2.2.2 直线的方程（第2课时 直线的两点式方程与一般式方程）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.2.2　直线的方程 第2课时　直线的两点式方程与一般式方程 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.能用方向向量推导出直线的两点式方程; 2.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的内在联系; 3.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的适用范围; 4.能用合适的方程形式求直线的方程,并能进行方程形式上的转化. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 直线的两点式方程 可转化为点斜式 直线 的两 点式 方程 已知条件 图示 方程形式 适用条件 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2   斜率存在 且不为0 名师点睛 1.若直线l过点(0,b),(a,0),且a≠0,b≠0,则直线l的方程可利用两点式方程得出并化简为 =1的形式,这一方程形式通常称为直线的截距式方程,其中a是直线在x轴上的截距,b是直线在y轴上的截距. 3.当直线不过原点且在两坐标轴上的截距相等时,直线的斜率k=-1,故常设直线方程为x+y=a(a≠0). 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)直线的两点式方程适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.(　　) (2)过原点的直线不适用两点式方程.(　　) √ × 2.在x轴、y轴上的截距分别为-3,4的直线方程为(　　) 3.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为　　　　　　　　.  A 5x-y-13=0 知识点2 直线的一般式方程 所有的直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式,其中A,B,C都是实常数,而且A与B不同时为零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般称为直线的一般式方程. 求直线方程时,最后一般将直线方程化为一般式方程 名师点睛 1.直线的一般式方程与点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程的方程形式及局限. 类型 方程形式 局限 点斜式方程 y-y0=k(x-x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式方程 y=kx+b 不能表示斜率不存在的直线 两点式方程 不能表示斜率不存在或斜率为0的直线 截距式方程 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式方程 Ax+By+C=0 无 2.直线的一般式方程与点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程的关系 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.(　　) (2)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线.(　　) (3)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示一条直线.(　　) × × × 2.在平面直角坐标系中,直线x+ y-3=0的倾斜角是(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 3.在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,当A=0或B=0时方程分别表示怎样的直线? C 解析 直线斜率k= ,所以倾斜角为150°,故选C. 解 在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,若B=0,则x=- ,它表示一条与y轴平行或重合的直线,此时直线的斜率不存在;若A=0,则y=- ,它表示一条与x轴平行或重合的直线,此时直线的斜率为0. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　直线的两点式方程 【例1】 [人教A版教材例题]已知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求边BC所在直线的方程,以及这条边上的中线AM所在直线的方程. 规律方法　1.当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴.若满足,则考虑用两点式方程求直线方程. 2.由于减法的顺序性,一般用两点式方程求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即x2与y2是同一点坐标,而x1与y1是另一点坐标. 变式训练1(多选题)下列说法正确的是(　　) C.直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为b D.过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程为(x-x2)(y1-y2)-(y-y2)(x1-x2)=0 AD 解析 =k表示过点M(x1,y1)且斜率为k的直线去掉点(x1,y1),故A正确; 在x轴、y轴上的截距分别为a,b,只有ab≠0时,直线方程为 =1,故B错误; 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0,b),交点到原点的距离为|b|,故C错误; 当x1≠x2时,直线方程为y-y2= (x-x2), 当x1=x2时,直线方程为x=x2,也适合方程(x-x2)(y1-y2)-(y-y2)(x1-x2)=0,故D正确.故选AD. 探究点二　直线的截距式方程 【例2】 已知直线l过点(1,2). (1)当直线l在两坐标轴上的截距相等时,求直线l的方程; (2)若直线l交x轴正半轴、y轴正半轴分别于A,B两点,求△AOB面积的最小值. 解 (1)当直线的截距为0时,则y=2x. 故直线l的方程为y=2x或x+y-3=0. 规律方法　对直线的截距式方程应注意以下几点: (1)在方程 =1中,要求a≠0,b≠0,即直线在x轴,y轴上的截距都不为0,因此它不能表示过坐标原点或平行于x轴,y轴的直线. (2)当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时,若选用截距式方程来求解,注意截距都为0,即直线过原点这种情况. 变式训练2过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 　　　　　条.  3 解析 一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不为0),共3条. 探究点三　直线的一般式方程 角度1.求直线的一般式方程 【例3】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率是 ,且经过点A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1; (5)经过点B(4,2),且平行于x轴. (2)由斜截式方程,得直线方程为y=4x-2, 即4x-y-2=0. (5)y-2=0. 规律方法　1.在求直线方程时,直线设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后可以转化为一般式方程. 2.当直线方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的系数A,B,C满足下列条件时,直线Ax+By+C=0有如下性质: (1)当A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交; (2)当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直; (3)当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直; (4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合; (5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合. 变式训练3(1)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式方程. ①斜率是- ,且经过点A(8,-6)的直线方程为　　　　　　　　;  ②在x轴和y轴上的截距分别是 和-3的直线方程为　　　　　　　　;  ③经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为　　　　　　　　.  x+2y+4=0 2x-y-3=0 x+y-1=0 (2)直线l:3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线l'的方程为(　　) A.4x-3y+5=0 B.4x-3y-5=0 C.3x+4y-5=0 D.3x+4y+5=0 A 解析 在直线l'上任取一点(x,y),此点关于直线x+y=0的对称点(-y,-x)在直线l:3x-4y+5=0上, ∴3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0,故选A. 角度2.直线的一般式方程的应用 【例4】 设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0. (1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值; (2)已知直线l的斜率为1,求m的值. 变式探究对于本例中的直线l的方程,若直线l与y轴平行,求m的值. 解 ∵直线l与y轴平行, 规律方法　1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为零. 2.令x=0可得在y轴上的截距,令y=0可得在x轴上的截距,若确定直线的斜率存在,可将一般式方程化为斜截式方程. 3.解分式方程要注意验根. 变式训练4若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足(　　) A.m≠0 C 解析 因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,所以m≠1. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.[探究点一]过点(1,2)和(5,3)的直线方程是(　　) B 解析 ∵所求直线过点(1,2),(5,3), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点二]直线 =1过第一、三、四象限,则(　　) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.[探究点二](多选题)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为( 　　) A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 C.2x-y=0 D.x-y-1=0 ABC 解析 当直线经过原点时,斜率为k= =2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0; 当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k, 求得k=-1或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0 或x+y-3=0. 综上,所求的直线方程为2x-y=0或x-y+1=0或x+y-3=0.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点二、三](多选题)下列说法正确的是(　　) A.截距相等的直线都可以用方程 =1表示 B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线 C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 BD 解析 对于A,截距相等为0的直线都不可以用方程 =1表示,故A错误; 对于B,当m=0时,方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线x=2,故B正确; 对于C,经过点P(1,1),倾斜角为θ=90°的直线方程不能写成y-1=tan θ(x-1),故C错误; 对于D,经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线均可写成(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1) =0,故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点一]瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为 　 .  3x-4y=0 解析 由题设知,△ABC是直角三角形,则垂心为直角顶点A(0,0),外心为斜边BC的中点M(4,3), ∴“欧拉线”的方程为3x-4y=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点二]过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　　　　.  2x-y=0或x-y+1=0 解析 当直线过原点时,得直线方程为2x-y=0,当在坐标轴上的截距不为零时,可设直线方程为 =1,将x=1,y=2代入方程可得a=-1, ∴直线方程为x-y+1=0. 综上,直线方程为2x-y=0或x-y+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点四·人教A版教材习题]求直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的系数A,B,C分别满足什么关系时,这条直线有以下性质: (1)与两条坐标轴都相交; (2)只与x轴相交; (3)只与y轴相交; (4)是x轴所在的直线; (5)是y轴所在的直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 (1)直线Ax+By+C=0与x轴相交,即方程组 有唯一解,于是A≠0. 同理,直线Ax+By+C=0与y轴相交时有B≠0. 所以,当A≠0,且B≠0时,已知直线与两条坐标轴都相交. (2)已知直线只与x轴相交,即直线平行于y轴或与y轴重合, 所以A≠0,B=0,此时直线方程为x=- ,只与x轴相交. (4)当A=0,B≠0,C=0时,已知直线为y=0,就是x轴所在直线的方程. (5)当A≠0,B=0,C=0时,已知直线为x=0,就是y轴所在直线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. [探究点一、二]已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0). (1)求边AC和AB所在直线的方程; (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程. (2)由题意,得点D的坐标为(-4,2), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 9.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 解析 因为AB<0,所以直线Ax+By+C=0的斜率- >0. 又因为BC<0,所以直线在y轴上的截距- >0, 所以直线Ax+By+C=0不经过第四象限.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.过点(-1,0),且与直线 有相同方向向量的直线的方程为(　　) A.3x+5y-3=0 B.3x+5y+3=0 C.3x+5y-1=0 D.5x-3y+5=0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是(　　) A.2x+y-1=0 B.2x+y+1=0 C.2x-y+1=0 D.x+2y+1=0 B 解析 把A(2,1)坐标代入两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0, ∴2(a1-a2)=b2-b1, ∴y-b1=-2(x-a1),则2x+y-(2a1+b1)=0. ∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=-1,∴所求直线方程为2x+y+1=0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是(　　) A.直线l的斜率可以等于0 C.直线l恒过点(2,1) D.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则m=1或m=-1 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为18,则直线l的方程为　 .  x+y±6=0或x-y±6=0 解析 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等,且设为a(a≠0), ∴直线方程为x+y±6=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若l在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为-a(a≠0), ∴a=±6,∴直线方程为x-y±6=0. 综上所述,直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,则顶点C的坐标为　　　　　,直线MN的方程为　 .  (-5,-3) 5x-2y-5=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=-1时,y=-3,不符合题意. 解得a=2或a=0, ∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2, ∴a≤-1,∴a的取值范围为(-∞,-1]. 2.若直线l的方程为=1,则 (1)直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|+|b|+; (2)直线与坐标轴围成的三角形的面积为S=|ab|. A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析 由,整理得5x-y-13=0. - 解 如图,过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为,整理得5x+3y-6=0.这就是边BC所在直线的方程. 边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段, 由中点坐标公式,可得点M的坐标为(),即(,-). 过A(-5,0),M(,-)两点的直线方程为,整理可得x+13y+5=0. A.=k不能表示过点M(x1,y1)且斜率为k的直线方程 B.在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线方程为=1 当截距不为0时,设直线l的方程为=1, 把点(1,2)代入可得=1,解得a=3, (2)设直线l的方程为=1(a>0,b>0),把点P代入可得=1,则1=≥2,即ab≥8,当,即a=2,b=4时取“=”,故S△AOB=ab≥×8=4,所以△AOB面积的最小值为4. 解 (1)由点斜式方程,得直线方程为y-3=(x-5),即x-y-5+3=0. (3)由两点式方程,得直线方程为,即2x+y-3=0. (4)由截距式方程,得直线方程为=1,即x+3y+3=0. 解 (1)由题意知m2-2m-3≠0,即m≠3且m≠-1.令y=0,则x=, ∴=-3,得m=-或m=3(舍去), ∴m=-. (2)由题意知,2m2+m-1≠0,即m≠且m≠-1. 由直线l化为斜截式方程,得y=x+,得=1,得m=-2或m=-1(舍去), ∴m=-2. ∴∴m=. B.m≠- C.m≠1 D.m≠1,m≠-,m≠0 A. B. C. D. ∴所求直线方程为. (3)同理,当A=0,B≠0时,已知直线为y=-,只与y轴相交. 解 (1)由截距式方程,得边AC所在直线的方程为=1,即x-2y+8=0. 由两点式方程,得边AB所在直线的方程为,即x+y-4=0. 由两点式方程,得边BD所在直线的方程为,即2x-y+10=0. 解析 由可得,3x+5y+8=0,即直线的斜率为-,由题意可知所求直线的斜率k=-,故所求的直线方程为y=-(x+1),即3x+5y+3=0.故选B. 过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线的方程是, B.若直线l与y轴的夹角为30°,则m=或m=- 则直线方程为=1,即x+y-a=0. ∵|a||a|=18,即a2=36,∴a=±6, 故直线方程为=1,即x-y-a=0. ∵|-a||a|=18,即a2=36, 解析 设点C(x,y). ∵AC边的中点M在y轴上,∴=0,∴x=-5. 又BC边的中点N在x轴上,∴=0,∴y=-3, 故点C的坐标是(-5,-3), 点M的坐标是(0,-),点N的坐标是(1,0), ∴直线MN的方程是,即5x-2y-5=0. 当a≠-1时,令x=0,得y=a-2;令y=0,得x=. ∵l在两坐标轴上的截距相等,∴a-2=, ∵l不过第二象限,∴ $$