训练题 9-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

NEWHOPECUP ７６　 八年级训练题(九) 一、选择题 １．已知 ２０n是整数,则满足条件的最小正整数n为(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．２ B．３ C．４ D．５ ２．国庆节到来之际,学校准备组织全校同学外出游玩,为确定游玩的地点,需要对同学们喜 欢去的地方进行调查,下面的调查数据中最值得关注的是(　　)． A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 ３．如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC＝８cm,BD＝６cm,DH⊥AB 于点H,且DH 与 AC 相交于点G,则DH＝(　　)． A．２８２５cm B． ２４ ５cm C． ２８ １５cm D． ２５ ２１cm (第３题图) 　　　 (第５题图) 　　　 (第６题图) ４．如果(２a＋２b＋１)(２a＋２b－１)＝６３,那么a＋b的值是(　　)． A．４ B．－４ C．±４ D．６４ ５．已知一次函数y＝(５－a)x＋a－１的图象如图所示,则a的取值范围是(　　)． A．a＞５ B．a＜５ C．a＞１ D．１＜a＜５ ６．函数y１ 与y２ 的图象如图所示,则函数y１ 与y２ 的函数表达式分别为(　　)． A．y１＝ x ,y２＝１３x＋ ４ ３ B．y１＝ x ,y２＝１３x－ ４ ３ C．y１＝ x ,y２＝－１３x＋ ４ ３ D．y１＝－ x ,y２＝１３x＋ ４ ３ (第８题图) ７．已知１a＋ １ b＋ １ c≠０ ,则关于x的方程x－a－bc ＋ x－b－c a ＋ x－c－a b ＝３ 的解是(　　)． A．x＝－a－b－c B．x＝a＋b＋c C．x＝a＋b－c D．x＝－a－b＋c ８．如图,在△ABC中,AB＝AC,BD、AM 分别是∠ABC, ∠BAC的平分线,DN⊥BC,GF⊥BD,那么 MN 与 BF 的数量关系是(　　)． A．MN＝１５BF B．MN＝ １ ４BF C．MN＝１３BF D．MN＝ １ ２BF !"#$%! ７７　 二、填空题 ９．实数a满足 a－２０１５＋ ２０１４－a ＝a,那么a－２０１４２＝ ． １０．分解因式４(３x２－x－１)(x２＋２x－３)－(４x２＋x－４)２＝ ． １１．如图,矩形纸片ABCD 中,AB＝ ６,BC＝ １０,第一次将纸片折叠使点B 与点D 重合, 折痕与BD 交于点O１;设O１D 的中点为点D１,第二次将纸片折叠使点B 与点D１重合, 折痕与BD 与交于点O２;设O２D１的中点为点D２,第三次将纸片折叠使点B 与点D２重 合,折痕与BD 交于点O３􀆺􀆺按上述方法折叠,第n次折叠后的折痕与BD 交于点On, 则BO１＝ ,BOn＝ ． １２．有两棵树,一棵树高１２米,另一棵树高６米,两棵树相距８米,一只小鸟从一棵树的树顶 飞到另一棵树的树顶,小鸟至少飞行了 米． １３．某排有３８个新兵,在一次射击训练时的成绩如下表所示,已知众数为６０环,中位数为７０ 环,则x２－２y＝ ． １４．如图,五个全等的正方形纸片如图放置,请用两种不同方法,将图形经过适当剪拼,使之 成为一个正方形,在备用图中画出剪拼的示意图． (第１４题图) 　　　 (第１６题图) １５．在一次函数y＝kx＋b(k,b为常数)中,当－３≤x≤１时,１≤y≤９,则k＋b的值为 ． １６．如图,△ABC和△FPQ 均是等边三角形,点D、E、F 分别是△ABC 三边的中点,点P 在 AB 边上,连接EF、QE．若AB＝６,PB＝１,则QE＝ ． 三、解答题 １７．已知 １７＋x２ － １７－x２ ＝２,求２ １７＋x２ ＋ １７－x２ 的值． NEWHOPECUP ７８　 １８．某校要从八年级一班和二班中各选取１０名男同学组成国旗班,选取的两班男生的身高 如下:(单位:厘米) 一班:１７８　１７７　１８０　１７５　１７８　１７６　１８１　１７８　１７７　１８０ 二班:１７５　１７７　１７９　１８０　１７５　１７８　１８０　１８１　１７８　１７７ (１)补充完成下面的统计表: (２)请选择一个合适的统计量作为选择标准,说明应该选取哪一个班． １９．在Rt△ABC中,∠ACB＝９０°,CD⊥AB 于D,AC＝２０,BC＝１５, (１)求AB 的长;(２)求CD 的长． ２０．将两张大小一样的正方形纸片按如图所示的方式叠放在一起,重叠部分是一个凸八边形 ABCDEFGH,对角线AE、CG 分这个八边形为四个小的凸四边形．求证:AE⊥CG 且AE ＝CG． NEWHOPECUP １３０　 后乙队追上甲队． (２)１小时之内,两队相距最远距离是４千米, 乙队追上甲队后,两队的距离是１６x－(１０x＋ １０)＝６x－１０,当x为最大,即x＝３５１６ 时,６x－１０ 最大,此时最大距离为６×３５１６－１０＝３．１２５＜４ , 所以比赛过程中甲、乙两队在出发后１小时相距 最远． １９．解:CG＝EG,CG⊥EG． 如图,延长EG到点H,使GH＝EG,连接EC、 DH、CH．可证明△EFG≌△HDG． ∴∠EFG＝ ∠HDG＝ ∠１＋ ∠３,DH＝EF＝ BE,EG＝HG．又９０°－∠２＋９０°－∠３＋∠１＋ ∠３＝１８０°,∴ ∠１＝ ∠２．∴ △BCE≌ △DCH, ∴CE＝CH,∴∠BCE＝∠DCH．∴∠ECH＝ ∠BCD＝９０°．在 Rt△ECH 中,点G 是EH 中 点,∴CG＝１２EH＝EG ,CG⊥EG． ２０．证明:如图,延长GE交BA 的延长线于点K,过 点E 作EM ∥BC 交AB 于点 M,交 AD 于点 N,∵AB＝AC,AD⊥BC,∴MN＝NE＝DF,∴ EM＝２DF＝１２BG ,又EM∥BC,∴点E 是GK 的中点,又BE⊥GK,∴BE平分∠ABC． 八年级训练题(九) 一、选择题 １．D　提示:显然,当n＝５时,２０n＝１００,是完全平 方式． ２．D ３．B　提示:∵四边形ABCD 是菱形,对角线AC＝ ８cm,BD ＝６cm,∴AO＝４cm,BO＝３cm,在 Rt△AOB中,AB＝ AO２＋BO２ ＝５cm, ∵１２BD×AC＝AB×DH ,∴DH＝２４５cm． ４．C　提示:∵(２a＋２b＋１)(２a＋２b－１)＝６３,[２(a ＋b)]２－１２＝６３,∴a＋b＝±４． ５．D　提示:根据题意可得 ５－a＞０, a－１＞０．{ 解得１＜a＜ ５． ６．A　提示:函数y１ 与y２ 的图象都经过(－１,１)和 (２,２)两点,且函数y１ 图象关于y轴对称． ７．B　 提 示:原 方 程 可 化 为 x－a－bc －１( ) ＋ x－b－c a －１( ) ＋ x－c－a b －１( ) ＝ ０, 即 x－a－b－c( ) １a＋ １ b＋ １ c( ) ＝０,又 １ a ＋ １ b ＋ １ c≠０ ,故x＝a＋b＋c． ８．B　提示:如图,作 DH∥BC,交AB 于点 H,交 AM 于点R．∵△ABC 为等腰三角形,且AM 平 分∠BAC．∴点 M 为BC 中点,且 AM⊥BC,∵ BD 平分∠ABC,且GF⊥BD,∴△FGB 为等腰 三角形,且点D 为FG 的中点,又∵HD∥BF,∴ HD＝ １２BF ,且 点 R 为 HD 中 点,即 HD＝ ２RD,可以发现四边形RMND 为矩形,于是RD ＝MN．∴MN＝RD＝１２HD＝ １ ４BF． 二、填空题 ９．２０１５ 提 示:a ≥２０１５,则 a ＝ a－２０１５ ＋ ２０１４－a ＝ a－２０１５ ＋ a － ２０１４, 即 a－２０１５＝２０１４,a－２０１４２＝２０１５． １０．－(２x２－３x＋２)２　提示:设３x２－x－１＝A,x２ ＋２x－３＝B,则４x２＋x－４＝A＋B． ∴原式＝４AB－(A＋B)２＝－A２－B２＋２AB＝ ! " # $! １３１　 －(A－B)２＝[(３x２－x－１)－(x２＋２x－３)]２ ＝－(２x２－３x＋２)２． １１．２;３ n－１ ２２n－３ １２．１０　提示:如图:设大树高为AB＝１２m,小树高 为CD＝６m,过点C作CE⊥AB于点E, 所以四边形BDCE为矩形,则 AE＝AB－EB＝１２－６＝６(m), 在 Rt△AEC中,AC＝ AE２＋CE２ ＝１０(m)． １３．５０　提示:∵共有３８人,∴x＋y＝３８－(２＋３＋ ５＋６＋３＋４)＝１５,又∵众数为６０,所以x≥８, 当x＝８时,y＝７,中位数为７０;同理,当x＝９, １０,１１,１２,１３,１４,１５时,中位数都不是６０,故不 符合题意,∴x＝８,y＝７,x２－２y＝６４－１４＝５０． １４．方法不唯一,如图所示: １５．１或９　提示:当k＞０时,y 随x 的增大而增 大,此时一次函数经过点(－３,１),(１,９),代入 y＝kx＋b得 １＝－３k＋b, ９＝k＋b．{ 解得 k＝２, b＝７．{ 所以k＋ b＝９;当k＜０时,y随x 的增大而减小,此时一 次 函 数 经 过 点 (－ ３,９)、(１,１),∴ ９＝－３k＋b, １＝k＋b．{ 解得 k＝－２, b＝３．{ ∴k＋b＝１． １６．２　提示:如图,连接FD,∵△ABC为等边三角 形,∴AC＝AB＝６,∠A＝６０°,∵点 D、E、F 分 别是等边 △ABC 的中 点,AB＝６,PB＝１,∴ １ ２AB＝AD＝BD＝AF＝３ ,DP＝DB－PB＝３ －１＝２,EF 为△ABC 的中位线,∴EF∥AB, EF＝ １２AB＝３ ,△ADF 为 等 边 三 角 形,∴ ∠FDA＝６０°,∴ ∠１＋ ∠EFP ＝ ∠EFD ＝ ∠PFQ＝∠２＋∠EFP＝６０°,∴∠１＝∠２,∵在 △FDP 和 △FEQ 中, FP＝FQ, ∠１＝∠２, FD＝FE, { ∴ △FDP≌ △FEQ,∴DP＝QE,∵DP＝２,∴QE＝２． 三、解答题 １７．解:设 a ＝ １７＋x２ ,b ＝ １７－x２ ,则 a－b＝２, a２＋b２＝３４．{ ∴b ２＋２b－１５＝０, 方程左边因式分解得 b－３( ) b＋５( ) ＝０,∴b－ ３＝０或b＋５＝０,∴ a＝－３, b＝－５．{ (舍)或 a＝５, b＝３．{ ∴２ １７＋x２ ＋ １７－x２ ＝２×５＋３＝１３． １８．解:(１)３．２,１７８, (２)因为一班与二班的样本平均数、中位数都一 样,而一班样本的方差３．２小于二班的样本方 差３．８,所以一班同学的身高相对整齐,所以应 该选一班． １９．解:(１)∵在 Rt△ABC 中,∠ACB＝９０°,BC＝ １５,AC＝２０, ∴AB＝ AC２＋BC２ ＝ ２０２＋１５２ ＝２５． (２)∵S△ABC＝１２AC 􀅰BC＝１２AB 􀅰CD,∴AC􀅰 BC＝AB􀅰CD,∴２０×１５＝２５CD,∴CD＝１２． ２０．解:如图,延长CB、GH 相交于点P,延长CD、 GF相交于点Q,延长AB、ED 相交于点 M,延 长AH、EF 相交于点 N,则四边形CPGQ,AＧ MEN 都是平行四边形,易知∠M＝∠N＝∠Q ＝∠P．作 AA１ ⊥ME 于A１,作 CC１ ⊥QG 于 C１,在 Rt△AA１M 与△CC１Q 中,AA１ ＝CC１, ∠M＝∠Q,∴Rt△AA１M≌Rt△CC１Q,∴AM ＝CQ＝EM,作AA２⊥EN 于点A;作CC２⊥GH 于点C２;同理 Rt△AA２N≌Rt△CC２P,∴CP＝ AN＝ME＝GQ,易证△QCG≌△NEA,∴EA＝ CG．再由 Rt△AA１E≌Rt△CC１G,得∠C１CG＝ ∠A１AE,又 ∠CSK ＝ ∠ASO,∴ ∠SOA ＝ NEWHOPECUP １３２　 ∠CKS＝９０°,即AE⊥CG． 八年级训练题(十) 一、选择题 １．B　提示:原式 ＝ １×３× (１－２２＋３２－４２＋􀆺＋９９２－１００２) －１×２×(１－２２＋３２－４２＋􀆺＋９９２－１００２) ＝－３２． ２．D　提示: a＋b＝９, a－b＝２７．{ 解得 a＝１８, b＝－９．{ ∴２a－５b＝ ８１,其平方根为±９． ３．C　提示:设x３＝ y ２＝ z ５＝k ,则x＝３k,y＝２k,z ＝５k,∴６k２＋１０k２＋１５k２＝９３,∴k２＝３, ∴９x２＋１２y２＋２z２＝９×９k２＋１２×４k２＋２×２５k２ ＝１７９k２． ４．A　 提 示:原 方 程 可 化 为x－a－b－c－dd ＋ x－a－b－c－d a ＋ x－a－b－c－d b ＋ x－a－b－c－d c ＝ ０ ,即 １ a＋ １ b＋ １ c＋ １ d( ) x－ a＋b＋c＋d( )[ ] ＝０,∵ １a ＋ １ b ＋ １ c ＋ １ d ≠０,∴x＝a＋b＋c＋d． ５．D　提示:a２＋b２＋２ab＝１,a２＋b２－２ab＝２５,∴ a２＋b２＝１３,ab＝－６,∴a２＋b２＋ab＝７． ６．D　提示:根据一次函数的性质可排除 A、B、C选 项,当a、b互为相反数时,D选项正确． ７．A 　 提 示:设 腰 长 为 ２x,底 边 长 为 y,则 x＋２x＝１２, x＋y＝２１, ４x＞y { 或 x＋２x＝２１, x＋y＝１２, ４x＞y． { 解得y＝５(cm)． ８．A　提示:如图,设 三 条 直 线 所 围 成 的 区 域 为 △ABC,作点R关于x 轴的对称点R′,连接BR′ 交x 轴于点Q,则当点P 与点B 重合时,PQ＋ RQ的值最小,即为BR′的长度值,易知BR＝１, RR′＝４,∴BR′＝ １７． 二、填空题 ９．２０１６２０１７　 提示:a＝１,b＝２,原式＝１－１２＋ １ ２－ １ ３ ＋１３－ １ ４＋ 􀆺＋ １２０１６－ １ ２０１７＝ ２０１６ ２０１７． １０．３２　提示:设AB＝２x,则 AB２( ) ２ ＋ ８ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ AB２,解得AB＝８cm． １１．０　 提示:∵２＜ ８＜３,∴m＝２,n＝ ８－２, ∴ －m( )３＋ n＋２( )２＝ －２( )３＋ ８－２＋２( ) ２ ＝－８＋８＝０． １２．x－１( )２ y－１( )２　提示:令x＋y＝a,xy＝b, 则原 式 ＝a２ －２a－２ab＋４b＋１－２b＋b２ ＝ a－b( )２ － ２ a－b( ) ＋ １ ＝ a－b－１( )２ ＝ x＋y－xy－１( )２ ＝ x－１( ) １－y( )[ ]２ ＝ x－１( )２ y－１( )２． １３．９９９９　 提 示:当 x≥２０００ 时,x－２０００＋x≤ ９９９９,x≤５９９９．５,即２０００≤x≤５９９９．５,此时整 数x有４０００个;当０≤x＜２０００时,２０００－x＋x ≤９９９９,２０００≤９９９９,恒 成 立,此 时 整 数 x 有 ２０００个;当x＜０时,２０００－x－x≤９９９９,x≥ －３９９９．５,即－３９９９．５≤x＜０,此时整数x 有 ３９９９个．综上可得满足题意的整数x共有９９９９ 个． １４．A＝B　提示:A＝２０１６＋２０１５×(２０１６＋２０１６２ ＋ 􀆺 ＋ ２０１６２０１５ ) ＝ ２０１６ ＋ ２０１５ × ２０１６－２０１６×２０１６２０１５ １－２０１６ ＝２０１６ ２０１６． １５．２２．５°　提示:延长CD 到点G,使得 DG＝BC, 在DG 上截取DH ＝BE,得CE＝GH,△ABC