训练题 6-“枫叶新希望杯”八年级数学竞赛训练题

NEWHOPECUP ６６　 八年级训练题(六) 一、选择题 １．一个多边形从一个顶点出发引出的对角线共有９条,则这个多边形的内角和为(　　)． A．１２６０° B．１６２０° C．１８００° D．２１６０° ２．计算 －８( )２０１５×(０．１２５)２０１５的值为(　　)． A．－２ B．－１ C．１ D．２ ３．已知１＋x＋x２＝０,则１＋x＋x２＋x３＋􀆺＋x２０１４的值为(　　)． A．１ B．－１ C．０ D．２０１４ ４．如图,已知直线a∥b,等边△ABC的顶点B 在直线b上,边BC与直线b的夹角∠１＝２０°, 则∠２的度数为(　　)． A．６０° B．４５° C．４０° D．３０° (第４题图) 　　　　　　 (第５题图) ５．如图,在３×４的正方形网格中已有２个正方形涂黑,再选择一个正方形涂黑,使得３个涂 黑的正方形组成轴对称图形,选择的位置共有(　　)处． A．７ B．６ C．５ D．４ ６．若a＋ba－b 是不等于１的有理数,则ab 的值(　　)． A．必为有理数 B．必为无理数 C．可能是有理数 D．可能是无理数 (第８题图) ７．若s＝x＋y＋z,其中x、y是相邻的整数,且z＝xy,则s的值(　　)． A．必是奇数 B．必是偶数 C．可能是奇数 D．可能是偶数 ８．如图,点P、Q 是边长为４cm 的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P、Q 分别从顶点A、B 同时出发,分别沿AB、BC运动,速度都为１cm/s,连接AQ、CP 交于点M,则在点P、Q 运 动的过程中,下列结论错误的是(　　)． A．BP＝CM B．△ABQ≌△CAP C．∠CMQ＝６０° D．当第４３ 秒或８ ３ 秒时,△PBQ 为直角三角形 !"#$%! ６７　 二、填空题 ９．分解因式(x２＋x＋１)(x２＋x＋２)－１２＝ ． １０．方程x－２０３ ＋ x－１８ ５ ＋ x－１６ ７ ＋ x－１４ ９ ＋ x－１２ １１ ＝５ 的解是 ． １１．如果(x＋my)(x＋ny)＝x２＋２xy－６y２,那么(m＋n)mn的值为 ． １２．将等腰三角形纸片ABC的底边BC 折起,使点C落在腰AB 上,这时纸片没重叠的部分 也是等腰三角形,则∠A＝ ． １３．如图,在六边形ABCDEF 中,AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF,对边之差BC－EF＝ED－ AB＝AF－CD＞０,则∠B＝ ． (第１３题图) 　　　　 (第１４题图) １４．如图,在△ABC中,AD 是∠BAC 的外角平分线,CD⊥AD 于点D,点E 是BC 的中点, 则DE 与AB 的位置关系是 ;DE 与AB、AC的数量关系是 ． １５．如图,分别以 Rt△ABC 的直角边AC、BC 为边,在 Rt△ABC 外作两个等边三角形 △ACE 和△BCF,连接BE、AF,则∠１＝ ． １６．设a＝２０１５２０１３×２０１５２０１５３－２０１５２０１４×２０１５２０１２３,则 ３ a＝ ． 三、解答题 １７．已知ma＋２b＝３,m２a＋b＝９,求ma＋b的值． NEWHOPECUP ６８　 １８．先化简 １＋ １x＋２ æ è ç ö ø ÷ ÷x ２＋６x＋９ x２－４ ,再从１,２,－２,－３中选择一个合适的数代入求值． １９．在△ABC中,∠BAC＝３０°,AD 是∠BAC 的平分线,过点A 作AD 的垂线交直线BC 于 点M,若BM＝AB＋AC,试求∠ABC和∠ACB 的度数． ２０．如图,在四边形ABCD 中,∠DAC＝１２°,∠CAB＝３６°,∠ABD＝４８°,∠DBC＝２４°,求 ∠ACD 的度数． ! " # $! １２３　 ＝４５°,∴∠BAD＝９０°＋４５°＝１３５°,∠BAE＝ ３６０°－∠BAD－∠DAE＝１３５°,∠CAE＝９０°＋ ４５°＝１３５°,∴ △ABD ≌ △ABE ≌ △ACE ≌ △DEC,∴图中与△ACE 全等的三角形共有３ 个． １５．MN＝１２ (AB＋BC＋AC)　提示:易证 Rt△AMB≌Rt△EMB,Rt△ANC≌Rt△FNC, ∴AM＝EM,AN＝FN,AB＝EB,AC＝FC． ∴MN∥BC,且 MN＝ １２ (EB＋BC＋CF)＝ MN＝１２ (AB＋BC＋AC)． １６．１４０°或１００°或４０°　提示:若△ABC为钝角三角 形,且∠A 为顶角,则三个内角的大小分别为 １４０°,２０°,２０°;若△ABC 为钝角三角形,且∠A 为底角,则三个内角的大小分别为 １００°,４０°, ４０°;若△ABC为锐角三角形,且∠A 为顶角,则 三个内角的大小分别为４０°,７０°,７０°． 三、解答题 １７．解:(１)设张老师单独整理需要x分钟完工,根 据题意得２０ ４０＋ ２０＋２０ x ＝１ ,解得x＝８０,经检验, x＝８０是原分式方程的解． (２)设李老师要整理y 分钟,根据题意得３０８０＋ y ４０≥１ ,解得y≥２５,即李老师至少要整理２５分 钟．答:略． １８．解:PA＞PB．∵ 点 P 在 直 线l 的 右 边,连 接 AP,则AP 一定与直线l交于一点,记为点C, 连接BC,∵CA＝CB,∴AP＝CA＋CP＝CB＋ CP＞PB,即PA＞PB． １９．证明:令x＋１＝t,则x＝t－１,３x２－４x＋７＝ ３(t－１)２－４(t－１)＋７＝３t２ －１０t＋１４＝ ３(x＋１)２－１０(x＋１)＋１４, ∴a＝３,b＝－１０,c＝１４． 则c－a＋b＝１４－３－１０＝１． ２０．证明:(１)∵∠C＝９０°,AC＝BC,点P 是AB 的 中点,∴∠A＝∠B＝４５°,AP＝PB, ∵PD⊥AC,PD⊥PE, ∴∠ADP＝∠PEB＝９０°, 在△ADP 和△BEP 中, ∠A＝∠B, ∠ADP＝∠BEP, AP＝BP, ì î í ïï ï ∴△ADP≌△BEP, ∴PD＝PE． (２)当PD 与AC 不垂直时PD＝PE依然成立． 证明:连接PC, ∵△ABC是等腰直角三角形,点P 是AB 的中 点, ∴CP＝PB,CP⊥AB,∠ACP＝ １２ ∠ACB＝ ４５°,即∠ACP＝∠B＝４５°, ∵∠DPC＋∠CPE＝∠BPE＋∠CPE＝９０°, ∴∠DPC＝∠BPE, 在△PCD 和△PBE中, ∠DCP＝∠B, PC＝PB, ∠DPC＝∠BPE, ì î í ïï ï ∴△PCD≌△PBE, ∴PD＝PE． (３)有如下三种情况: ①当PE＝PB,即点C与点E 重合时,CE＝０; ②当PE＝BE时,CE＝１, ③当BE＝PB时,CE＝２－ ２． 八年级训练题(六) 一、选择题 １．C　提示:边数为９＋３＝１２,内角和为 １２－２( ) × １８０°＝１８００°． ２．B　提示:原式＝ －８×１８( ) ２０１５ ＝－１． ３．C　提示:原式＝(１＋x＋x２)＋x３(１＋x＋x２)＋ 􀆺＋x２０１２(１＋x＋x２)＝０＋０＋􀆺＋０＝０． ４．C　提示:过点C 作CE∥b,∵a∥b,∴a∥b∥ CE,∴ ∠ACE ＝ ∠２,∠BCE ＝ ∠１＝２０°,∵ △ABC为等边三角形,∴∠ACB＝６０°,∴∠１＋ ∠２＝∠ACB＝６０°,∠２＝４０°． NEWHOPECUP １２４　 ５．A　提示:选择一个正方形涂黑,使得３个涂黑 的正方形组成轴对称图形,选择的位置有如图的 ７个位置． ６．A　提示:设a＋ba－b＝ q p (p、q为整数,p≠０,p≠ q),则(a＋b)p＝(a－b)q,(p＋q)b＝(q－p)a,∴ a b ＝ p＋q q－p ,∵p＋q、q－p均为整数,且p≠q,所 以a b 为有理数． ７．A　提示:不妨设x＜y,则y＝x＋１,∴s２＝(x２ ＋x＋１)２,∵x２＋x＋１＝x(x＋１)＋１为奇数,∴ s为奇数． ８．A　提示:在等边△ABC中,AB＝AC．∵点P、Q 的速度都为１cm/s,∴AP＝PQ,∴BP＝CQ．只 有当CM＝CQ时,BP＝CM．故 A选项错误． 二、填空题 ９．(x－１)(x＋２)(x２＋x＋５)　提示:x２＋x＝t,原 式＝(t＋１)(t＋２)－１２＝t２＋３t－１０＝(t－２)(t ＋５)＝(x２＋x－２)(x２＋x＋５)＝(x－１)(x＋２) (x２＋x＋５)． １０．x＝２３　 提 示:x－２０３ －１( ) ＋ x－１８ ５ －１( ) ＋ x－１６ ７ －１( ) ＋ x－１４ ９ －１( ) ＋ x－１２ １１ －１( ) ＝ ０,x－２３３ ＋ x－２３ ５ ＋ x－２３ ７ ＋ x－２３ ９ ＋ x－２３ １１ ＝ ０, １３＋ １ ５＋ １ ７＋ １ ９＋ １ １１( ) x－２３( ) ＝０,因为 １ ３＋ １ ５＋ １ ７＋ １ ９＋ １ １１≠０ ,故x＝２３． １１．－１２　提示:(x＋my)(x＋ny)＝x２＋(m＋n) xy＋mny２＝x２＋２xy－６y２,∴m＋n＝２,mn＝ －６,∴(m＋n)mn＝－１２． １２．３６°　提示:设∠A＝x,则∠C＝１８０°－x２ ,由折 叠的性质可知∠BC′D＝∠C＝１８０°－x２ ,∵等腰 △AC′D 只 可 能 以 AD 为 底 边,∴ ∠ADC′＝ ∠A＝x,∴１８０°－x２ ＝２x＝２x ,解得x＝３６°,即 ∠A＝３６°． １３．１２０°　提示:分别过点 A 作AM ∥EF,过点C 作CP∥AB,过点E 作EN∥AF,它们分别交 于点 N、M、P,得平行四边形 ABCM、CDEP、 EFAN,那么AB＝CM,BC＝AM,CD＝PE,DE ＝CP,EF＝AN,AF＝NE,由条件得△NMP 为等边三角形,可以推出六边形各角都为１２０°, 因此∠B＝１２０°． １４．DE∥AB;DE＝１２ AB＋AC ( ) 　提示:如图,延 长BA 到点F,使AF＝AC,连接DF． 在△ADC 和 △ADF 中,AC＝AF,∠CAD＝ ∠FAD,AD ＝AD,∴ △ADC ≌ △ADF,∴ ∠ADC＝∠ADF,CD＝DF,又CD⊥AD,从而 点C、D、F 共线,且点 D 是CF 的中点,DE 是 △BCF 的 中 位 线,故 DE ∥BF,且 DE ＝ １ ２ AB＋AF ( ) ＝１２ AB＋AC ( ) ． １５．１２０°　 提示:∵ △ACE 和 △BCF 是等边三角 形,∴ ∠ACE＝ ∠FCB＝ ∠CBF＝ ∠CFB＝ ６０°,CE＝AC,CF＝CB,∴∠ACF＝∠ECB＝ ! " # $! １２５　 ６０°＋∠ACB．在△CEB与△CAF中, CE＝CA, ∠ECB＝∠ACF, CB＝CF, { ∴△CEB≌△CAF, ∴∠CFA＝∠CBE, ∴∠１＝∠AFB＋∠FBE＝∠AFB＋∠CBF＋ ∠CBE＝∠AFB＋∠CBF＋∠AFC＝∠CBF＋ ∠CFB＝６０°＋６０°＝１２０°． １６．４０３０４０２７　提示:设２０１５２０１３＝b,则a＝b(b＋ ２)３－(b＋１)(b－１)３＝８b３＋１２b２＋６b＋１＝(２b ＋１)３＝(２×２０１５２０１３＋１)３＝４０３０４０２７３,∴３a ＝４０３０４０２７． 三、解答题 １７．解:ma＋２b􀅰m２a＋b＝m３ a＋b( ) ＝９×３＝２７,∴ma＋b ＝ ３２７＝３． １８．解:原式＝x＋３x＋２× x＋２( ) x－２( ) x＋３( )２ ＝ x－２ x＋３ ,∵x 不能 取 ２,－２,３,∴x＝１,∴ 原 式 ＝１－２１＋３＝ －１４． １９．解:根据点M 在直线BC 上的位置不同,分两种 情况讨论: (１)如 图 １,延 长 BA 到 点C１,使 ∠AMC１ ＝ ∠AMC,延长DA 交MC１的延长线于点E． ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD＝∠DAC＝∠EAC１, ∵∠DAM＝∠EAM＝９０°,所以∠CAM＝９０°－ ∠DAC,∠C１AM＝９０°－∠EAC１, ∴∠CAM＝∠C１AM,又AM 为公共边, ∴△ACM≌△AC１M,∴AC＝AC１, ∴BM＝AB＋AC＝AB＋AC１＝BC１, ∴∠AC１M＝∠BMC１, ∴∠B＝１８０°－２∠AC１M＝１８０°－２∠ACM＝ １８０°－２ ∠B＋３０°( ) ,解得∠B＝４０°, 从而∠ACB＝１８０°－３０°－４０°＝１１０°． 图１ (２)如 图 ２,延 长 BA 到 点C２,使 ∠AMC２ ＝ ∠AMC,延长DA 交MC２于点E． ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD＝∠DAC＝∠EAC２, ∵∠DAM＝ ∠EAM＝９０°,∴ ∠CAM＝９０°＋ ∠DAC,∠C２AM＝９０°＋∠EAC２, ∴∠CAM＝∠C２AM,又AM 为公共边, ∴△ACM≌△AC２M, ∴AC＝AC２,∠ACM＝∠AC２M, ∴BM＝AB＋AC＝AB＋AC２＝BC２, ∴∠AC２M＝∠BMC２＝∠ACM, ∵∠AC２M＋∠BMC２＋∠C２BM＝１８０°, ∠C２BM＝∠ACM＋∠BAC, ∴∠AC２M ＋ ∠BMC２ ＋ ∠ACM ＋ ∠BAC＝ １８０°, ∴３∠ACM＋∠BAC＝１８０°, ∴∠ACM＝５０°,即∠ACB＝５０°, ∴∠ABC＝１８０°－３０°－５０°＝１００°． 图２ ２０．解:仔细观察,发现已知角的度数都是１２°的倍 数,这使我们想到构造６０°角,从而利用正三角 形．在四边形ABCD 外取一点P,使得∠PAD ＝１２°且AP＝AC,连接PB、PD． 在 △ADP 和 △ADC 中,∠PAD＝ ∠CAD＝ １２°,AP ＝AC,AD 为 公 共 边,故 △ADP ≌ NEWHOPECUP １２６　 △ADC．从而 ∠APD＝ ∠ACD．在 △ABC 中, ∠CAB＝３６°,∠ABC＝７２°,故∠ACB＝７２°,AC ＝AB,从 而 AP＝AB,而 ∠PAB＝ ∠PAD＋ ∠DAC＋ ∠CAB＝１２°＋１２°＋３６°＝６０°,故 △PAB是正三角形,∠APB＝６０°,PA＝PB．在 △DAB中,∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝１２°＋ ３６°＝４８°＝∠DBA,故 DA＝DB．在△PDA 和 △PDB中,PA＝PB,PD＝PD,DA＝DB,故 △PDA≌ △PDB,从 而 ∠APD ＝ ∠BPD ＝ １ ２∠APB＝３０° ,则∠ACD＝３０°． 八年级训练题(七) 一、选择题 １．D　提示:３６０°÷３６°＝１０(条)． ２．D　提示:x－２０１５９１ ＋ x－１ ２０１４－１( ) ＋ ３－x ２０１２＋１( ) ＝０, x－２０１５ ９１ ＋ x－２０１５ ２０１４ ＋ ２０１５－x ２０１２ ＝０ , x－２０１５( ) １９１＋ １ ２０１４＋ １ ２０１２( ) ＝０, 显然１ ９１＋ １ ２０１４＋ １ ２０１２≠０ , 故x－２０１５＝０,x＝２０１５． ３．B　提示:将(x－１)(x＋３)(x－４)(x－８)＋m 中 的(x－１)与(x－４)相乘,(x＋３)(x－８)相乘, 得:(x－１)(x＋３)(x－４)(x－８)＋m＝(x２－５x ＋４)(x２－５x－２４)＋m＝(x２－５x)２－２０(x２－ ５x)－９６＋m．显然,－９６＋m＝１００,则m＝１９６． ４．B　提示:根据幂的性质可知:２５５＝(２５)１１,３４４＝ (３４)１１,５３３＝(５３)１１,６２２＝(６２)１１．根据幂的定义 可知,a１１表示１１个a相乘,故只要比较出２５, ３４,５２,６２的大小即可,２５＝３２,３４＝８１,５３＝１２５, ６２＝３６,故２５５＜６２２＜３４４＜５３３． ５．C　提示:最大的角为２α,设第三个角为β,则α≤ β＝１８０°－３α≤２α,解得３６°≤α≤４５°． ６．B ７．C　提示:∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形, ∴AC＝BC,CD＝CE,∠ACB＝∠ECD＝６０°,∴ ∠BCE＝∠ACD,∴△BCE≌△ACD,∴∠CBE ＝∠CAD,BE＝AD．又点F 与点G 分别是线段 BE 和 AD 的 中 点,∴BF＝AG．∴ △BCF≌ △ACG,∴CF＝CG,∠BCF＝∠ACG,∴∠FCG ＝∠ACB＝６０°．∴△CFG是等边三角形． ８．A　提示:将BE、CE 分别平移到FG、FD,则四 边形EFDC为平行四边形,作FH⊥BC于点H． ∵AB＞AC,且点F、E 分别为AB、AC 的中点, ∴FB＞CE．∴FB＞FD,由勾股定理得 HB＞ HD．又∵GH＝GB＋BH＝EF＋BH＝DC＋BH ＞CD＋DH＝CH,即GH＞CH,∴GF＞CF,即 BE＞CF． 二、填空题 ９．４　提示:∵a＋b＝２,∴a２－b２＋４b＝(a＋b)(a－ b)＋４b＝２(a－b)＋４b＝２(a＋b)＝２×２＝４． １０．３　提示:∵∠ACB＝９０°,∴∠ECF＋∠BCD＝ ９０°,∵CD ⊥AB,∴ ∠BCD ＋ ∠B＝９０°,∴ ∠ECF ＝ ∠B,在 △FCE 和 △ABC 中, ∠ECF＝∠B, EC＝BC, ∠ACB＝∠FEC＝９０°． { ∴△FCE≌△ABC,∴ AC＝EF,∵AE＝AC－CE,BC＝２cm,EF＝ ５cm,∴AE＝５－２＝３(cm)． １１．± ２　提示:由根式的性质得 ３a－２≥０, ２－３a≥０．{ ∴３a －２＝０,a＝ ２３ ,∴b＝２,∴ １a ＋ １ b 的平方根是 ± ２． １２．１　提示:x＝２０１２×２０１３２０１４×２０１５ ,y＝２０１３×２０１４２０１３×２０１４ ,z＝ ２０１４×２０１５ ２０１２×２０１３ ,所以xyz＝１． １３． ３a＋２b　 提示:∵|a|＝－a,∴a≤０,又∵b＜０, ∴２a＋４b＜０,∴ ２a＋４b ＝－２a＋２b( ) , ∴ ２a＋４ba＋２b( )２ ＝ －２a＋２b( ) a＋２b( )２ ＝ －２ a＋２b ,又∵２＋２b ＜０,∴－ ４a＋２b ＝－ ４ － a＋２b( ) ＝ ４ a＋２b ,又 ∵２a－３＜０,∴ － ２４b＋３－ ２a－３ ＝ － ２４b＋３＋ ２a－３( ) ＝－ ２ ２a＋４b ＝ ２ ２a＋４b ＝ １a＋２b ,∴原式＝－ ２２a＋４b＋ ４ a＋２b＋ １ a＋２b＝