2.3.2 两点之间的距离公式 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.2两点之间的距离公式 2024.8 教学目标： 教学重点： 教学难点： 两点间距离公式． 1.掌握平面上两点间的距离公式； 2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题； 用坐标法解决平面几何问题． 情境导入 　　在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上的某 处建一个公交站点，以方便居住在这两个小区的住户出行. 　（1）如何确定这两个小区的距离？ （2）如何选址能使公交站点到两 个小区的距离之和最小？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 知识点　两点间的距离公式 设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2两点间的距离公式： O x y P1(x1，y1) P2(x2，y2) 法一： 法二：构造直角三角形 根据勾股定理也可得 |P1P2|＝ O x y P O x y P1(x1，y1) P2(x2，y2) O x y P1(x1，y1) P2(x2，y2) 检测：1.（2024·许昌质检）已知 A （1，2）， B （ a ，6），且｜ AB ｜＝5则 a ＝ ⁠. |AB |＝ 解得 a ＝4或－2. 2.已知点A，B是直线x＋2y－1＝0与坐标轴的交点，则|AB|＝(　　) |AB| 求直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于 的点的坐标 解：设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0， 所求点的坐标为(－3，4)，(－1，2) 题型一 两点间的距离公式 例1（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过A(m,2),B(-m,m-1),两点的直线的倾斜角是45º,则A,B两点间的距离为( ) 所以A(1,2),B(-1,0) |AB| 在已知直线2 x － y ＝0上存在一点 P ，使它到点 M （5，8）的距离为5，则直线 PM 的方程为 ___________ ∵点 P 在直线2 x － y ＝0上，∴可设 P 点坐标为（ a ，2 a ）， ∴直线 PM 的方程为 即4 x －3 y ＋4＝0或24 x －7 y －64＝0. 练习：（2024·烟台月考）直线 y ＝ x 上的两点 P ， Q 的横坐标分别是1，5，则｜ PQ ｜＝( ) 由题意得 P （1，1）， Q （5，5）， ∴｜ PQ ｜＝ 题型二 两点间距离公式的应用 例1（2024·福州月考）已知△ ABC 的三个顶点坐标分别是 A （1，－1）， B （－1，3）， C （3，0）. 判断△ ABC 的形状； 所以｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝｜ BC ｜2，即△ ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形. 因为｜ AB ｜＝ ｜ AC ｜＝ ｜ BC ｜＝ 练习：1.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则|PA|2＋|PB|2＝(　　) 直线x＋my－m＝0过定点A(0，1)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)， 且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0， 故两直线垂直， 故|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝12＋22＝5. 2.已知直线l过点(1，0)，与直线l1：3x＋y－6＝0和l2：3x＋y＋3＝0分别交于A，B两点，且|AB|＝9.求直线l的方程． 当直线l斜率不存在时，方程为l：x＝1，即x－1＝0，与两直线交点分别是(1，3)，(1，－6)，距离为9，符合题意； 当直线l斜率存在时，方程可设为l：y＝k(x－1)，k≠－3， 与直线3x＋y－6＝0联立，得交点 与直线3x＋y＋3＝0联立，得交点 ＝9， 4x＋3y－4＝0， 题型三 坐标法的应用 例3　在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，求证：｜ AB ｜2＋ ｜AC ｜2＝2（｜ AD ｜2＋｜ DC ｜2）. 设 BC 所在边为 x 轴，以 D 为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设 A （ b ， c ）， C （ a ，0），则 B （－ a ，0）， O x y A B C (D) 因为｜ AB ｜2＝（ a ＋ b ）2＋ c2，｜ AC ｜2＝（ a － b ）2＋ c2， ｜ AD ｜2＝ b2＋ c2，｜ DC ｜2＝ a2，所以｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝2（ a2＋ b2＋ c2）， ｜ AD ｜2＋｜ DC ｜2＝ b2＋ c2＋ a2， 所以｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝2（｜ AD ｜2＋｜ DC ｜2）. 用坐标法（解析法）解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系. [注意]　建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算　 练习：（2024·常州月考）已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|. o x y (A) C D B 证明：如图所示，建立平面直角坐标系． 设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c) 所以|AC|＝ |BD|＝ 故|AC|＝|BD|. 在△ ABC 中， D 是 BC 边上的任意一点（ D 与 B ， C 不重合）， 且｜ AB ｜2＝｜ AD ｜2＋｜ BD ｜｜ DC ｜.求证：△ ABC 为等腰三角形. 作 AO ⊥ BC ，垂足为 O ，以 BC 所在的直线为 x 轴， OA 所在的直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. O x y A B C D 设 A (0， h )， B (b ，0)， C ( c ，0)， D ( d ，0) 因为｜ AB ｜2＝｜ AD ｜2＋｜ BD ｜｜ DC ｜， 得 b2＋ h2＝ d2＋ h2＋（ d － b ）·（ c － d ）， 整理得－（ d － b ）（ b ＋ d ）＝（ d － b ）（ c － d ）. 因为点 D 与点 B ， C 不重合，所以 d － b ≠0， 所以－ b － d ＝ c － d ，即－ b ＝ c . 即△ ABC 为等腰三角形. 课后练习 1．已知直角坐标平面上端点为(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，则点M到原点的距离为(　　) 设M(x，y)，由题意得 则点M到原点的距离为 2．在△ABC中，设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，利用 二次函数知识可确定到△ABC的3个顶点距离的平方和最小的 点为△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 设点P(x，y)，其中x，y∈R， 则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x－xA)2＋(y－yA)2＋(x－xB)2＋(y－yB)2＋(x－xC)2＋(y－yC)2 ＝3x2－2(xA＋xB＋xC)x＋ ＋3y2－2(yA＋yB＋yC)y＋ |PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最小值， 此时点P(x，y)为△ABC重心． 3.已知点P是直线l：x－y＋1＝0上的一动点，则P到两点A(－1，1)，B(2，0)的距离之和最小值为________． 画出直线l及点A，B，发现A，B两点在直线l的两侧， O x y A B P l 则点P为线段AB与直线l的交点时，点P到A，B两点的距离之和最小， 且最小值为A，B两点间距离|AB| $$