4.1 成比例线段 课后练习 （对点练习+拓展练习+2024中考直击）2024-2025学年北师大版九年级数学 上册

§4.1 成比例线段 课后练习 （对点练习+拓展练习+2024中考直击） 知识模块 题型1：成比例线段和比例尺 题型2：比例的基本性质 题型3：黄金分割 题型4：成比例线段拓展与探究 题型5：2024中考直击真题 题型一 1.在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 2.已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3.如图，一长方体砖块的两个面的面积比是，若将两个面分别向下放在水平地面上，则地面受到的压强之比是 ． 4.已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（　　） A．6 B．4 C．8 D．10 5.在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为2厘米，则，两地间的实际距离是千米（   ） A． B．3 C．30 D．300 6.一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 7.（如图），根据下面的实验，请你求出这根旗杆的高度．    8.已知线段a、b满足，且． （1）求线段a、b的长； （2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 题型二 1.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2.若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 3.如果，且是和的比例中项，那么等于（ ） A． B． C． D． 4.已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 5.已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 6.已知：，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 7.如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 8.已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由． 题型二 1.射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 2.宽与长的比是黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形是黄金矩形，若长 则该矩形的面积为 ．(结果保留根号) 3.已知点P是线段的黄金分割点，如果，那么线段 ． 4.点是线段上的一点，如果，，那么 ． 5.已知点是线段的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段的长． 6.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），这种分割称为黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．如图，若设线段，点是的黄金分割点，则的长为 （用含根号的式子表示）． 7.如果矩形满足，那么矩形叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形是黄金矩形，对角线，相交于且，则关于黄金矩形，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．矩形的周长 8.如图1，点在线段上的黄金分割点，且. （1）设， ①求的长； 填空：设，则 点在线段上的黄金分割点，且， 　　，可列方程为　　， 解得方程的根为　　，于是，的长为　　. ②在线段（如图上利用三角板和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若、为正实数，是关于的方程的一正实数根， ①求证：； ②若两条线段的长分别为、（如图，请画出一条长为的线段（保留作图痕迹，不写作法）. 题型三 1.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 2.【探究与证明】 【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形； (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由． 2024中考真题直击 1.（2024•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　） A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D． 2.（2024•金昌）若，则ab＝（　　） A．6 B． C．1 D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$