训练题 12-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

!"#$%! ８５　 八年级训练题(十二) 一、选择题 １．化简(－３x２)􀅰２x３ 的结果是(　　)． A．６x５ B．－３x５ C．２x５ D．－６x５ ２．三个分式 １２x２ , ８x(y－z)２ ,２yz x 的最简公分母是(　　)． A．２(y－z)２ B．２x(y－z)２ C．２x２(y－z)２ D． １２x２ y－z( )２ ３．如图是国际奥林匹克运动会会旗的标志图案,它由五个半径相同的圆组成,象征着五大洲 体育健儿,为发扬奥林匹克精神而团结起来,携手拼搏,这个图案(　　)． A．既不是轴对称图形,又不是中心对称图形 B．既是轴对称图形,又是中心对称图形 C．是中心对称图形 D．是轴对称图形 ４．如图,三角形各边的长度已标出,其中a的值可能为(　　)． A．１２ B．１０ C．９ D．８ (第４题图) 　　　　 (第５题图) ５．如图,已知△ABE≌△ACD,∠１＝∠２,∠B＝∠C,则下列等式不正确的是(　　)． A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE ６．在式子 １x－１ ,１ x－２ ,x－１,x－２中,x可以取１和２的是(　　)． A．１x－１ B． １ x－２ C．x－１ D．x－２ ７．下表为５０个不同型号计算器的相关信息,则这５０个计算器的平均价格是(　　)元． A．３３ B．３４ C．３５ D．３６ NEWHOPECUP ８６　 ８．如图,四边形ABCD 和四边形AEDF 是两个矩形,点E 在BC 边上,设矩形ABCD 和矩 形AEDF 的面积分别为S１和S２,则S１、S２的大小关系为(　　)． A．S１＞S２ B．S１＜S２ C．S１＝S２ D．不能确定 (第８题图) 　　　 (第１０题图) 　　　 (第１１题图) 二、填空题 ９．已知一次函数y＝(２a－３)x＋a－１,y随x 的增大而减小,且函数图象不经过第三象限, 则a的取值范围是 ． １０．如图,在一个规格为６×１２的球台上,有两个小球A、B．若击打小球A,经过球台边的反 弹后,恰好击中小球B,那么击出小球A 时,应瞄准球台边上的点 ． １１．如图,在四边形ABCD 中,点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、AD 的中点．若四边形 EFGH 为菱形,则对角线AC、BD 应满足的条件是 ． １２．不论a取何值,一次函数(a－２)x＋(２a－１)y＋８－７a＝０恒过的定点是 ． １３．观察分析下列方程:①x＋２x＝３ ,②x＋６x＝５ ,③x＋１２x＝７． 利用它们所蕴含的规律,直 接写出关于x的方程x＋n ２＋n x－３＝２n＋４ (n为正整数)的根为 ． １４．某社会研究机构统计分析了１０００名贪官的赃款金额,其中赃款金额最高的只有一个,是 ９０００万元,由于将这个数据输入错误,所以计算机显示的这１０００名贪官的赃款金额平均 数比实际平均数高出了８１万元,那么输入计算机的那个错误数据是 万元． １５．如图,在Rt△ABC 中,直角边AB＝２,BC＝１,现在以AC 为一直角边,另一直角边为１ 画第二个Rt△ACD;再以Rt△ACD 的斜边AD 为一直角边,另一直角边长为１画第三 个Rt△ADE;􀆺,依此类推,第n个直角三角形的斜边长是 ． (第１５题图) 　　　　 (第１６题图) １６．如图所示,在△ABC中,AC＝BC,∠ACB＝９０°,直角∠DFE 的顶点F 是AB 的中点,两 边FD、FE 分别交AC、BC于点D、E．现有以下结论:①CD＝BE,②四边形CDFE 不可 能是正方形,③△DEF 是等腰直角三角形,④S四边形CDFE＝１２S△ABC． 其中始终正确的结论 有 (填序号)． !"#$%! ８７　 三、解答题 １７．已知关于x的方程 xx－３－２＝ a x－３ 有一个正整数解,求a的取值范围． １８．如图,在等边△ABC中,点D、E 分别在边BC、AB 上,且BD＝AE,AD 与CE 相交于点 F．(１)求证:AD＝CE;(２)求∠DFC的度数． １９．如图,直线l１:y＝－３x＋３与x轴相交于点A,与直线l２ 相交于点B,已知直线l２ 经过点 C４,０( ) 、D ３,－３２ æ è ç ö ø ÷． (１)求直线l２ 的函数解析式; (２)求△ABC的面积; (３)在直线l２ 上是否存在与点B 不重合的点E,使得△ACE 的面积与△ABC 的面积相 等? 若存在,直接写出点E 的坐标;若不存在,说明理由． ２０．已知x１、x２、x３、􀆺、x２０１５、x２０１６的值都是１或－１,S是这２０１６个数的两两乘积之和． (１)求S的最大值和最小值,并指出取得最大值和最小值的条件; (２)求S的最小正数值,并指出取得最小正数值的条件． ! " # $! １３５　 以取任何实数, 所以,当k≠－５２ 且k≠－１时,原方程无增根． １８．解:如图,作函数y＝３ x－４ 的图象,与x 轴 交于点C(４,０),依题意知直线y＝x－a与y＝ ３ x－４ 有两个交点,则４－a＞０,即a＜４． 两 交 点 分 别 为 点 A １２＋a４ ,１２－３a ４( ) 、 B １２－a２ ,１２－３a ２( ) ,作AD⊥x轴于点D,BE⊥ x 轴 于 点E,则 S△ABC ＝S四边形ADEB －S△ACD － S△BCE ＝ １２ １２－３a ４ ＋ １２－３a ２( ) １２－a ２ － １２＋a ４( ) －１２ ４－ １２＋a ２( ) × １２－３a ４ － １ ２ １２－a ２ －４( ) × １２－３a ２ ＝ １ ３２ [(３６－９a)(１２－３a)＋(８＋２a)(１２ －３a)－(１６－４a)(１２－３a)]＝ ３３２ (a－４)(３a－ ２８)．其中a＜４． １９．解:(１)甲车开往B地时的速度为６００÷４＝１５０ (km/h),返回A 地时的速度为６００÷(１０－４) ＝１００(km/h), ∴甲车离出发地A 的距离y(km)与行驶时间x (h)之间的函数关系为 y甲 ＝ １５０x,０≤x≤４( ) , －１００x＋１０００, ４＜x≤１０( ) ．{ (２)乙车的速度为６００÷１２＝５０(km/h), 第一次相遇时两车行驶的时间为 ６００÷(１５０＋５０)＝３(h), 第二次相遇时两车行驶的时间为４＋４×５０÷ (１００－５０)＝４＋４＝８(h), 两次相遇的时间间隔为８－３＝５(h), 第二次相遇时的地点与A 地之间的距离为 ６００－１００×[４×５０÷(１００－５０)]＝２００(km)． 答:略． ２０．解:记A＝max(a＋b＋c,b＋c＋d,c＋d＋e,d＋ e＋f,e＋f＋g), 则A≥ １３ [(a＋b＋c)＋(c＋d＋e)＋(e＋f＋ g)]＝１３ [(a＋b＋c＋d＋e＋f＋g)＋c＋e]≥１, 当a＝d＝g＝１,b＝c＝e＝f＝０时,等号成立, ∴min(A)＝１, 即 min[max(a＋b＋c,b＋c＋d,c＋d＋e,d＋e＋ f,e＋f＋g)]＝１． 八年级训练题(十二) 一、选择题 １．D ２．C ３．D ４．B　提示:由三角形三边关系得 ７－５＜x＜７＋５, １２－３＜x＜１２＋３．{ 解得９＜x＜１２,故选B． ５．D　提示:∵△ABE≌△ACD,∠１＝∠２,∠B＝ ∠C,∴AB＝AC,∠BAE＝ ∠CAD,BE＝DC, AD＝AE,∴A、B、C正确,D错误． ６．C　提示:A、B中式子的分母不能为０;D中被开 方数不能为负数． ７．A　提示:２５×０．２＋３０×０．３＋３５×０．４＋５０×０． １＝３３(元)． ８．C　提示:S１＝S２＝２S△ADE． 二、填空题 ９．１≤a＜３２　 提示:２a－３＜０且a－１≥０． １０．P２　提示:如图所示 １１．AC＝BD　提示:由中位线性质可知,HG 平行 且等于AC 的一半,EF 平行且等于AC 的一 半,所以 HG 与EF 平行且相等,所以 EFGH 为平行四边形,又EH 等于BD 的一半且AC＝ BD,所以得到所证四边形的邻边EH 与HG 相 等,所以四边形EFGH 为菱形． １２．(３,２)　提示:原式整理为(x＋２y－７)a－２x－ y＋８＝０,则 x＋２y－７＝０, －２x－y＋８＝０．{ 解得 x＝３, y＝２．{ １３．x＝n＋３或x＝n＋４　提示:由①②③得,方程 NEWHOPECUP １３６　 x＋abx ＝a＋b 的根为x＝a或x＝b, x＋n ２＋n x－３＝２n＋４ 可化为 x－３( ) ＋nn＋１ ( ) x－３ ＝ n＋ n＋１( ) ,即所求方程的根为x＝n＋３或x＝ n＋４． １４．９００００　提示:９０００＋８１×１０００＝９００００． １５． n＋４　提示:第一个直角三角形的斜边长为 ５＝ １＋４;第二个直角三角形的斜边长为 ６ ＝ ２＋４;􀆺,可以推出第n个直角三角形的斜 边长为 n＋４． １６．①③④　提示:连接CF,∵AC＝BC,∠ACB＝ ９０°,点F是AB 的中点,∴∠A＝∠B＝４５°,CF ⊥AB,∠ACF＝１２∠ACB＝４５° ,CF＝AF＝BF ＝１２AB ,∴ ∠DCF＝ ∠B＝４５°,∵ ∠DFE＝ ９０°,∴ ∠DFC＋ ∠CFE＝ ∠CFE＋ ∠EFB＝ ９０°,∴∠DFC＝∠EFB,∴△DCF≌△EBF,∴ CD＝BE,故①正确;∴DE＝EF,∴△DFE 是 等腰直角三角形,故③正确;∴S△DCF ＝S△BEF , ∴S四边形CDFE ＝S△CDF ＋S△CEF ＝S△EBF ＋S△CEF ＝S△CBF ＝１２S△ABC ,故④正确;当EF⊥BC时, 四边形CDFE 是矩形,∵DF＝EF,∴四边形 CDFE是正方形,故②错误．∴始终正确的结论 有①③④． 三、解答题 １７．解:原方程可化为x－２ x－３( ) ＝a,∴x＝６－ a,∵原方程有解,∴６－a不能为增根,∴６－a ≠３,即a≠３,又∵方程的解为正整数,∴６－a ＞０,∴a＜６, ∴当a＜６且a≠３时,原方程有正整数解． １８．(１)证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB＝AC, ∠B＝∠CAE＝６０°,又∵BD＝AE, ∴△ABD≌△CAE,∴AD＝CE． (２)解:由(１)得△ABD≌△CAE, ∴∠BAD＝∠ACE, ∴ ∠DFC ＝ ∠CAF ＋ ∠ACE ＝ ∠CAF ＋ ∠BAD＝∠BAC＝６０°． １９．解:(１)设直线l２ 的函数解析式为y＝ax＋b,则 ０＝４a＋b, －３２＝３a＋b．{ 解得 a＝３２ , b＝－６．{ ∴y＝３２x－６． (２)由 y＝－３x＋３, y＝３２x－６{ 解得 x＝２, y＝－３．{ ∴点B ２,－３( ) , 对直线l１:y＝－３x＋３,当y＝０时,x＝１, ∴点A(１,０), 对直线l２:y＝３２x－６ ,当y＝０时,x＝４, ∴点C ４,０( ) , ∴△ABC 的 面 积 为 １２ × ４－１ ( ) × －３ ＝ ９ ２． (３)点E ６,３( ) ． ２０．解:(１)∵ x１＋x２＋􀆺＋x２０１５＋x２０１６( )２＝(x２１＋ x２２＋􀆺＋x２２０１５＋x２２０１６)＋２(x１x２＋x１x３＋􀆺＋ x１x２０１５＋x１x２０１６ )＋２(x２x３ ＋x２x４ ＋ 􀆺 ＋ x２x２０１５ ＋x２x２０１６)＋ 􀆺 ＋２(x２０１４x２０１５ ＋x２０１４ x２０１６)＋２x２０１５x２０１６＝２０１６＋２S, ∴S＝１２ [(x１＋x２＋􀆺＋x２０１５＋x２０１６)２－２０１６], ∴当x１＝x２＝􀆺＝x２０１５＝x２０１６＝１或－１时,S 取 得 最 大 值 Smax ＝ １２ × ２０１６ ２－２０１６( ) ＝ ２０３１１２０, 当x１、x２、x３、􀆺、x２０１５、x２０１６中恰有１００８个１和 １００８个－１时, S 取 得 最 小 值 Smin ＝ １２ × ０ ２－２０１６( ) ＝ －１００８． (２)∵ 大于 ２０１６ 的 最 小 完 全 平 方 数 为４５２ ＝ ２０２５,且和数x１＋x２＋􀆺＋x２０１５＋x２０１６的值必 为偶数, ∴当x１＋x２＋􀆺＋x２０１５＋x２０１６＝４６或－４６,即 x１、x２、x３、􀆺、x２０１５、x２０１６中恰有１０３１个１,９８５ 个－１或１０３１个－１,９８５个１时,S 取得最小 正数值S＝１２× ４６ ２－２０１６( ) ＝５０．