1.2.3 直线与平面的夹角课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 1.2.3　直线与平面的夹角 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.掌握直线与平面所成角的概念,并理解其唯一性; 2.理解最小角定理及公式cos θ=cos θ1cos θ2,能用这一公式解决相关问题; 3.能用空间向量求直线与平面所成的角问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 直线与平面所成的角 90° 0° 射影 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角.(　　) (2)若直线与平面相交,则该直线与平面所成的角的范围为(0, ).(　　) 2.直线与平面所成的角的取值范围是什么?斜线与平面所成的角的取值范围是什么? × × 知识点2 最小角定理 (1)线线角、线面角的关系式 如图,设OA是平面α的一条斜线段,O为斜足,A'为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线.θ是OA与OM所成的角,θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角,则有cos θ=　　　　　　　　.  (2)最小角定理 平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内　　　　　　　　　中最小的角.  cos θ1cos θ2　 所有直线所成角 过关自诊 1.已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成角均为135°,则PC与平面α所成角的余弦值是(　　) B 解析 设PC与平面α所成的角为θ,由最小角定理知cos 45°=cos θcos 30°, 2.将公式cos θ=cos θ1cos θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立? 解 不成立.只有在特定的条件下能相等.也只能是数值上的相等,不具有等式的一般性结论. 知识点3 用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则有 (2)cos θ=sin<v,n>,sin θ=　　　　　.  |cos<v,n>| 过关自诊 1.已知向量m,n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量,若 cos<m,n>=- ,则l与α所成的角为(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° B 解析 设l与α所成的角为θ,则sin θ=|cos<m,n>|= , ∴θ=60°. 故选B. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为　　　.  解析 设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系如图, 则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1). 重难探究·能力素养全提升 探究点一　用定义法求直线与平面所成的角 【例1】 在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,连接CE,求CE和平面BCD所成角的正弦值. 解 如图,过A,E分别作AO⊥平面BCD,EG⊥平面BCD,O,G为垂足,则AO∥GE,AO=2GE.连接GC,则∠ECG为EC和平面BCD所成的角. 因为AB=AC=AD,所以OB=OC=OD. 因为△BCD是正三角形,所以O为△BCD的中心. 连接DO并延长交BC于F,则F为BC的中点. 令正四面体ABCD的棱长为1, 变式探究在本例中将条件“E为棱AD的中点”改为 .其他不变,结论又如何? 规律方法　1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”. 2.找射影的两种方法 3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论. 变式训练1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求EB与平面ABCD夹角的余弦值. 解 如图,取CD的中点M,连接EM,BM,则EM∥PD. ∵PD⊥平面ABCD,∴EM⊥平面ABCD,∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角. 设PD=DC=a(a>0). 探究点二　向量法求直线与平面的夹角 【例2】 [人教A版教材习题]如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=OC=3,OB=2.求直线OB与平面ABC所成角的正弦值. 解 ∵OA,OB,OC两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. ∵OA=OC=3,OB=2, ∴O(0,0,0),A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0), 取z=2,则x=3,y=2, ∴n=(3,2,2)是平面ABC的一个法向量, 规律方法　通过此类例题不仅要熟悉求直线与平面夹角的一般流程,更重要的是注意对所给几何体的结构分析、合理建系是问题的关键,如果求夹角还要结合线面角的范围. 变式训练2 [北师大版教材例题]如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,底面边长为2,AA'= ,求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值. 解 由正三棱柱知AA'⊥平面ABC,故以点A为原点,AC,AA'所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直线坐标系如图所示,易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一个法向量. 探究点三　最小角定理的应用 【例3】 如图,在正四面体ABCD中,CD在平面α内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面α所成的角θ不可能是(　　) D 规律方法　1.最小角定理是立体几何的重要定理之一,指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于该直线与平面内其他直线的夹角. 2.本例中先明确直线BE与CD所成角的余弦值是突破口,再利用最小角定理即可做出判断. 变式训练3PA,PB,PC是由P点出发的三条射线,两两夹角均为60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(　　) C 解析 设所求角为θ,根据最小角定理及公式可得cos 60°=cos 30°cos θ,得 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.[探究点二]设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.[探究点二]直线l的方向向量s=(1,1,2),平面α的法向量n=(1,-3,0),则直线l与平面α的夹角的余弦值为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.[探究点二] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE的夹角为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.[探究点二·2023河北高二期中]正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点,则PB与平面PEF的夹角的正弦值为(　　) C 解析 以点P为原点,PA为x轴,PB为y轴,PC为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 设PA=PB=PC=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2), E(1,1,0),F(0,1,1),则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设平面PEF的法向量n=(x,y,z), 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.[探究点二]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1的夹角的正弦值为　　　　.  解析 设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.[探究点二]正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为　　　　　.  解析 设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则 B 级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1的夹角的大小为(　　) A.60° B.90° C.45° D.以上都不对 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1的中点,点N在该正方体的棱上运动,则下列说法正确的是(　　) A.当N为棱AA1中点时,MN∥B1D B.当N为棱AA1中点时,MN与平面ABC1D1的夹角为 C.有且仅有三个点N,使得BN∥平面AMD1 D.有且仅有四个点N,使得MN与B1C所成角为 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. [2023辽宁辽河高二阶段练习](多选题)如图,设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点,且AB=2,EF=1,其中正确的说法为(　　) A.三棱锥D1-B1EF的体积为定值 B.异面直线D1B1与EF所成的角为60° C.D1B1⊥平面B1EF D.直线D1B1与平面B1EF的夹角为30° AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故三棱锥D1-B1EF的体积为定值,故A正确; 对于B,EF∥D1C1,D1B1和D1C1所成的角为45°,异面直线D1B1与EF所成的角为45°,故B错误; 对于C,若D1B1⊥平面B1EF,则D1B1⊥直线EF,即异面直线D1B1与EF所成的角为90°,故C错误; 对于D,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴,建立空间直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以直线D1B1与平面B1EF的夹角为30°,故D正确. 故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,圆锥的高PO= ,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC的夹角的余弦值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),E(1,0,0),D(0,2,0).设F(0,m,n),m∈[0,2],n∈[0,2], 由于S△ADE为定值,要想三棱锥F-AED的体积最大,则F到底面ADE的距离,即n最大, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 直线与平面所成的角的取值范围是,斜线与平面所成的角的取值范围是. A.- B. C. D.- ∴cos θ=. (1)θ=-<v,n>或θ=<v,n>-; 易得⊥平面ACD1,所以平面ACD1的一个法向量为=(1,1,1). 又=(0,0,1), 所以cos<>=. 设BB1与平面ACD1所成角为θ,则sin θ=|cos<>|=. 可求得CE=,DF=,OD=, 则AO=,所以EG=. 在Rt△ECG中,sin∠ECG=. 解 令正四面体棱长为1,则由及例题中的相关数据可得DG=DO=×DF=,EG=AO=,DE=.在△CDE中再由余弦定理得CE=,∴在Rt△ECG中,sin∠ECG=. ∵M为DC的中点,∴CM=a,∴BM=a. 又ME=PD=a,∴BE=a, ∴在Rt△BME中,cos∠MBE=, ∴BE与平面ABCD夹角的余弦值为. ∴=(2,0,0),=(2,0,-3),=(-2,3,0). 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), ∴ ∴cos<,n>=. 设直线OB与平面ABC所成角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=. 由△ABC是边长为2的正三角形,可得B'(,1,),所以=(,1,).设直线AB'与侧面ACC'A'所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==, 所以直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值为. A.0 B. C. D. 解析 直线BE与CD所成角的余弦值为,线面角是直线与平面内的直线所成角的最小值,即线线角≥线面角,则cos θ≥,代入选项验证,得角θ不可能是.故选D. A. B. C. D. cos θ=. <a,n>=,则l与α的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析 线面角的范围是[0,]. ∵<a,n>=,∴l与α的法向量所在直线所成角为, ∴l与α的夹角为. A.- B. C.- D. 解析 设直线l与平面α的夹角为θ, 则sin θ=|cos<s,n>|=, ∴cos θ=. ∴直线l与平面α的夹角的余弦值为. A. B. C. D. A. B. C. D. =(0,2,0),=(1,1,0),=(0,1,1). 则取x=1得n=(1,-1,1). 设平面PB与平面PEF的夹角为θ,则sin θ=. 5.[探究点二](多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,则(　　) A.AC1与底面ABC的夹角的正弦值为 B.AC1与底面ABC的夹角的正弦值为 C.AC1与侧面AA1B1B的夹角的正弦值为 D.AC1与侧面AA1B1B的夹角的正弦值为 则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为=(1,1,1).又=(0,0,1), 则|cos<>|=. 所以BB1与平面ACD1的夹角的正弦值为. C1(0,1,1),A(,0),, 又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ. sin θ=|cos<n,>|=, ∴cos θ=. 解析 对于A,×BC=×EF×DD1×BC =×1×2×2=, 角坐标系.设E(0,a,0),则F(0,1+a,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),则=(2,2-a,2), =(0,1,0),=(2,2,0). 设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z),则 令z=-1,则n=(1,0,-1),则cos<n,>=,则<n,>=60°. 则由等体积法得,V三棱锥O-PAC=V三棱锥P-OAC,即S△PAC·d=PO·S△OAC, ∴d=, ∴sin α=,则cos α=. 12.[2023山东聊城高二阶段练习]正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,E是棱AB的中点,F是四边形AA1D1D内一点(包含边界),且=-,当三棱锥F-AED的体积最大时,EF与平面ABB1A1的夹角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 则=(1,-m,-n)·(0,2-m,-n)=m2-2m+n2=-. 其中n2=--m2+2m=-(m-1)2+, 所以当m=1时,n2取得最大值. 因为n∈[0,2],所以n的最大值为, 所以F(0,1,),=(-1,1,).平面ABB1A1的一个法向量n1=(0,1,0), 所以EF与平面ABB1A1所成角的正弦值为|cos<,n1>|=.故选A. $$