3.1.2 排列与排列数课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第三章　排列、组合与二项式定理 3.1.2　排列与排列数 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.正确理解排列的意义,掌握写出简单排列的方法,加深对分类讨论方法的理解,发展学生的运算求解能力和逻辑思维能力. 2.掌握有关排列综合题的基本解法,提高分析问题和解决问题的能力,学会用分类讨论思想解决问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　排列的定义 一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. 一个顺序得到一个排列,顺序不同得到不同的排列 特别地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列. 名师点睛 理解排列的定义应注意的问题 (1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序 排列”. (2)只有当对象完全相同,并且对象的排列顺序也完全相同时,两个排列才是同一个排列. (3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. (4)判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同对象中取出m个对象后,在安排这m个对象时,要求是有序还是无序,有序就是排列问题,无序就不是排列问题. 过关自诊 下列问题是排列问题的是　　　　　.(填序号)  (1)从1到10十个自然数中任取两个不同数 组成平面直角坐标系内的点的坐标,可得多少个不同的点的坐标? (2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会,有多少种不同的抽取方法? (3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来,不同的出入方式共有多少种? (1)(3) 解析 (1)由于取出的两个数组成的点的坐标,与哪一个数作为横坐标,哪一个数作为纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题. (2)抽取2名同学参加座谈会不用考虑2名同学的顺序,所以不是排列问题. (3)因为从一个门进,从另一个门出是有顺序的,所以是排列问题. 知识点二　排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号 表示. 名师点睛 “排列”和“排列数”是两个不同的概念.排列是指“从n个不同对象中,任取m个对象,按照一定顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个排列(也就是具体的一件事);排列数是指“从n个不同的对象中取出m个对象的所有排列的个数”,是一个数. 过关自诊 写出从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数的所有排列数为　　　　　.(用符号表示)  知识点三　排列数公式 1.排列数公式 名师点睛 1.这个公式只有在m,n都是正整数,且m≤n的情况下才成立. 2.公式右边是m个数的连乘积,它的第一个因数是n,后面的每一个因数都比它前面相邻的因数少1,最后一个因数为(n-m+1). 2.排列数公式的阶乘表示 全排列数公式的阶乘表示: =n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. 规定:0!=1, =1. 排列数公式的阶乘表示: 过关自诊 1 重难探究·能力素养全提升 探究点一　排列数公式的应用 【例1】 [人教A版教材例题]计算: 规律方法　排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数公式进行.应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的数是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用. (2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量. 变式训练1用排列数表示(55-n)·(56-n)…(69-n)(n∈N+,且n<55). 解 ∵55-n,56-n,…,69-n中最大的数为69-n,且元素总个数为 (69-n)-(55-n)+1=15. ∴(55-n)(56-n)…(69-n)= 探究点二　无限制条件的排列问题 【例2】 (1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? 解 从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的排列,因此不同送法的种数是 =5×4×3=60,所以共有60种不同的送法. (2)有5种不同的书(每种不少于3本),要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? 解 由于有5种不同的书,送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同方法种数是5×5×5=125,所以共有125种不同的送法. 规律方法　无限制条件的排列问题的求解策略 没有限制条件的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可. 变式训练2[人教A版教材习题]一位老师要给4个班轮流做讲座,每个班讲1场,有多少种轮流次序? 探究点三　有限制条件的排列问题 【例3】 有3名男生、4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法种数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边; (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4)全体排成一行,男、女各不相邻; (5)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变; (6)排成前后两排,前排3人,后排4人. 规律方法　1.排列问题中的限制条件主要是特殊元素(位置)的分析,一般遵循特殊元素(位置)优先安排的原则.应记住相邻、相间、定序、分排等常见的模型. 2.元素相邻和不相邻问题的解题策略 限制条件 解题策略 元素相邻 通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素的排列 元素不相邻 通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中 变式训练3[北师大版教材习题]已知5个不同的元素a,b,c,d,e排成一排. (1)a,e相邻共有多少种排法? (2)a,e不相邻共有多少种排法? 【例4】 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的下列数?(1)六位奇数;(2)个位数字不是5的六位数;(3)不大于4 310的四位偶数. 变式探究 本例条件不变,可以组成多少个能被5整除的五位数? 规律方法　数字排列问题常见的解题方法 (1)两优先排法:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排首位. (2)分类讨论法:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计算.要注意两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏. (3)排除法:全排列数减去不符合条件的排列数. (4)位置分析法:按位置逐步讨论. 变式训练4[人教A版教材例题]用0~9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解 方法一:如图①所示,由于三位数的百位上的数字不能是0,所以可以分两步完成:第1步,确定百位上的数字,可以从1~9这9个数字中取出1个,有 种取法;第2步,确定十位和个位上的数字,可以从剩下的9个数字中取出2个,有 种取法.根据分步乘法计数原理,所求的三位数的个数为 图① 方法二:如图②所示,符合条件的三位数可以分成三类:第1类,每一位数字都不是0的三位数,可以从1~9这9个数字中取出3个,有 种取法;第2类,个位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位,有 种取法;第3类,十位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位,有 种取法. 图② 方法三:从0~9这10个数字中选取3个的排列数为 ,其中0在百位上的排列数为 ,它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数,即所求三位数的个数为 =10×9×8-9×8=648. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.4×5×6×…×(n-1)×n等于(　　) D 解析 原式可写成n×(n-1)×…×6×5×4,故选D. 1 2 3 4 5 2.甲、乙、丙三人排成一排去照相,甲不站在最左边的所有排列种数为 (　　) A.6 B.4 C.8 D.10 B 解析 先排甲,有2种方法,然后乙和丙全排列即可,所以共有2 =4种排法.故选B. 1 2 3 4 5 3.(多选题)下列问题是排列问题的是(　　) A.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组的方法种数 B.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动的方法种数 C.求从a,b,c,d中选出3个字母的方法种数 D.求从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数的个数 AD 解析 对于A,从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组,与顺序有关,是排列问题;对于B,从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,只要求选出即可,不是排列问题;对于C,从a,b,c,d中选出3个字母,只要求选出即可,不是排列问题;对于D,从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数,需要先选出再排序,是排列问题.故选AD. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.春节文艺汇演中需要将A,B,C,D,E,F六个节目进行排序,若A,B两个节目必须相邻,且都不能排在3号位置,则不同的排序方式有　　　　　种.(用数字作答)  144 1 2 3 4 5 5.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案? 1 2 3 4 5 =n(n-1)…(n-m+1). . =　　　　　.  解析 =1. 解 根据排列数公式,可得 (1)=7×6×5=210; (2)=7×6×5×4=840; (3)=7×6×5=210; (4)=6×5×4×3×2×1=6!=720. (1); (2); (3); (4). . 解 有=4!=4×3×2×1=24种轮流次序. 解 (1)元素分析法:甲为特殊元素,故先安排甲,左、右、中共三个位置可供甲选择,有种,其余6人全排列,有种.由分步乘法计数原理得=2 160种. (2)位置分析法:先排最左边,除去甲外,有种,余下的6个位置全排列有种,但应剔除乙在最右边的排法数种. 则符合条件的排法共有=3 720种. (3)捆绑法:将男生看成一个整体,进行全排列有种排法,把这个整体看成一个元素再与其他4名女生进行全排列有种排法,共有=720种. (4)插空法:先排好男生,然后将女生插入排男生时产生的四个空位,共有=144种. (5)定序排列用除法:第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列数为N;第二步,对甲、乙、丙进行全排列,则为7个人的全排列,因此有=N×,所以N==840种. (6)分排问题直接法:由已知,7人排在7个位置,与无任何限制的排列相同,有=5 040种. 解 (1)要使a,e相邻,可将a,e看成一个整体,有种排法; 再将这个整体与b,c,d排成一排,有种排法. 根据分步乘法计数原理,共有= 48种排法. (2)(方法一　间接法 )a,e的位置关系只有相邻或不相邻两种,将5个不同元素全排列,有=120种排法,由(1)知a,e相邻的排法有48种,所以不相邻的排法共有120-48=72种. (方法二　插空法 )先排列除a,e外的其他三个元素,有种排法; 三个元素前后及之间共有4个空隙,要使a,e不相邻,只需将a,e分别插入这4个空隙的2个中即可,因此共有=72种排法. 解 (1)方法一:从特殊位置入手(直接法) 分三步完成,第一步先填个位,有种填法;第二步再填十万位,有种填法;第三步填其他数位,有种填法.故共有=288个六位奇数. 方法二:从特殊元素入手(直接法) 0不在两端有种排法,从1,3,5中任选一个排在个位有种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有种排法,故共有=288个六位奇数. (2)直接法 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同.因此需分两类. 第一类:当个位排0时,符合条件的六位数有个; 第二类:当个位不排0时,符合条件的六位数有个. 故符合题意的六位数共有=504个. (3)直接法 ①当千位上排1,3时,有个. ②当千位上排2时,有个. ③当千位上排4时,形如40××,42××的各有个;形如41××的有个;形如43××的只有4 310和4 302这两个数. 故共有+2+2=110个. 解 个位上的数字必须是0或5.若个位上是0,则有个;若个位上是5,若不含0,则有个;若含0,但0不作首位,则0的位置有种排法,其余各位有种排法,故共有=216个能被5整除的五位数. =9×9×8=648. 根据分类加法计数原理,所求三位数的个数为 =9×8×7+9×8+9×8=648. A. B. C.n!-4! D. 解析 将A,B捆绑,先确定A,B的位置,有3种方式,再将剩余节目进行排序,有种可能,所以不同的排序方式共有3=144种. 解 (1)先排正、副班长,有种方法,再安排其余职务有种方法,由分步乘法计数原理,知共有=720种不同的分工方案. (2)7人任意分工,有种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有=3 600种. $$