3.1.3 组合与组合数（第2课时 组合数的应用）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第三章　排列、组合与二项式定理 3.1.3　组合与组合数 第二课时　组合数的应用 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.学会运用组合的概念,分析简单的实际问题. 2.能够运用排列、组合知识解决相关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　应用组合知识解决实际问题的基本步骤 1.判断:判断实际问题是不是组合问题. 2.方法:选择利用直接法还是间接法解题. 3.计算:利用组合数公式结合两个计数原理解题. 4.结论:根据计算结果写出方案个数. 名师点睛 有限制条件的组合问题的求解策略 (1)解答有限制条件的组合问题的基本方法是直接法和间接法(排除法).若用直接法求解,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则.用间接法求解的原则是“正难则反”. (2)在具体计算组合数时,要注意灵活选择组合数的公式及性质. 过关自诊 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.14 B.24 C.28 D.48 A 重难探究·能力素养全提升 探究点一　无限制条件的组合问题 【例1】 有10名教师,其中6名男教师,4名女教师. (1)现要从中选2名去参加会议,有　　　　种不同的选法;  (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有　　　　　种不同的选法;  (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有　　　　　种不同的 选法.  45 21 90　 规律方法　无限制条件的组合问题的求解策略 解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出的元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出的元素排成一列,与顺序有关则是排列问题.在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏. 变式训练1[人教A版教材习题]在一次考试的选做题部分,要求在第1题的4个小题中选做3个小题,在第2题的3个小题中选做2个小题,在第3题的2个小题中选做1个小题,有多少种不同的选法? 解 因为只要选出要做的题目即可,所以是组合问题.可以分三步分别从第1,2,3题中选题,因此由分步乘法计数原理得,不同的选法种数为 探究点二　有限制条件的组合问题 【例2】 某地区发生了特别重大的交通事故.某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员.已知这10名医疗专家中有4名是外科专家.问: (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种? (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种? (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种? 变式探究 例题条件不变,所求问题改为: (1)抽调的6名专家中都不是外科专家的抽调方法有多少种? (2)抽调的6名专家中不都是非外科专家的抽调方法有多少种? 解 (1)“抽调的6名专家中都不是外科专家”即都是非外科专家,抽调方法有 =1种. (2)“抽调的6名专家中不都是非外科专家”即需有外科专家,可考虑间接法. 从10人中任选6人的不同选法有 种,都是非外科专家的选法只有1种, 所以抽调的6名专家中不都是非外科专家的抽调方法有 -1=209种. 规律方法　常见的有限制条件的组合问题及解题方法 1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据. 2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以以此作为分类依据,或采用间接法求解. 3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解. 探究点三　分组(分配)问题 【例3】 6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,每份两本; (3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本. 规律方法　分组(分配)问题的求解策略 (1)分清是分组问题还是分配问题,是解题的关键. (2)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种: ①完全均匀分组,每组的元素个数均相等. ②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!. ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. 变式训练2[北师大版教材习题]若甲、乙、丙、丁4个公司承包8项工程,其中甲公司承包3项,乙公司承包1项,丙、丁公司各承包2项,共有多少种承包方式? 探究点四　排列、组合的综合应用 【例4】 有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文课代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表; (4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表. 规律方法　解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 (1)按事情发生的过程进行分步. (2)按元素的性质进行分类.解决时通常从以下三个角度考虑: ①以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; ②以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; ③先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数. 变式训练3[北师大版教材习题]某校乒乓球队有男运动员10名和女运动员9名,若要选出男、女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛),共有多少种参赛方法? 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.某国航母编队的要求是每艘航母配2艘或3艘驱逐舰,1艘或2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队,则不同组建方法种数为(　　)　　　　　　　　　　　　 A.30 B.60 C.90 D.120 D 1 2 3 4 5 2.某省高考改革后实施选科走班制度,小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合,物理和历史不同时选择,则小明不同的选科情况有(　　) A.14种 B.16种 C.18种 D.20种 B 1 2 3 4 5 3.(多选题)我国古代著名的数学著作中,《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》,称为“算经十书”,某老师将其中的《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者,其中每人至少一本,则不同的分配方法的种数为(　　) AD 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有　　　　　种.(用数字填写答案)  16 1 2 3 4 5 5.要从6名男生、4名女生中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法? (1)甲当选且乙不当选; (2)至多有3名男生当选. 1 2 3 4 5 解析 从6人中选4人共有种选派方案,其中不含女生(全是男生)的选派方案有种,因此至少有1名女生的选派方案有=15-1=14种. 解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即=45种. (2)可把问题分两类情况: 第1类,选出的2名是男教师有种方法; 第2类,选出的2名是女教师有种方法. 根据分类加法计数原理,共有=15+6=21种不同选法. (3)从6名男教师中选2名的选法有种,从4名女教师中选2名的选法有种,根据分步乘法计数原理,共有不同的选法=90种. =24. 解 (1)分步:首先从4名外科专家中任选2名,有种不同的选法,再从除外科专家的6人中选取4人,有种不同的选法,所以共有=90种抽调方法. (2)“至少”的含义是不低于,有两种解答方法. (方法一:直接法)按选取的外科专家的人数分类: 选2名外科专家,共有种选法; 选3名外科专家,共有种选法; 选4名外科专家,共有种选法. 根据分类加法计数原理,共有=185种抽调方法. (方法二:间接法)不考虑是否有外科专家,共有种选法; 选取1名外科专家,共有种选法; 没有选取外科专家,共有种选法. 所以共有=185种抽调方法. (3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况,可分类解答: 没有选取外科专家,共有种选法; 选取1名外科专家,共有种选法; 选取2名外科专家,共有种选法. 根据分类加法计数原理,共有=115种抽调方法. 解 (1)根据分步乘法计数原理得到共有=90种分法. (2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有种分法,这个过程可以分两步完成: 第一步分为三份,每份两本,设有x种分法; 第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种分法. 根据分步乘法计数原理可得=x, 所以x==15. 因此分为三份,每份两本一共有15种分法. (3)这是“不均匀分组”问题,一共有=60种分法. (4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有=360种分法. (5)可以分为三类情况:①“2,2,2型”即(1)中的分配情况,有=90种分法; ②“1,2,3型”即(4)中的分配情况,有=360种分法; ③“1,1,4型”,有=90种分法. 所以一共有90+360+90=540种分法. 解 完成这件事需要四个步骤: 第一步,甲公司承包3项工程,从8项工程中任选3项,有种选法; 第二步,乙公司承包1项工程,从剩余的5项工程中任选1项,有种选法; 第三步,丙公司承包2项工程,从剩余的4项工程中任选2项,有种选法; 第四步,丁公司承包2项工程,从剩余的2项工程中选2项,有种选法. 根据分步乘法计数原理,共有=1 680种承包方式. 解 (1)先选后排,先选可以是3男2女,也可以是4男1女,共有种,后排有种,共()·=5 400种选法. (2)除去该女生后,先选后排,有=840种选法. (3)先选后排,但先安排该男生,有=3 360种选法. (4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种,再安排该男生有种,其余3人全排有种,共=360种选法. 解 从10名男运动员中选出3名,有种选法;从9名女运动员中选出3名,有种选法,挑选出的3名女运动员与3名男运动员随机搭配,相当于3个元素全排列,有种情况.根据分步乘法计数原理知共有=60 480种参赛方法. 解析 取2艘驱逐舰与1艘核潜艇有种方法;取2艘驱逐舰与2艘核潜艇有种方法;取3艘驱逐舰与1艘核潜艇有种方法;取3艘驱逐舰与2艘核潜艇有种方法.所以共有=120种方法,故选D. 解析 由题意,从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合,且物理和历史不能同时选择,可分为三类:(1)若物理和历史同时不选,共有=4种选法;(2)若选物理,不选历史,共有=6种选法;(3)若不选物理,选历史,共有=6种选法.由分类加法计数原理,可得不同的选科情况共有4+6+6=16种.故选B. A. B. C. D. 解析 依题意,6本书分给5名数学爱好者,其中一人至少一本,则有一人分得两本书,剩余四人各分得一本书. 方法一:分三步完成,第一步:选择一个人,有种选法;第二步:为这个人选两本书,有种选法;第三步:剩余四人各分得一本书,有种选法.故由分步乘法计数原理知,不同的分配方法的种数为,故A正确; 方法二:分两步完成,第一步:先分组,选择两本书,将书分成“2+1+1+1+1”的五组,有种选法;第二步:将五组分配给五个人,有种选法.故由分步乘法计数原理知,不同的分配方法的种数为,故D正确.故选AD. 解析 方法一:①当3人中恰有1位女生时,有=12种选法. ②当3人中有2位女生时,有=4种选法. 故不同的选法共有12+4=16种. 方法二:6人中选3人共有种选法,当3人全是男生时有种选法,所以至少有1位女生入选时有=16种选法. 解 (1)甲当选且乙不当选,只需从余下的8人中任选4人,有=70种选法. (2)至多有3男当选时,应分三类: 第一类是3男2女,有种选法; 第二类是2男3女,有种选法; 第三类是1男4女,有种选法. 由分类加法计数原理知,共有=186种选法. $$