3.1.3 组合与组合数（第1课时 组合及组合数公式）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第三章　排列、组合与二项式定理 3.1.3　组合与组合数 第一课时　组合及组合数公式 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题. 正确认识组合与排列的区别与联系 2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题,理解排列数与组合数之间的联系. 3.掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化简与证明. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　组合与组合数 1.组合 所取对象不同 一般地,从n个不同对象中取出m(m≤n) 个对象并成一组,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合. 2.组合数 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数,用符号 表示. 名师点睛 1.排列与组合的区别与联系 (1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象. (2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关. (3)只要两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合. 2.组合与组合数的区别 一个组合是具体的一件事,它不是一个数;而组合数是指所有组合的个数,它是一个数. 过关自诊 1.给出下列几个问题,其中是组合问题的有　　　　　.  ①某班选10名同学参加拔河比赛;②从1,2,3,4中选出两个数,构成平面向量a的坐标;③从1,2,3,4中选出两个数分别作为实轴长和虚轴长,构成双曲线方程;④从正方体的8个顶点中任取2个点构成线段. ①④ 解析 由于①④中选出的元素与顺序无关,而②③中选出的元素与顺序有关,由组合的定义可知,①④为组合问题. 2.已知a,b,c,d四个元素,取出两个元素的所有组合数为　　　　　.(用数字表示)  6 解析 所有组合为ab,ac,ad,bc,bd,cd,因此组合数为6. 知识点二　组合数公式 名师点睛 对组合数公式的几点说明 过关自诊 已知 ,则n的值构成的集合为　 .  {6,7,8,9} 又n∈N+,∴n的值为6,7,8,9. ∴n的值构成的集合为{6,7,8,9}. 知识点三　组合数的两个性质 名师点睛 过关自诊 1 126 重难探究·能力素养全提升 探究点一　组合的概念 【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题. (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个? (2)某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票,多少种票价? (3)元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,传递新年的祝福,贺年卡共有多少张? 解 (1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题. (2)因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题.但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题. (3)甲写给乙贺年卡,与乙写给甲贺年卡是不同的,所以与顺序有关,是排列问题. 变式训练1(多选题)给出下列几个问题,其中是组合问题的是(　　) A.求由1,2,3,4构成的含有两个元素的集合的个数 B.求5支球队每两支球队都进行一场比赛的场数 C.3人去做5种不同的工作,每人做1种,求不同的安排种数 D.求由1,2,3组成无重复数字的两位数的个数 AB 解析 选项A,B中选出元素就完成了这件事,是组合问题;而选项C,D中选出的元素还需排列,与顺序有关,是排列问题.故选AB. 探究点二　有关组合数的计算与证明 规律方法　关于组合数公式的选取技巧 变式训练2[人教A版教材习题]计算下列各式: 探究点三　简单的组合问题 【例3】 [人教A版教材例题]在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 解 (1)所有的不同抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的组合数,所以抽法种数为 (2)从2件次品中抽出1件的抽法有 种,从98件合格品中抽出2件的抽法有 种,因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 (3)方法一　从100件产品中抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况,因此根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 方法二　抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数,即 变式探究 在例3中,其他条件不变,若抽出的3件中至多有1件正品的抽法有多少种? 解 因为一共有2件次品,至多有1件正品即为恰有1件正品,故有 =98种. 规律方法　解答简单的组合问题的思考方法 (1)弄清要做的这件事是什么事; (2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看是不是组合问题; (3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果. 变式训练3在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件中,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加. 解 (1) =792种不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有 =36种不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 =126种不同的选法. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 1.从7人中选出3人参加座谈会,则不同的选法有(　　) A.210种 B.42种 C.35种 D.6种 C 解析 参加座谈会与顺序无关,是组合问题,共有 =35种不同的选法. 1 2 3 4 5 6 2.已知m,n∈N+,关于下列排列组合数,结论错误的是(　　) D 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3.某地将医院按其功能、任务不同划分为三个等级:一级医院、二级医院、三级医院.某地有9家医院,其中3家一级医院,4家二级医院,2家三级医院.现在要从中抽出4家医院进行药品抽检,则抽出的医院中至少有2家一级医院的抽法有(　　) A.81种 B.80种 C.51种 D.41种 C 1 2 3 4 5 6 4.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,则下列说法正确的有(　　) AC 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5.已知集合M={1,2,3,4,5,6},N={6,7,8,9},从M中选3个元素,N中选2个元素组成一个含5个元素的新集合C,则这样的集合C共有　　　　　个.  90 1 2 3 4 5 6 6.平面内有11个点,其中任何三点不共线,以其中两个点为端点,问: (1)线段有多少条? (2)有向线段有多少条? (1). 规定:=1,m≤n,m,n∈N+. (2). (1)公式常用于n为具体数的题目,多用于组合数的计算;公式 常用于n为字母的题目,多用于解不等式或证明恒等式. (2)公式还可以进行如下的变形:,特别地,m=n是一个比较有用的结论. 解析 ∵,∴ 化简得解得 (1). (2). 1.计算时,若m>,通常不直接计算,而是根据性质(1)改为计算. 2.要注意公式的正用、逆用、变形.尤其是当m,n都是具体自然数时的应用.正用时是“合二为一”,即将化为;逆用则是将组合数拆开;变形则为. [北师大版教材习题](1)3-2=　　　　　.  (2)=　　　　　.  解析 原式=3-2=9-8=1. 解析 =126. 【例2】 (1)计算. (2)证明:m=n. 解 原式=-7×6×5=210-210=0. 证明 m=m·=n·=n. (1)涉及具体数字的可以直接用进行计算. (2)计算时应注意利用组合数的性质简化运算. 解 (1)=455; (2)=1 313 400; (3)=20÷70=; (4)=(n+1)·. (1); (2); (3); (4). =9 506+98=9 604. =161 700-=9 604. =161 700. =2×=9 506. A. B. C. D.=(m+1) 解析 根据组合数的性质与组合数的计算公式 ,故A正确; 因为,, 所以,故B正确; 因为×m!=,所以,故C正确; 因为,(m+1)=(m+1)×,故D不正确.故选D. 解析 恰有2家一级医院,有=45种抽法;恰有3家一级医院,有=6种抽法.所以抽出的医院中至少有2家一级医院的抽法有45+6=51种.故选C. A.若任意选择三门课程,选法总数为种 B.若物理和化学至少选一门,选法总数为 C.若物理和历史不能同时选,选法总数为种 D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为 种 解析 选项A,任意选择三门课程,没有顺序之分,所以有种选法,A正确;选项B,在物理、化学中选一门,其他选两门,有种选法;物理、化学都选,其他选一门,有种选法,总共有种选法,B错误;选项C,任选3门,有种选法,排除物理、历史同时选的种选法,C正确;选项D,应分三种情况:①只选物理,则有种选法;②只选化学,则有种选法;③若物理与化学都选,则有种选法.即共有=20种选法,D错误.故选AC. 解析 第一类:从M中选取3个元素且含6有种,从N中选取2个元素不含6有种,根据分步乘法计数原理,有=10×3=30种;第二类:从M中选取3个元素且不含6有种,从N中选取2个元素有种,根据分步乘法计数原理,有=10×6=60种.由分类加法计数原理,集合C共有30+60=90个. (2)所求有向线段的条数即从11个元素中任取2个元素的排列,共有=11×10=110条. 解 (1)所求线段的条数即从11个元素中任取2个元素的组合,共有 =55条. $$