3.1.1 基本计数原理课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第三章　排列、组合与二项式定理 3.1.1　基本计数原理 人教B版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.正确地理解“完成一件事情”的含义,能准确应用两个计数原理解决一些简单的实际问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　分类加法计数原理 原理内容 完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 理解“办法”与“方法”的区别 名师点睛 利用分类加法计数原理解题的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法. (2)完成这件事有n类办法,无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而且不需要用到其他的方法. (3)确立恰当的分类标准,准确地对“完成这件事的办法”进行分类,要求每一种方法必须属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法不同,也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类办法,则A∩B=⌀,A∪B=I(I表示全集). 过关自诊 1.判断正误.(正确的打√,错误的打×) (1)在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法可以相同.(　　) (2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出26+10=36种不同的号码.(　　) (3)在分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事.(　　) × 在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法是不同的,若相同它只能在同一类办法中且只能算是一种方法. √ 因为大写的英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出26+10=36种不同的号码. √ 在分类加法计数原理中的每一种方法都是独立的,可单独完成这件事. 2.[北师大版教材习题改编]一件工作可以用两种方法完成,有5人只会用第一种方法完成,另有4人只会用第二种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,则不同的选法种数为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.9 B.10 C.20 D.40 A 解析 利用第一种方法去完成有5种选法,利用第二种方法去完成有4种 选法. 故不同的选法种数为5+4=9.故选A. 知识点二　分步乘法计数原理 原理内容  完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 名师点睛 利用分步乘法计数原理解题的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事需要几步. (2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,无论缺少哪一步,这件事都不可能完成. 　　 n个步骤缺一不可 过关自诊 1.判断正误.(正确的打√,错误的打×) (1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. (　　) (2)在分步乘法计数原理中,一件事是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　) 2.[人教A版教材习题改编]从5名同学中选出正、副组长各一名,不同的选法种数是　　　　　.  √ × 20 解析 要完成的一件事是“从5名同学中选出正、副组长各1名”,分两步完成:第1步,选正组长,有5种方法;第2步,选副组长,有4种方法,所以共有5×4=20种选法. 知识点三　两个原理的联系与区别 1.联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法. 2.区别 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事共有n类办法,关键是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键是“分步” 区别二 每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复 名师点睛 1.两个原理的区别在于“分类”与“分步”: 若完成一件事需分类思考,且这n类办法是相互独立的,无论用哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,则用分类加法计数原理. 若完成这件事需分为n个步骤,且这n个步骤相互依存,具有连续性,当且仅当这n个步骤依次完成后,这件事才完成,则用分步乘法计数原理. 2.处理具体问题时要注意两点: 一是合理分类,准确分步.分类时,要不重不漏;分步时,要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分步. 二是特殊优先,一般在后.解含有特殊元素、特殊位置的计数问题时,应优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置. 过关自诊 1.从甲地到乙地,一天中有5个班次的火车,12个班次的客车,3个班次的飞机,还有6个班次的轮船.某人某天要从甲地到乙地,则他不同出行方式选择的种数是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.26 B.60 C.18 D.1 080 A 解析 由分类加法计数原理知有5+12+3+6=26种不同选择.故选A. 2.[北师大版教材习题改编]在平面直角坐标系中,确定若干个点,点的横坐标取自集合P={1,2,3},点的纵坐标取自集合Q={1,4,5,6},这样的点共有 　　　　　个.  12 解析 平面直角坐标系内的点有横、纵坐标,得到一个点要分两步: 第一步,确定点的横坐标,有3种取法; 第二步,确定点的纵坐标,有4种取法. 所以这样的点共有3×4=12个. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　利用分类加法计数原理解题 【例1】 在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数有多少个? 解 (方法一)分析个位数字,可分以下几类: 个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,有8个; 个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,有7个; 同理,个位是7的有6个;个位是6的有5个,……,个位是2的只有1个. 由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有8+7+6+5+4+3+2+1=36个. (方法二)按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个. 变式探究 本例中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数. 解 当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个. 当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个. 当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个. 同理可知,当个位数字是2时,共7个. 当个位数字是0时,共9个. 由分类加法计数原理知,符合条件的个数为1+3+5+7+9=25. 规律方法　利用分类加法计数原理解题的一般思路 变式训练1在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有多少个? 解 能够被5整除的数,末位数字是0或5,因此,我们把1,2,3,…,200中能够被5整除的数分成2类来计数: 第一类,末位数字是0的数,共有20个; 第二类,末位数字是5的数,共有20个. 根据分类加法计数原理,在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有20+20=40个. 探究点二　利用分步乘法计数原理解题 【例2】 现要排一份5天的值班表,每天有1人值班,共有5人,每人都可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一人值班,问此值班表有多少种不同的排法? 解 先排第1天,可排5人中任意一人,有5种排法; 再排第2天,此时不能排第1天已排的人,有4种排法; 再排第3天,此时不能排第2天已排的人,有4种排法; 同理第4,5天均有4种排法. 由分步乘法计数原理,知值班表不同排法的种数是5×4×4×4×4=1 280. 规律方法　利用分步乘法计数原理解题的一般思路 变式训练2(多选题)有4位同学报名参加三个不同的社团,则下列说法正确的是(　　) A.每位同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有34种 B.每位同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有43种 C.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有43种 D.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有34种  AC 解析 对于A选项,第一个同学有3种报法,第二个同学有3种报法,后面的2个同学也各有3种报法,根据分步乘法计数原理共有34种结果,A正确,B错误;对于C选项,每个社团限报一个人,则第一个社团有4种选择,第二个社团有4种选择,第3个社团有4种选择,根据分步乘法计数原理共有43种结果,C正确,D错误.故选AC. 探究点三　两个原理的综合应用 【例3】 有9本不同的语文书,7本不同的数学书,5本不同的英语书,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(　　) A.21种 B.315种 C.153种 D.143种 D 解析 由题意,选一本语文书、一本数学书有9×7=63种,选一本数学书、一本英语书有5×7=35种,选一本语文书、一本英语书有9×5=45种,所以共有63+35+45=143种选法.故选D. 规律方法　应用两个计数原理解题的策略 对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步.分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰.也可以根据题意合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们 解题. 变式训练3用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　) A.324 B.328 C.360 D.648 B 解析 若个位数字为0,则十位和百位数字的排法种数为9×8=72;若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法,确定百位数字有8种方法,确定十位数字有8种方法,所以排法种数为4×8×8=256.所以256+72=328,所以可以组成328个没有重复数字的三位偶数.故选B. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 级 必备知识基础练 1.[探究点二]某校教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,一学生由一层到五层的走法有(　　) A.10种 B.25种 C.52种 D.24种 D 解析 共分4步:一层到二层2种走法,二层到三层2种走法,三层到四层2种走法,四层到五层2种走法,根据分步乘法计数原理,一共有24种.选故D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.[探究点三]中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有(　　) A.30种 B.50种 C.60种 D.90种 B 解析 ①若甲同学选择牛,则乙同学有2种选法,丙同学有10种选法,共有1×2×10=20种满意的选法,②若甲同学选择马,则乙同学有3种选法,丙同学有10种选法,共有1×3×10=30种满意的选法,所以总共有20+30=50种令三位同学满意的选法.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.[探究点一]如果x,y∈N*,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的有序数对(x,y)的个数是(　　) A.15 B.12 C.5 D.4 B 解析 当x=1时,y=1,2,3,4,5;当x=2时,y=1,2,3,4;当x=3时,y=1,2,3.由分类加法计数原理得,有序数对有5+4+3=12(个). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.[探究点三]如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2,且a3<a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为(　　) A.240 B.204 C.729 D.920 A 解析 分8类.当中间数为2时,有1×2=2个;当中间数为3时,有2×3=6个;当中间数为4时,有3×4=12个;当中间数为5时,有4×5=20个;当中间数为6时,有5×6=30个;当中间数为7时,有6×7=42个;当中间数为8时,有7×8=56个;当中间数为9时,有8×9=72个.故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.[探究点三·2023广东雷州高二阶段练习](多选题)已知数字0,1,2,3,4,由它们组成四位数,下列说法正确的有(　　) A.组成可以有重复数字的四位数有500个 B.组成无重复数字的四位数有96个 C.组成无重复数字的四位偶数有66个 D.组成无重复数字的四位奇数有28个 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.[探究点三]有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中分两次选两本不同类的书,共有　　　　种不同的取法.  242 解析 任取两本不同类的书分为三类:①取数学、语文各一本;②取语文、英语各一本;③取数学、英语各一本.在每一类中利用分步乘法计数原理,再利用分类加法计数原理即可.共有10×9+9×8+10×8=242种不同取法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.[探究点二·人教A版教材习题](1)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,不同报法的种数是34还是43? (2)3个班分别从5个景点中选择一处游览,不同选法的种数是35还是53? 解 (1)一件事情是“4名同学分别参加3个运动队中的一个,每人限报其中的一个运动队”,应该是人选运动队,完成“这件事”是指给4名同学逐一选择运动队,分四步完成.根据分步乘法计数原理,不同报法种数是3×3×3×3=34. (2)一件事情是“3个班分别从5个景点中选择一处游览”,应该是班选景点,完成这件事需分三步,根据分步乘法计数原理,不同的选法种数是53. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.[探究点三·2023江苏连云港高二检测]用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字可组成多少个不同的 (1)三位数? (2)无重复数字的三位数? (3)小于500且没有重复数字的自然数? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 (1)由于0不能在百位,故百位上数字有9种选法,十位与个位上的数字均有10种选法,所以不同的三位数共有9×10×10=900个. (2)百位上的数字有9种选法,十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法,个位上的数字应从剩余8个数字中选取,所以共有9×9×8=648个无重复数字的三位数. (3)满足条件的一位自然数有10个,两位自然数有9×9=81个,三位自然数有4×9×8=288个,由分类加法计数原理知共有10+81+288=379个小于500且无重复数字的自然数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 9.某校高一年级共16个班,高二年级共15个班,从中选出一个班级担任学校星期一早晨升旗任务,共有的安排方法种数是(　　) A.16 B.15 C.31 D.240 C 解析 根据分类加法计数原理计算,N=16+15=31.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.某学校有东、南、西、北四个校门,学校对进入四个校门做出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序),请问进入校园的方式共有 (　　) A.6种 B.12种 C.24种 D.32种 D 解析 因为学生只能从东门或西门进入校园,所以3名学生进入校园的方式共23=8种.因为教师只可以从南门或北门进入校园,所以2名教师进入校园的方式共有22=4种.所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有8×4=32种情况.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,但甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案的种数为(　　) A.16 B.18 C.37 D.48 C 解析 根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有4种选择,共有4×4×4=64种情况.其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有3种选择,共有3×3×3=27种方案.则符合条件的参观方案有64-27=37种.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.(多选题)现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是 (　　) A.从中选出2个球,正好一红一黄,有9种不同的选法 B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法 D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法 BD 解析 对A,从中选出2个球,正好一红一黄,有4×5=20种不同的选法,所以该选项错误;对B,若每种颜色选出1个球,有4×5×6=120种不同的选法,所以该选项正确;对C,若要选出不同颜色的2个球,有4×5+5×6+4×6=74种不同的选法,所以该选项错误;对D,若要不放回地依次选出2个球,有15×14=210种不同的选法,所以该选项正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有　　　　　种不同的选法.  20 解析 共分三类:第一类,当选出的会英语的人既会英语又会日语时,选会日语的人有2种选法;第二类,当选出的会日语的人既会英语又会日语时,选会英语的人有6种选法;第三类,当既会英语又会日语的人不参与选择时,则需从只会日语和只会英语的人中各选一人,有2×6=12种选法.故共有2+6+12=20种选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新城大市场三个地方游览,每人只能去一个地方,人民公园一定要有人去,则不同游览方案的种数为　　　　.  65 解析 由题可知没有限制时,每人有3种选择,则4人共有34种,若没人去人民公园,则每人有2种选择,则4人共有24种,故人民公园一定要有人去的不同游览方案有34-24=81-16=65种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.将摆放在编号为1,2,3,4,5五个位置上的5件不同商品重新摆放,则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为　　　　　.(用数字作答)  45 解析 根据题意,分2步进行分析:(1)将5件不同商品中选出1件,放回原来的位置,有5种情况,假设编号为5的位置不变; (2)剩下4件都不在原来位置,即编号为1,2,3,4的4件商品都不在原来位置,编号为1的商品有3种放法,假设其放在了2号商品原来的位置,则2号商品有3种放法,剩下编号为3,4的两件商品只有1种放法,则其余4件商品的放法有3×3=9种. 故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有5×9=45种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.[人教A版教材习题]口袋中装有8个白球和10个红球,每个球编有不同的号码,现从中取出2个球. (1)恰好是白球、红球各一个的取法有多少种? (2)恰好是两个白球的取法有多少种? (3)至少有一个白球的取法有多少种? (4)两球的颜色相同的取法有多少种? 解 (1)一件事情是“取出一个白球一个红球” ,可分2步解决,第1步取一个白球,8种取法;第2步取一个红球,10种取法,由分步乘法计数原理,共有8×10= 80种不同取法. (2)一件事情是“取出两个白球”,可分为2步解决,先从8个白球中取一个,8种取法;再从余下的7个白球中取一个,有7种取法,但先取1号球后取2号球与先取2号球后取1号球,结果是相同的.故共有 =28种不同的取法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (3)一件事情是“取出一个白球一个红球或者取出两个白球”,可分两类解决,取出一个白球一个红球有 80种不同取法;取出两个白球有28种不同取法,由分类加法计数原理,共有80+28=108种不同取法. (4)一件事情是“取出两白球或取出两红球”,可分两类解决,取出两白球有28种不同取法;取出两红球有 =45种不同取法,由分类加法计数原理知,共有28+45=73种不同取法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 17.用红、黄、蓝三种颜色涂四边形ABCD的四个顶点,要求相邻顶点的颜色不同,求不同的涂色方法的种数. 解 如果A,C同色,涂色方法有3×2×1×2=12(种), 如果A,C不同色,涂色方法有3×2×1×1=6(种), 所以不同的涂色方法有12+6=18(种). 即不同方法的种数为18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18.某学校高二年级有12名语文教师、13名数学教师、15名英语教师,市教育局拟召开一个新课程研讨会. (1)若选派1名教师参会,有多少种派法? (2)若三个学科各派1名教师参会,有多少种派法? (3)若选派2名不同学科的教师参会,有多少种派法? 解 (1)分三类:第一类选语文老师,有12种不同选法;第二类选数学老师,有13种不同选法;第三类选英语老师,有15种不同选法,共有12+13+15=40(种)不同的选法. (2)分三步:第一步选语文老师,有12种不同选法;第二步选数学老师,有13种不同选法;第三步选英语老师,有15种不同选法,共有12×13×15=2 340(种)不同的选法. (3)分三类:第一类选一位语文老师和一位数学老师共有12×13种不同的选法;第二类选一位语文老师和一位英语老师共有12×15种不同的选法;第三类选一位英语老师和一位数学老师共有15×13种不同的选法,共有12×13+12×15+13×15=531(种)不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$