠ACB+∠EAC=2∠ACB, 所以∠ACB∶∠AEB=1∶2, 即∠ACB与∠AEB的比值不变, 这个比值为1 2. (3)设∠ACD=x,则∠ACB=80°-x,∠AFB =120°-x, 当∠AFB=∠ACD 时, 120°-x=x,解得x=60°. 即在平移 线 段 CD 的 过 程 中,存 在∠AFB= ∠ACD,此时∠AFB=∠ACD=60°. 答:略. 一、选择题 1.B 提示:5+4+3=12. 2.A 提示:f(g(h(-1,3)))=f(g(1,-3))= f(-3,1)=(3,1). 3.B 提示:由绝对值定义有 x < x+2014 ,当 x>0时,有x<x+2014,0<2014,即对任意大于 七年级训练题（二十二） ! $#"! 49 0的x都成立;当x<0时,若点C 在点B 的左 边,显然不成立;若点C 在点A、B 的中间,则x +2014>0,从而-x<x+2014,即x>-1007. 综上,x>-1007. 4.D 提示:(1+25%)3-1=6164. 5.C 提示:1×2×3×4+2×2×(3×3+2×4)+3 ×2×(4+2×3)+4×2×(3×2+3)+6×2×(2 ×2+3)+8×2×2+9×2×2+12×2×1= 400(cm2). 6.A 提示:设x=n+a,其中n为x 的整数部分(n 为非负整数),a为x 的小数部分(0≤a<1).当0 ≤a<12 时,<x>=n,<x+m>=n+m=<x>+m; 当1 2≤a<1 时,<x>=n+1,<x+m>=n+1+m, 又<x>+m=n+1+m,所以<x+m>=<x>+m. 7.D 提示:将所掰的手指与对应的数之间的关系 列成下表: 大拇指 1 9 17 … 食指 2 8 10 16 18 … 中指 3 7 11 15 19 … 无名指 4 6 12 14 20 … 小指 5 13 21 … 可看出,除前5个数外,后面的每8个数可作为 一个周期,每个周期的第1个数对应无名指, (2014-5)÷8=251……1,2014刚好是一个周 期的第1个数. 8.C 提示:连续3次变换为一个循环,2014÷3= 671……1,∴最后朝上一面的点数与1次变换后 朝上一面的点数相同. 二、填空题 9.1,2,3,4,5,6,7 提示:从后面的个位数依次往 前面推,“赛”代表9,易知“竞”代表7,“学”代表 6,“数”代表5,“杯”代表4,“望”代表3,“希”代表 2,“新”代表1. 10.3或4 提示:根据程序得算式为3x-4, 第一次:3x-4; 第二次:3(3x-4)-4=9x-16; 第三次:3(9x-16)-4=27x-52; 第四次:3(27x-52)-4=81x-160; 第五次:3(81x-160)-4=243x-484, 由 81x-160≤164, 243x-484>164{ .解得2.6 · <x≤4, 所以正整数x的取值为3或4. 11.12 提示:180°-360°a +180°- 360° b +180°- 360° c =360° ,解得1 a+ 1 b+ 1 c= 1 2. 12.4 提示:由 (x-14y )y=3, (1 2x+3y )x=8 ì î í ï ï ïï . 得 y2+12=4xy, x2+6xy=16{ .所 以 x 2 +y2 +2xy=4,即 (x+y)2=4. 13.1013545.5 提示:因为 1+2+3+…+(n-1) n = 1 2n (n-1) n = 1 2 (n- 1), 所以(1 2+ 1 3+ 1 4+ …+ 12014 )+(23+ 2 4+ 2 5+ …+ 22014 )+…+(20122013+ 2012 2014 )+20132014 =12 + (1 3 + 2 3 )+(14 + 2 4 + 3 4 )+…+ (1 2014+ 2 2014+ 3 2014+ …+20122014+ 2013 2014 ) =12× (1+2+3+…+2013) =12× 1 2× (1+2013)×2013 =1013545.5. 14.45 提 示:如 图,设∠CDE=∠EDF=x,则 ∠ADC=2x+90°,得∠ADP=x+45°,从 而 ∠PDF=45°-x,所 以 ∠PDE= ∠PDF+ ∠EDF=45°-x+x=45°. 15.7,9,11,23 提示:甲+乙=16;乙+丙=20;丙 +丁=34;因为甲<乙,所以乙可能是9、10、11、 12、13、14、15,而乙<丙,所以乙可能是1、2、3、 4、5、6、7、8、9,所以乙=9,从而甲=7,丙=11, PUECPOWHEN 50 丁=23. 16.3 提示:80=1,81=8,82=64,83=512,84= 4096,85=32768,86=262144,…,除了80=1之 外,后面数字的个位数字依次以8、4、2、6为周 期循环出现,8+4+3+6=20,个位为0,2014÷ 4=503……2;1+503×0+8+4=13,所以所求 个位数字为3. 三、解答题 17.证法一:因为x-2y+z=1,x2+y2-z2=-2, 所以x-2y=1-z,x2+y2=z2-2, 又因为对任意的有理数x、y,等式(x+y)2=x2 +2xy+y2 都恒成立, 所以(x-1)2+(y+2)2 =x2-2x+1+y2+4y+4 =x2+y2-2(x-2y)+5 =z2-2-2(1-z)+5 =z2+2z+1=(z+1)2. 证法二:因为x-2y+z=1,x2+y2-z2=-2, 且对任意的有理数x、y,等式(x+y)2=x2+ 2xy+y2 都恒成立, 所以(x-1)2+(y+2)2-(z+1)2 =x2-2x+1+y2+4y+4-z2-2z-1 =x2+y2-z2-2(x-2y+z)+4 =-2-2+4=0, 所以(x-1)2+(y+2)2=(z+1)2. 18.解:(1)设月基本保障工资为x元,销售每件产 品的奖励金额为y元,则由题意得 x+250y=3200, x+280y=3440{ .解得 x=1200, y=8{ . 奖励金额为8元. (2)设丙该月销售了t件产品,则 1200+8t=3000,解得t=225, 即丙该月销售了225件产品. 答:月基本保障工资为1200元,销售每件产品 的奖励金额为8元,丙该月销售了225件产品. 19.解:当x≤-12 时, x-1<0,2-x>0,2x+1≤0,方程可化为 -2(x-1)+2-x+2x+1=0,解得x=5(舍); 当-12<x≤1 时, x-1≤0,2-x>0,2x+1>0,方程可化为 -2(x-1)+2-x-(2x+1)=0,解得x=35 ; 当1<x≤2时, x-1>0,2-x≥0,2x+1>0,方程可化为 2(x-1)+2-x-(2x+1)=0, 解得x=-1(舍); 当x>2时, x-1>0,2-x<0,2x+1>0,方程可化为 2(x-1)+x-2-(2x+1)=0,解得x=5; 综上,原方程的解为x=5或x=35. 20.如图: 即月基本保障工资为1200元,销售每件产品的