3.3 二项式定理与杨辉三角（第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第三章　排列、组合与二项式定理 3.1.3　二项式定理与杨辉三角 第二课时　二项式系数的性质与杨辉三角 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.掌握二项式系数的有关性质,并应用性质解决简单问题. 2.会应用杨辉三角求二项式次数不大时各项的二项式系数. 基础落实·必备知识全过关 知识点　杨辉三角与二项式系数的性质 因为(a+b)0=1,所以可以把n=0对应的二项式系数看成1.把n=0,1,2,3,4,5,6对应的二项式系数逐个写出,并排成如下数表形式: 上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为“帕斯卡三角”. 杨辉三角至少具有下面的性质: (1)每一行都是对称的,且两端的数都是1. (2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.事实上,设表中任一不为1的数为 ,那么它上一行中与这个数 (3)对于给定的n来说,其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知,二项式系数 是先逐渐变大,再逐渐变小的,当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大,当n是奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大. 由二项式定理,对∀x∈R都成立,该方法通常称为“赋值法” (4)二项展开式的二项式系数的和等于2n. 过关自诊 1.判断正误.(正确的打√,错误的打×) (1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项). (　　) (2)二项展开式项的系数是先增后减的.(　　) (3)杨辉三角中每行两端的数都是1.(　　) × 二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的,二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项),但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关. × 二项式系数是随n的增加先增后减的,项的系数与a,b的系数有关. √ 根据杨辉三角的特点可知. 2. 的展开式中第8项是常数,则展开式中系数最大的项是(　　) A.第8项 B.第9项 C.第8项和第9项 D.第11项和第12项 D 3.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=　　　　　.  180　 4.(2x-1)6展开式中各项系数的和为　　　　;各项的二项式系数和为　　　　.  1 64 解析 令展开式左、右两边x=1,得各项系数和为1;各二项式系数之和为26=64. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　“杨辉三角”的应用 【例1】 (1)如图是著名的杨辉三角, 则图中所有各数的和是(　　) A.225 B.256 C.127 D.128 C (2)杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算术》一书中,画了一张表示二项式展开后的二项式系数构成的三角形数阵,如图所示.现在称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果.在这个数阵中从上往下数第100行,从左往右数第3列的那个数是(　　) A.5 050 B.4 851 C.4 950 D.5 000 B 规律方法　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 (1)观察:对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律. (2)表达:将发现的规律用数学式子表达. (3)结论:由数学表达式得出结论. 变式训练1如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第　　　行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.  34 探究点二　求展开式的系数和 【例2】 设(1-2x)2 020=a0+a1x+a2x2+…+a2 020x2 020(x∈R). (1)求a0+a1+a2+…+a2 020的值; (2)求a1+a3+a5+…+a2 019的值; (3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 020|的值. 解 (1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 020=(-1)2 020=1.① (2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2 019+a2 020=32 020.② ①-②,得2(a1+a3+…+a2 019)=1-32 020, ∴a1+a3+a5+…+a2 019= ∴a2k-1<0(k∈N+),a2k>0(k∈N). ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 019|+|a2 020|=a0-a1+a2-a3+…-a2 019+a2 020=32 020. 变式探究 本例中设(1-2x)2 020=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a2 020(1+x)2 020, x∈R,则a0+a1+a2+…+a2 020=　　　　　.  1 解析 设1+x=t,则x=t-1,1-2x=3-2t. 原式即为(3-2t)2 020=a0+a1t+a2t2+…+a2 020t2 020. 令t=1,得a0+a1+a2+…+a2 020=12 020=1. 规律方法　1.解决二项式系数和问题的思维流程. 2.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1. 3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), A.-2 B.-1 C.0 D.2 B 探究点三　求展开式中系数或二项式系数的最大项 【例3】 已知 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 解 (1)令x=1,则二项展开式中各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n, 又展开式中各项的二项式系数之和为2n, 由题意知,4n-2n = 992. ∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0, ∴2n=-31(舍),或2n=32,∴n=5. 由于n=5为奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是 规律方法　二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (1)求二项式系数最大的项. (2)系数的绝对值最大的项是第几项? 探究点四　二项式定理的其他应用 角度1.利用二项式定理解整除问题及求余数问题 【例4】 (1)用二项式定理证明1110-1能被100整除. (2)求9192被100除所得的余数. 规律方法　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底数化成两数的和或差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系. 变式训练4(1)若 能被7整除,则x,n的值可能为(　　) A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5 C (2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　) A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943 B 角度2.利用二项式定理证明不等式 【例5】 证明:3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,且n>2). 证明 因为n∈N+,且n>2, 所以3n=(2+1)n展开后至少有四项. 因为(2+1)n=2n+ ·2n-1+…+ ·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1 =(n+2)·2n-1,所以3n>(n+2)·2n-1. 规律方法　将不等式左边3n变形为(2+1)n,将(2+1)n的二项展开式与不等式的右边对比,发现二项展开式与不等式的右边的联系.此外,决定二项式的展开式中项的取舍是证明的关键. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 级 必备知识基础练 1.[探究点二](多选题)满足 的偶数n可以为(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 CD 解析 2n-1>1 000,解得n≥11,n∈N+.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.[探究点二]二项展开式(2x-1)10中的奇次幂项的系数之和为(　　) B 解析 设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10. 令x=1得,1=a0+a1+a2+…+a10,① 再令x=-1得,310=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,② 由①-②可得a1+a3+a5+a7+a9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.[探究点一]将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0—1三角”.在“0—1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于(　　) A.26 B.27 C.7 D.8 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.[探究点二](1-ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为(　　) A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-1,b=2,n=6 C.a=-1,b=2,n=5 D.a=-2,b=-1,n=6 C 解析 令x=0,得(1+by)n系数绝对值的和为243. 令y=0,得(1-ax)n系数绝对值的和为32. 经验证当a=-1,b=2,n=5时成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.[探究点二]已知(1+2x)n的展开式的二项式系数之和为16,则n=　　　　;各项系数之和为　　　　.(用数字作答)  4 81 解析 展开式中的二项式系数的和是2n=16,所以n=4,令x=1,则(1+2)4=81,即各项系数和为81. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.[探究点二]若(2x-1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则-a0+a1-a2+a3-a4 =　　　　.  -81 解析 令x=-1,得(-3)4=a0-a1+a2-a3+a4,所以-a0+a1-a2+a3-a4=-81. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 令x=-1得a0+a2+a4-(a1+a3+a5)=243. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.[探究点一]杨辉三角在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书记载.在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形,它出现要比杨辉三角迟393年.那么,第15行第13个数是　　　　.(用数字作答)  455 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 9.在(x+ )n的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,且所有项的系数和为0,则含x6的项的系数为(　　) A.45 B.-45 C.120 D.-120 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.若1717+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,则a=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.(多选题)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则下列结论正确的是 (　　) A.a2+a5=588 B.a1+a2+…+a7=1 C.a1+a3+a5+a7= D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 因为(2x-1)7展开式的第k+1项为Tk+1= ·(2x)7-k·(-1)k= ·(-1)k·27-k·x7-k, 又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7, 所以a2= ·(-1)5·27-5=-84,a5= ·(-1)2·27-2=672,则a2+a5=588,故A正确; 令x=1,则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1, 令x=0,则(0-1)7=a0=-1, 令x=-1,则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37, 故a1+a2+…+a7=1-a0=2,故B错误; 故C正确; |a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0 =37-1,故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.(多选题)已知二项式(2x- )n的展开式中共有8项,则下列说法正确的有 (　　) A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1 C.二项式系数最大的项为第5项 D.有理项共3项 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.(多选题)已知( -ax2)n(a<2)的展开式中第3项的二项式系数为45,且展开式中各项系数和为1 024,则下列说法正确的是(　　) A.a=1 B.展开式中偶数项的二项式系数和为512 C.展开式中第6项的系数最大 D.展开式中的常数项为45 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.(x2+2)(2x- )6的展开式中所有项的系数和为　　　　,常数项为　　　　.  3　 -260 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.已知(2x-1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,则a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5+a6=　　　　.  60 728　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.已知二项式(x+3x2)n. (1)若它的二项式系数之和为128,求展开式中二项式系数最大的项; (2)若x=3,n=2 016,求二项式的值被7除的余数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46; ②所有奇数项的二项式系数的和为256; ③若展开式中第7项为常数项. 试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上,并且完成下列问题: (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式的常数项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 相邻的两个数分别为,由组合数的性质,有=1,=1, . ,…, 在(1+x)n=xn+xn-1+xn-2+…+x0中,令x=1,则+…+=2n. ()n 解析 由二项式展开式的通项公式得项Tk+1=·()n-k·(x-1)k=,令k=7,则n-=0,解得n=21,通项公式可化简为. 由于n=21,一共有22项,其中最大的项为k=10,11两项,即展开式的第11项和第12项. 解析 由题意可知a8是x8的系数,所以a8=·22=180. 解析 由题图可知,表中所有各数的和是20+21+22+…+26==27-1=127.故选C. 解析 依据二项展开式可知,第i行第j列的那个数应为,故第100行第3个数为=4 851.故选B. 解析 由杨辉三角知,第一行中的数是;第2行中的数是;第3行中的数是……第n行中的数是,…,. 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3,则=2∶3,解得n=34. . (3)∵Tk+1=(-2x)k=(-1)k·(2x)k, 奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 变式训练2若(1-2x)2 022=a0+a1·x+a2·x2+…+a2 022·x2 022(x∈R),则 +…+=(　　) 解析 令x=0,则a0=1,再令x=,则a0++…+=(1-2×)2 022=0, ∴+…+=-1.故选B. f(x)=(+3x2)n T3=)3(3x2)2=90x6, T4=)2(3x2)3=270. (2)展开式的通项公式为Tr+1=3r·. 假设Tr+1项系数最大,则有 ∴∴≤r≤. ∵r∈N,∴r=4. ∴展开式中系数最大的项为T5=·34=405. 变式训练3在()8的展开式中: 解 Tk+1=·()8-k·(-)k=(-1)k··2k·. (1)二项式系数最大的项为中间项,即第5项, 故T5=·24·=1 120x-6. (2)设第k+1项系数的绝对值最大, 则 整理得于是k=5或6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 证明 ∵1110-1=(10+1)10-1 =(1010+·109+…+·10+1)-1 =1010+·109+·108+…+102 =100×(108+·107+·106+…+1), ∴1110-1能被100整除. 解 方法一:9192=(100-9)92=·10092-·10091·9+·10090·92-…+992,展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100所得的余数. 又992=(10-1)92=·1092-·1091+…+·102-·10+1, 前91项均能被100整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,故9192被100除所得余数为81. 方法二:9192=(90+1)92=·9092+·9091+…+·902+·90+. 前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8 281,显然8 281除以100所得余数为81. x+x2+…+xn 解析 x+x2+…+xn=(1+x)n-1,所以当x=5,n=4时,x+x2+…+xn=(1+5)4-1=185×7能被7整除,故选C. 解析 0.996=(1-0.01)6=×1-×0.01+×0.012-×0.013+…+×0.016 ≈1-0.06+0.001 5-0.000 02≈0.941.故选B. +…+>1 000 A. B. C. D.- =. 7.[探究点二](2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则的值为　　　　　.  -　 由两式可解得a0+a2+a4=122,a1+a3+a5=-121,所以=-. 10.在关于sin x(x∈[0,π])的二项式(1+sin x)n的展开式中,末尾两项的二项式系数之和为7,且二项式系数最大的项的值为,则x=(　　) A. B. C. D. 解析 由题意知=n+1=7,解得n=6,∴展开式的第4项的二项式系数最大,∴sin3x=,即20sin3x=,∴sin x=,又x∈[0,π],∴x=.故选D. 解析 因为1717+a=(18-1)17+a=1817-1816+…+18-1+a,由已知可得a=1.故选B. a1+a3+a5+a7==, 解析 二项式(2x-)n的展开式中共有8项,则n=7,选项A:所有项的二项式系数和为27=128,故A正确;选项B:令x=1,则(2×1-)7=1,所以所有项的系数的和为1,故B正确;选项C:二项式系数最大的项为第4项和第5项,故C不正确;选项D:二项式的展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r·(-)r=(-1)r27-r,当r=0,2,4,6时,二项式的展开式中对应的项均为有理项,所以有理项有4项,故D不正确.故选AB. 解析 由题意,=45,所以n=10(负值舍去),又展开式中各项系数之和为1 024,所以(1-a)10=1 024,所以a=-1,故A错误;偶数项的二项式系数和为×210=×1 024=512,故B正确;(+x2)10展开式的二项式系数与对应项的系数相同,所以展开式中第6项的系数最大,故C正确;(+x2)10的展开式的通项Tr+1=·x2r=,令-5=0,解得r=2,所以常数项为=45,故D正确.故选BCD. 解析 将x=1代入(x2+2)(2x-)6,得所有项的系数和为3. 因为(2x-)6的展开式中含的项为(2x)2·(-)4=,(2x-)6的展开式中含常数项(2x)3·(-)3=-160,所以(x2+2)(2x-)6的展开式中的常数项为60-320=-260. 解析 (2x-1)6=[1+2(x-1)]6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,所以通项公式为Tr+1=2r(x-1)r,故a2=22=15×4=60;令x=2,得36=a0+a1+a2+…+a6,其中a0=20=1,所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=36-1=728. 解 (1)∵2n=128,∴n=7. ∴展开式中二项式系数最大的项为第4,5项, T4=x4(3x2)3=945x10,T5=x3(3x2)4=2 835x11. (2)302 016=(28+2)2 016=282 016+·282 015·2+…+·28·22 015+22 016 =28m+22 016(m∈Z), 转化为22 016被7除的余数,22 016=8672=(7+1)672=7k+1(k∈Z),即余数为1. 18.在二项式n的展开式中,　　　　.给出下列条件:  解 选择①:=46, 即+n+1=46, 即n2+n-90=0, 即(n+10)(n-9)=0, 解得n=9或n=-10(舍去). 选择②:+…=256,即2n-1=256,解得n=9. 选择③:Tk+1=)n-kx-(n-k)2k-n,若=0,则n=k. 因为展开式中第7项为常数项,即k=6,所以n=9. (1)展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项, T5=)5x-5x2=x-3, T6=)4x-4. (2)展开式的通项公式为Tk+1=·2k-9, 令=0,则k=6,所以展开式中常数项为第7项,常数项为T7=×2-3=. $$