训练题 7-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

! %$#"! ６９　 八年级训练题(七) 一、选择题 １．若一个多边形的每一个外角都等于３６°,则这个多边形的边数是(　　)． A．４条 B．６条 C．８条 D．１０条 ２．方程x－２０１５９１ ＋ x－１ ２０１４＋ ３－x ２０１２＝０ 的解是(　　)． A．２０１２ B．２０１３ C．２０１４ D．２０１５ ３．要使 x－１( ) x＋３( ) x－４( ) x－８( ) ＋m 为完全平方式,则常数m 的值为(　　)． A．１４４ B．１９６ C．２２５ D．２５６ ４．２５５,３４４,５３３,６２２的大小关系是(　　)． A．２５５＜３４４＜６２２＜５３３ B．２５５＜６２２＜３４４＜５３３ C．２５５＜５３３＜３４４＜６２２ D．３４４＜６２２＜２５５＜５３３ ５．在一个三角形中,如果最大角是最小角的２倍,那么最小角α的取值范围是(　　)． A．０°＜α≤６０° B．０°＜α≤３０° C．３６°≤α≤４５° D．α＜３０° ６．创新希望组委会随机抽取３００名参加创新希望数学大赛的学生对其进行电话回访,原计 程正确的是(　　) 划x天完成,实际平均每天多打了５个电话,因此提前５天完成了任务．根据题意,下列方 ． A．３００x － ３００ x＋５＝５ B． ３００ x－５－ ３００ x ＝５ C．３００x － ３００ x－５＝５ D．５＋ ３００ x ＝ ３００ x＋５ ７．如图,△ABC和△CDE 均为等边三角形,且∠ACE＜１２０°,点F 与点G 分别是线段BE 和 AD 的中点,则△CFG 是(　　)． A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形 (第７题图) 　　　　 (第８题图) ８．如图,在△ABC中,AB＞AC,BE、CF 是中线,则BE 与CF 的数量关系是(　　)． A．BE＞CF B．BE＜CF C．BE≥CF D．BE≤CF 二、填空题 ９．已知a＋b＝２,则a２－b２＋４b的值为 ． PUECPOWHEN ７０　 １０．在Rt△ABC中,∠ACB＝９０°,BC＝２cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC＝BC,过点 E 作EF⊥AC交CD 的延长线于点F,若EF＝５cm,则AE＝ cm． (第１０题图) 　　 (第１５题图) 　　 (第１６题图) １１．已知b＝４ ３a－２＋２ ２－３a＋２,则１a＋ １ b 的平方根是 ． １２．已知x＝２０１３×２０１３－２０１３２０１４×２０１４＋２０１４ ,y＝２０１４×２０１４－２０１４２０１３×２０１３＋２０１３ ,z＝２０１５×２０１５－２０１５２０１２×２０１２＋２０１２ ,则xyz＝ ． １３．已知 a ＝ －a,b＜０,则化简 ２a＋４ba＋２b( )２ － ４ a＋２b － ２ ４b＋３－ ２a－３ 的 结 果 是 ． １４．在平面直角坐标系中,点A(１,b)关于y轴对称的点为点B(a,２),则a＋b＝ ． １５．如图,在△ABC中,AC＞AB,点 M 为BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,若CF⊥AD 且交AD 的延长线于点F,那么MF、AC、AB 之间的数量关系是 ． １６．如图,点O 是等边△ABC内一点,∠AOB＝１１０°,∠BOC＝α,将△BOC 绕点C 按顺时针 方向旋转６０°得到△ACD,连接OD,则△COD 是等边三角形,当α为 度时, △AOD 是等腰三角形． 三、解答题 成,还需要５天时间．现在要从中选出一个排版室单独完成,哪个排版室所用的时间 排版室一起编排１２天恰好完成;若两个排版室合作９天后,剩下的由A 排版室单独 １７．创新希望组委会有一本杂志需要排版,现有A、B 两个排版室可以选择,经估计,若两个 完 更 少? !"#$%! ７１　 １８．如图,在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C 的对边,且２b＜a＋c,求证:２∠B＜∠A ＋∠C． １９．求证:１３≤ １ １×３＋ １ ３×５＋ 􀆺＋ １２n－１( ) ２n＋１( ) ＜ １ ２ (n为正整数)． ２０．如图,在△ABC中,∠ABC＝９０°,点E 在直线AB 上,DE 与直线AC 垂直,垂足为点D, 且点M 为CE 的中点,连接BM、DM． (１)如图１,若点E 在线段AB 上,探究线段BM 与DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数 量关系,并直接写出你得到的结论; (２)如图２,若点E 在BA 的延长线上,你在(１)中得到的结论是否发生变化? 写出你的猜 想并加以证明; (３)若点E 在AB 延长线上,请你根据条件画出相应的图形,并直接写出线段BM 与DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系． NEWHOPECUP １２６　 △ADC．从而 ∠APD＝ ∠ACD．在 △ABC 中, ∠CAB＝３６°,∠ABC＝７２°,故∠ACB＝７２°,AC ＝AB,从 而 AP＝AB,而 ∠PAB＝ ∠PAD＋ ∠DAC＋ ∠CAB＝１２°＋１２°＋３６°＝６０°,故 △PAB是正三角形,∠APB＝６０°,PA＝PB．在 △DAB中,∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝１２°＋ ３６°＝４８°＝∠DBA,故 DA＝DB．在△PDA 和 △PDB中,PA＝PB,PD＝PD,DA＝DB,故 △PDA≌ △PDB,从 而 ∠APD ＝ ∠BPD ＝ １ ２∠APB＝３０° ,则∠ACD＝３０°． 八年级训练题(七) 一、选择题 １．D　提示:３６０°÷３６°＝１０(条)． ２．D　提示:x－２０１５９１ ＋ x－１ ２０１４－１( ) ＋ ３－x ２０１２＋１( ) ＝０, x－２０１５ ９１ ＋ x－２０１５ ２０１４ ＋ ２０１５－x ２０１２ ＝０ , x－２０１５( ) １９１＋ １ ２０１４＋ １ ２０１２( ) ＝０, 显然１ ９１＋ １ ２０１４＋ １ ２０１２≠０ , 故x－２０１５＝０,x＝２０１５． ３．B　提示:将(x－１)(x＋３)(x－４)(x－８)＋m 中 的(x－１)与(x－４)相乘,(x＋３)(x－８)相乘, 得:(x－１)(x＋３)(x－４)(x－８)＋m＝(x２－５x ＋４)(x２－５x－２４)＋m＝(x２－５x)２－２０(x２－ ５x)－９６＋m．显然,－９６＋m＝１００,则m＝１９６． ４．B　提示:根据幂的性质可知:２５５＝(２５)１１,３４４＝ (３４)１１,５３３＝(５３)１１,６２２＝(６２)１１．根据幂的定义 可知,a１１表示１１个a相乘,故只要比较出２５, ３４,５２,６２的大小即可,２５＝３２,３４＝８１,５３＝１２５, ６２＝３６,故２５５＜６２２＜３４４＜５３３． ５．C　提示:最大的角为２α,设第三个角为β,则α≤ β＝１８０°－３α≤２α,解得３６°≤α≤４５°． ６．B ７．C　提示:∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形, ∴AC＝BC,CD＝CE,∠ACB＝∠ECD＝６０°,∴ ∠BCE＝∠ACD,∴△BCE≌△ACD,∴∠CBE ＝∠CAD,BE＝AD．又点F 与点G 分别是线段 BE 和 AD 的 中 点,∴BF＝AG．∴ △BCF≌ △ACG,∴CF＝CG,∠BCF＝∠ACG,∴∠FCG ＝∠ACB＝６０°．∴△CFG是等边三角形． ８．A　提示:将BE、CE 分别平移到FG、FD,则四 边形EFDC为平行四边形,作FH⊥BC于点H． ∵AB＞AC,且点F、E 分别为AB、AC 的中点, ∴FB＞CE．∴FB＞FD,由勾股定理得 HB＞ HD．又∵GH＝GB＋BH＝EF＋BH＝DC＋BH ＞CD＋DH＝CH,即GH＞CH,∴GF＞CF,即 BE＞CF． 二、填空题 ９．４　提示:∵a＋b＝２,∴a２－b２＋４b＝(a＋b)(a－ b)＋４b＝２(a－b)＋４b＝２(a＋b)＝２×２＝４． １０．３　提示:∵∠ACB＝９０°,∴∠ECF＋∠BCD＝ ９０°,∵CD ⊥AB,∴ ∠BCD ＋ ∠B＝９０°,∴ ∠ECF ＝ ∠B,在 △FCE 和 △ABC 中, ∠ECF＝∠B, EC＝BC, ∠ACB＝∠FEC＝９０°． { ∴△FCE≌△ABC,∴ AC＝EF,∵AE＝AC－CE,BC＝２cm,EF＝ ５cm,∴AE＝５－２＝３(cm)． １１．± ２　提示:由根式的性质得 ３a－２≥０, ２－３a≥０．{ ∴３a －２＝０,a＝ ２３ ,∴b＝２,∴ １a ＋ １ b 的平方根是 ± ２． １２．１　提示:x＝２０１２×２０１３２０１４×２０１５ ,y＝２０１３×２０１４２０１３×２０１４ ,z＝ ２０１４×２０１５ ２０１２×２０１３ ,所以xyz＝１． １３． ３a＋２b　 提示:∵|a|＝－a,∴a≤０,又∵b＜０, ∴２a＋４b＜０,∴ ２a＋４b ＝－２a＋２b( ) , ∴ ２a＋４ba＋２b( )２ ＝ －２a＋２b( ) a＋２b( )２ ＝ －２ a＋２b ,又∵２＋２b ＜０,∴－ ４a＋２b ＝－ ４ － a＋２b( ) ＝ ４ a＋２b ,又 ∵２a－３＜０,∴ － ２４b＋３－ ２a－３ ＝ － ２４b＋３＋ ２a－３( ) ＝－ ２ ２a＋４b ＝ ２ ２a＋４b ＝ １a＋２b ,∴原式＝－ ２２a＋４b＋ ４ a＋２b＋ １ a＋２b＝ ! " # $! １２７　 ３ a＋２b． １４．１提示:∵点A(１,b)关于y轴对称的点为点B (a,２),∴a＝－１,b＝２,∴a＋b＝－１＋２＝１． １５．MF＝ １２ AC－AB ( ) 　提示:题目中有角平分 线垂直的条件,因此可以考虑将图形补成等腰 △AEC,之后再证明 MF 是△CBE 的中位线即 可．如图所示,延长AB、CF相交于点E, 在△AFE和△AFC中,∠EAF＝∠CAF,AF＝ AF,∠AEF＝∠ACF,故△AFE≌△AFC,从而 AE＝AC,EF＝FC．而 CM＝MB,故 MF 是 △CBE 的 中 位 线,从 而 MF ＝ １２ BE ＝ １ ２ AE－AB ( ) ＝１２ AC－AB ( ) ． １６．１２５或１１０或１４０　提示:分三种情况讨论:① 要使AO＝AD,需∠AOD＝∠ADO,∵∠AOD ＝３６０°－ ∠AOB － ∠COD －α＝１９０°－α, ∠ADO＝α－６０°,∴１９０°－α＝α－６０°,∴α＝ １２５°;②要使OA＝OD,需∠OAD＝∠ADO．∵ ∠AOD＝３６０°－∠AOB－∠COD－α＝１９０°－ α,∴∠ADO＝１２× (１８０°－∠AOD)＝１２α－５° , ∠ADC＝∠ADO＋∠ODC＝１２α－５°＋６０°＝α , ∴α＝１１０°;③ 要 使 OD ＝AD,需 ∠OAD ＝ ∠AOD．∴∠AOD＝１９０°－α,∠ADO＝α－６０°, ∴２(１９０°－α)＋α－６０°＝１８０°,∴α＝１４０°． 三、解答题 １７．解:设A 排版室单独完成需要x 天,得１１２×９＋ １ x×５＝１ ,解得x＝２０,经检验x＝２０是方程的 解,∵１１２－ １ ２０＝ １ ３０ ,∴B 排版室单独完成需要 ３０天,所以 A 排版室单独完成所用的时间更 少．答:略． １８．证明:延长BA 到点D,使 AD＝BC＝a,延长 BC到点E,使CE＝AB＝c,连接DE, ∴BD＝BE＝a＋c．∴∠BDE＝∠BED．作DF ∥AC,CF∥AD,相交于点F,连接EF,则ADＧ FC是平行四边形．∴CF＝AD＝BC．又∠FCE ＝∠CBA,∴△FCE≌△CBA．∴EF＝AC＝b． 于是DE≤DF＋EF＝２b＜a＋c＝BD＝BE．这 样,在△BED 中,便有∠B＜∠BDE＝∠BED, ∴２∠B＜∠BDE＋∠BED＝１８０°－∠B＝∠A ＋∠C,即２∠B＜∠A＋∠C． １９．解:当n＝１时,原不等式为 １３ ≤ １ ３ ＜ １ ２ ,显然 成立;当n＞１时, １２n－１( ) ２n＋１( ) ＞０ ,故 １ １×３ ＋ １３×５＋ 􀆺＋ １２n－１( ) ２n＋１( ) ＝ １ ２ １－ １ ３＋ １ ３－ １ ５＋ 􀆺＋ １２n－１－ １ ２n＋１( ) ＝ １ ２ １－ １ ２n＋１( ) ＜ １ ２ ,故 １ ３ ≤ １ １×３＋ １ ３×５＋ 􀆺 ＋ １２n－１( ) ２n＋１( ) ＜ １ ２ 成立． ２０．解:(１)结论:BM＝DM,∠BMD＝２∠BCD． (２)在(１)中得到的结论任然成立,即 BM＝ DM,∠BMD＝２∠BCD．∵点 M 是 Rt△BEC 的斜边EC 的中点,∴BM＝ １２EC＝MC． 又点 M 是 Rt△DEC 的斜边EC 的 中 点,∴DM＝ １ ２EC＝MC．∴BM＝DM．∵BM＝MC ,DM＝ MC,∴∠CBM＝∠BCM,∠DCM＝∠CDM,∴ ∠BMD ＝ ∠EMB － ∠EMD ＝２∠BCM － ２∠DCM＝２(∠BCM－∠DCM)＝２∠BCD．即 ∠BMD＝２∠BCD． (３)所画图形如图所示: NEWHOPECUP １２８　 图a 图b 图c 图a中有BM＝DM,∠BMD＝２∠BCD; 图b中∠BDC不存在,有BM＝DM; 图c中有BM＝DM,∠BMD＝３６０°－２∠BCD． 八年级训练题(八) 一、选择题 １．C　提示:A＝ (a２＋９)４ ＝ a２＋９( )２,又a２＋９ ＞０,故A 的算术平方根是a２＋９． ２．D　提示:由图可知,a＜０,b＞０,且|a|＞|b|,所 以a＋b＜０,a－b＞０,所以原式＝ a＋b －a× (－１)＝－a－b＋a＝－b． ３．A　提示:由已知可得x３－２x２＋ax－１＝(bx－ １)(x２－x＋２)＋１,即x３－２x２＋ax－１＝bx３－ (b＋１)x２＋(２b＋１)x－１,∴b＝１,a＝２b＋１＝３． ４．A　提示:由题意得,乙的速度是甲的４倍,故第 １次相遇时甲走了正方形周长的 １２ × １ ５ ＝ １ １０ ; 从第２次相遇起,每相遇１次,甲走了正方形周 长的１ ５ ,５次一个循环．可知从第２次相遇起,每 次相遇的位置依次是:边DC 上、点C 处,边CB 上,边 BA 上,边 AD 上;依 次 循 环,故 它 们 第 ２０１５次相遇的位置与第５次相遇的位置相同, 在AB边上． ５．B　提示:设点P(x,y),过点E、F分别作y 轴、x 轴的垂线,易得AF＝ ２y,BE＝ ２x,AF􀅰BE＝ ２xy＝１． ６．B　提示:３号选手的得分为９２×５－９１－９６－９０ －８９＝９４(分),所以方差为:１５ [(９１－９２)２＋(９６ －９２)２＋(９４－９２)２＋(９０－９２)２＋(８９－９２)２]＝ ６．８． ７．C　提示:由图可知△ABD≌△EBD,∴AD＝ DE＝a,∠DBE＝２２．５°．又 ∵ ∠C＝ ∠ABC＝ ４５°,∴DC＝ ２a,又 ∵ △CDE≌ △C′DE,∴ ∠DC′E＝４５°,∴∠DBE＝∠BDC′＝２２．５°．所以 BC′＝C′D,△BC′D 是等腰三角形．故②③④正 确． ８．B　提示:①当AB≠AC时,以BD、BC为一组邻 边作平行四边形BDGC,如图１,∴DB＝GC＝ AC,∠BAC＝∠GCE,BC＝DG．∵AB＝CE,∴ △ABC≌ △CEG,∴BC＝EG＝DG,在 △DGE 中,DG＋GE＞DE,∴２BC＞DE,即BC＞１２DE． ②当 AB＝AC 时,如图２,∴AB＝AC＝DB＝ CE．∴BC＝１２DE． 综上所述,BC≥１２DE． 图１　　　　　　　图２ 二、填空题 ９．(２x２＋５x＋１２)(２x＋７)(x－１)　提示:原式＝ (x＋１)(x＋２)(２x＋１)(２x＋３)－９０＝(２x２＋５x ＋３)(２x２＋５x＋２)－９０,设y＝２x２＋５x,则原式 ＝(y＋３)(y＋２)－９０＝y２＋５y－８４＝(y＋１２)(y －７)＝(２x２＋５x＋１２)(２x＋７)(x－１)． １０．１５　提示:根据图示信息可得,共有８＋１０＋４ ＋２＝２４(人),则中位数为第１２位和第１３位的