4.1 成比例线段 讲义（知识梳理+例题巩固+强化训练）2024-2025学年北师大版数学九年级上册

§4.1 成比例线段 讲义（知识梳理+例题巩固+强化训练） 2024-2025学年北师大版 知识模块1 知识回顾 1、比例的定义： 2、比例相等的式子： 知识点1：线段的比和成比例线段 ★ 在同一单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比； ★在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 知识点2：比例尺 在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比值称为比例尺。 【注意】：比例尺实际上是两条线段的比，表示一个比例尺时顺序不能颠倒，必须是图上距离与实际距离的比，另外，在求比例尺时，图上长度与实际长度的单位必须统一，这时容易出错的地方。 1　 两条线段的比没有单位；在求两条线段的比时，要注意单位统一； 2　 四条线段成比例时，要将这四条线段按一定的顺序列出。 【典型例题1】 1.等边三角形三边之比是 ；直角三角形斜边上的中线和斜边的比是 。 【典型例题2】 2.下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【典型例题3】 3.已知是成比例的四条线段，其中，求线段的长度，若条件改为是成比例的四条线段，其他条件不变，线段的长度是否改变。 【典型例题4】 4.在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是 m． 1.若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 2.下列四条线段中，能与，，这三条线段组成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 3.在比例尺为的交通地图上，宝应到扬州的长度约为cm，则它的实际长度约为（    ） A．km B．km C．km D．km 4.下列各组线段中，成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5.在比例尺为1：40000的工程示意图上，南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（） A．0.2172km B．2.172km C．21.72km D．217.2km 6.某旅游风景区中两个景点之间的距离为75米，在一张比例尺为1：2 000的导游图上，它们之间的距离大约相当于 ( )[来源:学_科_网] A．一根火柴的长度 B．一枝钢笔的长度 C．一枝铅笔的长度 D．一根筷子的长度 7.小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 8.已知线段，，则 ． 知识模块2 知识点3：比例的基本性质 · 比例的基本性质：如果，那么；反过来，如果，那么。 · 在比例式中，如果，那么。我们把叫做的比例中项。 · 比例还有如下重要的性质： （1） （2） 【注意】：（1）式子或叫比例式，叫比例的项，叫做比例的内项；叫做比例的外项； 【典型例题1】[来源:学§ 1.若，则= 【典型例题2】 2.若，且，则的值是（　　） A．4 B．2 C．20 D．14 【典型例题3】 3.已知，则的值为（    ） A． B． C． D．19 【典型例题4】 4. 1.若，则 ． 2.已知线段， 当时，则的比例中项等于（     ） A． B． C． D． 3.对于二次函数 y =－(x＋1)2－3 ，下列结论正确的是 A．函数图像的顶点坐标是(－1，－3)　B．当 x >－1时，y随x的增大而增大 C．当x =－1时，y有最小值为－3 D．图像的对称轴是直线x = 1 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 5. 若，则 6.如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 7.已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 8.已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 知识模块3 知识点4：黄金分割 如图所示。点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC（或BC与AB）的比值称为黄金比。在计算中，通常取它的近似值0.618。 1　 由黄金分割知道：AB2=AC·BC，即AB为AC，BC的比例中项； 2　 一条线段有两个黄金分割点。 知识点5：黄金三角形 顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形，如在中，∠A=36，AB=AC,它具有如下的性质： ; 设BD是∠ABC底角的平分线，则也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点； 如果再作∠C的平分线，交BD于点E，则也是黄金三角形，如此连续下去，可得到一串黄金三角形。 【典型例题1】 1.若线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？（结果精确到0.01cm） 【典型例题2】 2.如图所示，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB的长为30m，试计算主持人应走到离点A至少多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1） 【典型例题3】 3.如图所示，是黄金三角形，一腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交另一腰AC于点D,连接BD。图中的黄金三角形是 。除外。 1.在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（精确到0.01．参考数据：，，） A. B． C． D． 2.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x） C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对 3.如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 4.如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 5.20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 6.“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离的比值约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 m． 7.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），这种分割称为黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．如图，若设线段，点是的黄金分割点，则的长为 （用含根号的式子表示）． 8.人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$