1.2.4 二面角课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 1.2.4　二面角 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.掌握二面角的概念; 2.理解二面角的平面角的含义; 3.能用向量法解决二面角的计算问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 二面角及其度量 半平面 二面角 棱 面 二面角的平面角 过关自诊 1. 如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为(　　) A.∠PAC B.∠CPA C.∠PCA D.∠CAB C 解析 ∵C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径, ∴AC⊥BC.又PA⊥BC,AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定义知∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.故选C. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所形成的平面角大小为　　　　.  45° 知识点2 用空间向量求二面角的大小 (1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特别地,sin θ=　　　　　　　.  (2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,有|cos θ|= |cos<n1,n2>|=　　　　　成立.  sin<n1,n2> 名师点睛 利用公式cos<n1,n2>= (n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意<n1,n2>与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断. 如图②④中<n1,n2>就是二面角α -l-β的平面角的补角;如图①③中<n1,n2>就是二面角α -l-β的平面角. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.(　　) (2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.(　　) × √ 2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为(　　) A.45° B.135° C.45°或135° D.90° C 重难探究·能力素养全提升 探究点一　二面角的平面角问题 【例1】如图所示,在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值. 解 ∵PC⊥平面ABC,PC⊂平面PAC, ∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于点D(图略),可得BD⊥平面PAC. 作DE⊥PA于点E,连接BE(图略),据三垂线定理,则BE⊥PA,从而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.设PC=a,依题意知△ABC是边长为a的正三角形, 规律方法　1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解. 2.二面角的求法 变式训练1已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形,且AD= a,则二面角A-BC-D的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° C 探究点二　利用空间向量求二面角 【例2】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O, A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. (1)证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD.又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD.因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD. (2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直. 如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴, 建立空间直角坐标系. 设棱长为2.因为∠CBA=60°, 设平面OC1B1的法向量为m=(x,y,z), 变式探究如果本例条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值. 规律方法　利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来. 变式训练2[北师大版教材例题]如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D',求二面角A'-DC-A的平面角. 解 由AA'⊥平面ABCD,可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.[探究点二]已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a,b,且 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点二]已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则平面A1BC1与平面ABCD所成角的余弦值为(　　) A 解析 建立如图所示空间直角坐标系,则A1(4,0,2),B(4,4,0),C1(0,4,2), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令z=2,则m=(1,1,2). 易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.[探究点二·2023天津高二阶段练习]直线l的方向向量为a,两个平面α,β的法向量分别为n,m,则下列命题为假命题的是(　　) A.若a⊥n,则直线l∥平面α B.若a∥n,则直线l⊥平面α A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点二·2023山东潍坊高二阶段练习](多选题)下列说法不正确的是 (　 　) B.两条异面直线所成的角等于它们的方向向量的夹角 C.二面角的范围是[0,π] D.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点一]已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在平面α内,且∠POB=60°.若直线PO与平面β所成的角为45°,则二面角α-AB-β的正弦 值为　　　　　.  解析 如图,过点P作PE⊥β,垂足为E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接OE,PF,则∠POE为直线PO与平面β所成的角,∠PFE为二面角α-AB-β的平面角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点二]若两个平面α,β的法向量分别是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成角的大小是　　　　　.  60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点二]如图所示,AE⊥平面ABCD,四边形AEFB为矩形,BC∥AD, BA⊥AD,AE=AD=2AB=2BC=4. (1)求证:CF∥平面ADE; (2)求平面CDF与平面AEFB所成角的余弦值. (1)证明 ∵四边形ABEF为矩形,∴BF∥AE. 又BF⊄平面ADE,AE⊂平面ADE,∴BF∥平面ADE. 又BC∥AD,同理可得BC∥平面ADE. 又BF∩BC=B,BF,BC⊂平面BCF, ∴平面BCF∥平面ADE. 又CF⊂平面BCF,∴CF∥平面ADE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)解 如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.[探究点二]如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,F为PC的中点,求二面角C-BF-D的正切值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 如图所示,设AC与BD交于O,连接OF. 因为底面四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,O为AC中点. 又F为PC中点,所以OF∥PA. 因为PA⊥平面ABCD, 所以OF⊥平面ABCD. 以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 9.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成角的余弦值为(　　) B 解析 设AP=AB=1. 以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系, 设平面PCD的法向量m=(x,y,z), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 取y=1,得m=(0,1,1). 易知平面ABP的法向量n=(0,1,0). 设平面ABP与平面CDP所成角为θ, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-AC-B1的平面角的余弦值为(　　) D 解析 连接AC,取AC的中点O,连接B1O,BO. 由AB=BC,则BO⊥AC且AB1=B1C,则B1O⊥AC,故∠BOB1即为二面角B-AC-B1的平面角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.[2023广东高二阶段练习](多选题)如图,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,其中正确的是(　　) B.AB⊥DC C.BD⊥AC D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=2,点E为C1D1的中点,则二面角B1-A1B-E的余弦值为　　　　　.  解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直 易知平面A1BB1的一个法向量为n2=(1,0,0),而二面角B1-A1B-E为锐角,故 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 ,则该二面角的大小为　　　　　.  60° ∴该二面角的大小为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. [2023江西高二开学考试]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱BB1=1,∠ABC= ,且M,N分别为BB1,AC的中点,连接MN. (1)证明:MN∥平面AB1C1; (2)若BA=BC=2,求二面角A-B1C1-B的平面角的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)证明 如图,取AC1的中点P,连接B1P,PN. ∴四边形B1MNP是平行四边形,∴MN∥B1P. 又B1P⊂平面AB1C1,MN⊄平面AB1C1,∴MN∥平面AB1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)解 如图,作BE⊥BC,交AC于E,以点B为原点,BE为x轴,BC为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系Bxyz. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 15.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2. (1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图2中的二面角B-CG-A的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)证明 由已知得AD∥BE,CG∥BE, 所以AD∥CG, 故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面. 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE. 又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)解 作EH⊥BC,垂足为H. 因为EH⊂平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC, 所以EH⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,可求得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由图形知二面角B-CG-A大小为锐角. 因此二面角B-CG-A的大小为30°. ∴D是AC的中点,且BD=a. ∵PC=CA=a,∠PCA=90°,∴∠PAC=45°, ∴在Rt△DEA中,ED=AD·sin 45°=a, 则在Rt△BED中,tan∠BED=, 故二面角B-PA-C的平面角的正切值为. 所以OB=,OC=1, 所以O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2).平面CB1D的一个法向量为n=(0,1,0). 则=(,0,2),=(0,1,2),则由m⊥,m⊥,得x+2z=0,y+2z=0.取z=-,则x=2,y=2,所以m=(2,2,-),所以cos<m,n>=,所以二面角C1-OB1-D的余弦值为. 解 由例2(2)知B(,0,0),A1(0,-1,2),C(0,1,0),D(-,0,0). 设平面BA1C的法向量为m=(x1,y1,z1). =(0,2,-2),=(-,1,0), 则 令x1=1,则y1=,z1=,∴m=(1,). 同理,平面A1CD的法向量n=(1,-,-), ∴cos<m,n>==-, 则二面角B-A1C-D的余弦值为-. 因为A'(0,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=(1,0,0). 设n2=(x,y,z)是平面A'DC的一个法向量,则 所以取n2=(0,1,1),得cos<n1,n2>=. 由图可知二面角A'-DC-A的平面角为锐角, 因此平面角为. <a,b>=,则二面角α-l-β的大小为(　　) A. B. C. D. A. B. C. D. 所以=(0,4,-2),=(-4,4,0). 设平面A1BC1的一个法向量为m=(x,y,z), 则 所以cos<m,n>=,所以平面A1BC1与平面ABCD所成角的余弦值为.故选A. C.若cos<a,n>=,则直线l与平面α所成角的大小为 D.若cos<m,n>=,则平面α,β所成锐角的大小为 A.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为,则直线l与平面α所成的角为 设OP=a,则在Rt△PEO中,由∠POE=45°,可得PE=a; 在Rt△PFO中,由∠POF=60°,可得PF=a·sin 60°=a; 在Rt△PEF中,sin∠PFE=, 即二面角α-AB-β的正弦值为. 解析 设这两个平面所成角为θ,则cos θ=,所以两个平面所成角的大小是60°. 则C(2,2,0),D(0,4,0),F(2,0,4),∴=(0,4,0),=(-2,2,0),=(0,-2,4). 设n=(x,y,z)是平面CDF的一个法向量,则令y=2,解得 ∴n=(2,2,1).又是平面AEFB的一个法向量, ∴cos<n,>=,∴平面CDF与平面AEFB所成角的余弦值为. 则BD=, 所以O(0,0,0),B(,0,0),F(0,0,),C(0,,0),=(0,,0),易知为平面BDF的一个法向量. 由=(-,0),=(,0,-),可得平面BCF的一个法向量为n=(1,),所以cos<n,>=,sin<n,>=,所以tan<n,>=. A. B. C. D. 则P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),=(1,1,-1),=(0,1,-1). 则 则cos θ=.故选B. A. B. C. D. 不妨设正方体的棱长为1,则在△ABC中,BO=AC=, 在△AB1C中,AB1=B1C=AC=,则B1O=. 又B1B=1,故可得cos∠B1OB=. 故选D. A.=0 角坐标系,则A1(1,0,2),B(1,2,0),B1(1,2,2),E(0,1,2),则=(0,2,-2),=(-1,1,0). 设平面A1BE的一个法向量为n1=(x,y,z), 则令y=1,得n1=(1,1,1). cos θ=. 解析 由条件,知=0,=0,, ∴||2=||2+||2+||2+2+2+2 =62+42+82+2×6×8cos<>=(2)2,∴cos<>=-. 又0°≤<>≤180°, ∴<>=120°, ∵N为AC的中点,∴PN∥C1C,且PN=C1C. 又B1M∥C1C,B1M=C1C,∴PN∥B1M,PN=B1M, ∵BA=BC=2,BB1=1,∠ABC=, ∴A(,-1,0),B(0,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,1),C1(0,2,1), ∴=(-,1,1),=(0,2,0).设平面AB1C1的法向量为m=(x,y,z). ∴ 即 ∴令x=1,则y=0,z=,∴m=(1,0,). ∵平面BB1C1的一个法向量为n=(1,0,0), ∴cos<m,n>=. ∵由图知二面角A-B1C1-B的平面角为锐角, ∴二面角A-B1C1-B的平面角的大小为. BH=1,EH=. 以H为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),=(1,0,),=(2,-1,0).设平面ACG的法向量为n=(x,y,z),则取x=3,则y=6,z=-, 所以n=(3,6,-). 又平面BCG的法向量可取为m=(0,1,0), 所以cos<n,m>=. $$