训练题 13-“枫叶新希望杯”七年级数学竞赛训练题

NEWHOPECUP ４２　 七年级训练题(十三) 一、选择题 １．下列说法中,错误的是(　　)． A．AB＝BC,则点B 是线段AC 的中点 B．过不同的两点有且只有一条直线 C．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 D．两点之间,线段最短 ２．如图１,将一张正方形纸片沿虚线对折得到图２,将图２沿虚线对折得到图３,在图３中沿 与底边平行的虚线剪去一个角,再将剩下的剪纸展开,得到的形状是(　　)． 图１ 　　　　 图２ 　　　　 图３ A． B． C． D． ３．某商店将一种商品按进价提高４０％后标价,又以七五折卖出,结果每件仍获利１００元,该 商品的进价每件是多少元? 设该商品的进价是每件x元,则所列方程为(　　)． A．４０％× １＋７５％( )x－x＝１００ B．７５％× １＋４０％( )x－x＝１００ C．４０％× １－７５％( )x－x＝１００ D．７５％× １－４０％( )x－x＝１００ ４．已知点P１ x１,y１( ) 、P２ x２,y２( ) 的距离为 y１－y２ ,则点P１、P２ 的位置是(　　)． A．点P１、P２ 必在x轴上 B．点P１、P２ 必在y轴上 C．P１P２∥x轴或在x 轴上 D．P１P２∥y轴或在y 轴上 ５．有理数a、b、c互不相等,那么关于a－bb－c 、b－c c－a 、c－a a－b 的符号,下列说法正确的是(　　)． A．三个都是正数 B．两正一负 C．一正两负 D．三个都是负数 (第６题图) ６．如图,在平面直角坐标系中,若由点O(０,０)、A(１,２)、B(３, ０)、C四点构成的四边形为平行四边形,则满足条件的点C 的 个数有(　　)． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ７．有一串按规律排列的数字:－２０１６,－２００９,－２００２,－１９９５, 􀆺,这串数字的前(　　)个数字之和最小． A．２９０ B．２８９ C．２８８ D．２８８或２８９ ８．已知时钟上的时针、分针和秒针都是匀速转动的,那么从３时整开始(包括３:００),在１分 !"#$%! ４３　 钟的时间内,出现其中一根针与另外两根针所夹的角相等的情况有(　　)． A．２次 B．３次 C．４次 D．５次 二、填空题 ９．若代数式１２x＋３ 与１ ４x＋６ 互为相反数,则x＝ ． １０．某同学在一次旅游后将旅途的费用支出情况制成了如图所示的扇形统计图,若路费为a 元,则购物的花费为 元． (第１０题图) 　　　　　 (第１３题图) １１．铁路客运站规定:旅客所携带的行李箱免费的条件是,行李箱的长、宽、高之和不超过 １６０cm．已知某旅客的行李箱的长与宽之比为３∶２,高为３０cm,且符合行李箱免费的条 件,那么该行李箱的长的最大值为 cm． １２．小强在计算一个多项式减去－xy＋２yz－３xz时,误将“减去”当成了“加上”,从而得到结 果为－yz＋２xy－３xz,那么正确的结果应该是 ． １３．无论a为何值,点P(a,３－２a)都不可能在第 象限． １４．如图,一个圆的周长为４个单位长度,且在圆周的四等分点处分别标上了数字０,１,２,３． 现让数轴的原点与圆周上的０所对应的点重合,再将数轴的正半轴按顺时针方向绕在圆 周上．若数轴上的一个表示整数的点绕过该圆周n圈(n为整数)后,落在了圆周上的数 字２所对应的位置,则这个整数是 ． １５．某居民楼共有三层,第二层住有２１人,第三层住有１９人．其中成年男子在第二层有９ 人,在第三层有６人;成年女子在第一层有７人,在第三层有５人;第一层有男孩１人、女 孩５人;第二层有女孩１人;第三层有男孩５人;成年男子的总数比成年女子的总数多４ 人,男孩与女孩的总数一样多．则该居民楼中的居民人数共有 人． １６．已知等式y＝xz,１x ＋ ３ y ＝ ５ z 成立,且其中x、z 为质数,则 ２０１５x＋１００y＋１０z＝ ． 三、解答题 １７．如图,已知直线AB∥CD,∠EAF＝１３∠EAB ,∠ECF＝１４∠ECD ,∠EAF＝∠ECF． 求证:∠AFC∶∠AEC＝５∶７． NEWHOPECUP ４４　 １８．某市居民生活用电的基本价格是每度电０．６元,若每月用电量超过一定的数量,则超过 部分按基本价格的１３０％收费．某月焦老师家用电８５度,共缴电费５５．５元;同月李老师 家用电的平均价格为每度电０．６３元．求李老师家这个月的用电量． １９．已知在直线AB 上有一点C(不与点A、B 重合),点M、N 分别为AC、BC的中点,探究线 段MN 与线段AB 的长度之比MN∶AB,并说明理由． ２０．给定１~６０中的６０个自然数:１,２,３,􀆺,６０,求证:从中任选９个数,必有两个自然数p、q 满足不等式２ ３≤ q p≤ ３ ２． ! " # $! １１１　 别为a１≤a２≤a３≤a４,对于a１＋a２,只能是a３＋ a４＝a１＋a２,则a１＝a２＝a３＝a４,即年龄最小的 学生至少有４名;同理,年龄最大的学生也至少 有４名,不妨设最大年龄为b．设最小的两个不 同年龄为a４、c,最大的两个不同年龄为b、d,则 对于a４＋c,只能a３＋c＝a４＋c,即年龄为c的 学生至少有２名;同理,年龄为d的学生也至少 有２名,所以这组学生至少有１２名,例如:年龄 分别为１３岁,１３岁,１３岁,１３岁,１４岁,１４岁, １５岁,１５岁,１６岁,１６岁,１６岁,１６岁． 三、解答题 １７．解:∵a＝１,b＝２,c＝３, ∴原 式 ＝a２b－２ab２ ＋ ３abc－３a２c＋２ab２( ) － a２b－３abc＝a２b－２ab２＋３abc－３a２c＋２ab２ － a２b－３abc＝－３a２c＝－９． １８．解:分别过点A、B 作x 轴的垂线,垂足分别为 点D、E,如图: 则点D(７,０)、E(２０,０), ∴AD＝１４,BE＝１１,OD＝７,OE＝２０,DE＝２０ －７＝１３,CE＝３１－２０＝１１, ∴四边形OABC的面积＝三角形OAD 的面积 ＋梯形ABED 的面积＋三角形BCE 的面积＝ １ ２×７×１４＋ １ ２× (１１＋１４)×１３＋１２×１１×１１ ＝２７２．答:略． １９．解:他们都要尽可能多骑车,小香香步行的路程 才能尽可能少．设小香香步行了x千米,则骑车 ３０－x( ) 千 米,小 灰 灰 骑 车 x 千 米,步 行 ３０－x( ) 千 米,由 题 意 得, x６＋ ３０－x １６( ) － x １６＋ ３０－x ６( ) ＝１,解得x＝１９．８．答:略． ２０．证明:设其中一个顶点为点A,则含有点A 的三 角形共有５×４ ２ ＝１０ (个),即每个顶点都在１０个 三角形中．若把所有三角形顶点上的数都相加, 得到和为S,则每个顶点上的数都加了１０次, 所以S为偶数．所以所有奇三角形顶点上的数 字之和为偶数,所以奇三角形的个数为偶数． 七年级训练题(十三) 一、选择题 １．A　提示:点A、B、C不一定共线． ２．C ３．B ４．D　提示:点P１、P２ 横坐标相同． ５．C　提示:∵a－bb－c× b－c c－a× c－a a－b＝１＞０ ,又a－b b－c 与b－c a－b 符号相同,且b－c a－b＋ c－a a－b＝ b－a a－b＝－１＜ ０,∴三个数中有两个负数,即一正两负． ６．C　提示:有平行四边形OACB、OABC、OBAC． ７．D　提示:数串第n个数为７n－２０２３,前２８８个 数都小于０,第２８９个数等于０,从第２９０个数开 始,每个数都大于０． ８．D　提示:依次为①３点整的时候,时针与另外两 根针所夹的角相等;②３点零几秒的时候,秒针 与另外两根针所夹的角相等出现一次;③３点零 ２０几秒的时候,分针与另外两根针所夹的角相 等出现一次;④３点零３０几秒的时候,秒针与另 外两根针所夹的角相等出现一次;⑤３点零４０ 几秒的时候,分针与另外两根针所夹的角相等出 现一次． 二、填空题 ９．－１２　提示:１２x＋３＋ １ ４x＋６＝０ ,解得x＝ －１２． １０．３２a　 提示:１－３０％－２５％＝４５％,４５％３０％a＝ ３ ２a． １１．７８　提示:设该行李箱的长为３x,宽为２x,由题 意得５x＋３０≤１６０,解得x≤２６,∴３x≤７８． １２．４xy－５yz＋３xz　 提示:－yz＋２xy－３xz－ ２(－xy＋２yz－３xz)＝４xy－５yz＋３xz． １３．三　提示:当a≥０时,３－２a为正、为负、为０都 有可能,即点P(a,３－２a)可能在第一、四象限; 当a≤０时,３－２a＞０,即点P(a,３－２a)可能在 第二象限,不可能出现a＜０的同时３－２a＜０ 的情况,∴点P(a,３－２a)不可能在第三象限． NEWHOPECUP １１２　 １４．４n＋２　提示:周期为４． １５．６２　提示:列表分析如下: １６．５５００　提示:由１x＋ ３ y ＝ ５ z 得yz＋３xz＝５xy, 即yz＋３y＝５xy, ∵x、z为质数,∴y＝xz≠０,∴z＋３＝５x,若x、 z都为奇数,显然不成立, ∴x、z中必有一个为偶质数２．若z＝２,则２＋３ ＝５x,得x＝１,不成立;若x＝２,则z＋３＝５× ２,得z＝７,符合,从而y＝xz＝１４, ∴２０１５x＋１００y＋１０z＝５５００． 三、解答题 １７．证明:设∠EAF＝∠ECF＝a,则∠EAB＝３a, ∠ECD＝４a, ∵直线AB∥CD, ∴∠AEC＝ ∠EAB＋ ∠ECD＝７a,∠AFC＝ ∠FAB ＋ ∠FCD ＝ ∠EAB － １３ ∠EAB ＋ ∠ECD－１４∠ECD＝５a , ∴∠AFC∶∠AEC＝５a∶７a＝５∶７． １８．解:设每月用电量超过a度电时,超过部分按每 度电０．６×１３０％＝０．７８(元)收费． ∵０．６×８５＝５１＜５５．５, ∴焦老师家这个月的用电量超过了a度, 由题意得０．６a＋０．７８８５－a( ) ＝５５．５, 解得a＝６０． 设李老师家这个月的用电量为x度, 则０．６×６０＋０．７８x－６０( ) ＝０．６３x, 解得x＝７２．答:略． １９．解:∵点 M、N 分别为AC、BC的中点, ∴CM＝１２AC ,CN＝１２BC． (１)当点C在线段AB 上时,如图１,则 MN＝CM＋CN＝１２AC＋ １ ２BC＝ １ ２AB , ∴MN∶AB＝１∶２． 图１ (２)当点C在线段AB 的延长线上时,如图２,则 MN＝CM－CN＝１２AC－ １ ２BC＝ １ ２AB , ∴MN∶AB＝１∶２． 图２ (３)当点C在线段BA 的延长线上时,如图３,则 MN＝CN－CM＝１２BC－ １ ２AC＝ １ ２AB , ∴MN∶AB＝１∶２． 图３ 综上,MN∶AB＝１∶２． ２０．证明:将这６０个自然数按如下的方法分成８ 组,使得每组数中的任意两个数的比值不小于 ２ ３ ,且不大于 ３ ２．A１＝ {１},A２＝{２,３},A３ ＝ {４,５,６},A４＝{７,８,９,１０},A５＝{１１,１２,１３,１４, １５,１６},A６＝{１７,１８,１９,２０,２１,２２,２３,２４,２５}, A７＝{２６,２７,２８,２９,３０,３１,３２,３３,３４,３５,３６, ３７,３８,３９},A８＝{４０,４１,４２,４３,４４,４５,４６,４７, ４８,４９,５０,５１,５２,５３,５４,５５,５６,５７,５８,５９,６０}． 由抽屉原理可知,从这８组数中任取９个数,至 少有２个数来自于同一个组,设这个两个数分 别为p、q,则p、q满足２３≤ q p ≤ ３ ２． 七年级训练题(十四) 一、选择题 １．C　提示:－１与２０１６都是常数项,是同类项． ２．C　提示:设小正方形的边长为x,则a－x＝b＋ x,解得x＝a－b２ ． ３．B　提示:∵x＋１＞x－１,∴当x＋１≤０时,x－１ ＜０,∴点(x＋１,x－１)不可能在第二象限． ４．D　提示:①四边形内角和与外角和都是３６０°,正 确;②五边形的内角和为５４０°,若有四个锐角,则 第五个角至少为５４０°－４×９０°＝１８０°,矛盾,∴锐 角至多有三个,从而钝角至少有两个,②正确;③ n 边 形 有n n－３ ( ) ２ 条 对 角 线,∴ 十 边 形 有