第二十三章 旋转（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第二十三章 旋转（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知点P关于x轴的对称点是P1， 点P1关于原点O的对称点是P2， 点P2的坐标为（3，4），则点P的坐标是（　　） A．(3,4) B．(-3,4) C．(3,-4) D．(-3,-4) 3．（本题3分）如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在中，,将绕点逆时针旋转,使点落在线段上的点处,点落在点处，则两点间的距离为（  ） A． B． C． D． 5．（本题3分）时钟的时针在不停地转动，从上午点到上午点，时针旋转的旋转角为（ ） A．10° B．20° C．30° D．40° 6．（本题3分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（　　） A． B． C． D． 8．（本题3分）在平面直角坐标系中，关于点的图象变化有以下说法： ①点关于轴的对称点的坐标为 ②点与点关于原点对称 ③把点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点 ④把点绕原点顺时针旋转，得到点 其中，正确的说法是（           ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．②③④ 9．（本题3分）如图，在方格纸上△DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的．如果用（2,1）表示方格纸上A点的位置，（1,2）表示B点的位置，那么点P的位置为（ ） A．(5,2) B．(2,5) C．(2,1) D．(1,2) 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若点与关于原点对称，则关于的二次三项式可以分解为 ． 12．（本题3分）先将一矩形置于直角坐标系中，使点与坐标系中原点重合，边、分别落在轴、轴上（如图），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转（如图），则图中点的坐标为 ． 13．（本题3分）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，若，则 ．    14．（本题3分）如图，中，，，，把绕着它的斜边中点逆时针旋转至的位置，交于点．与重叠部分的面积为 ． 15．（本题3分）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形（如图），连结、，若此时他测得．小红同学用剪刀将与剪去，与小亮同学探究．他们将绕点顺时针旋转得，交于点（如图），设旋转角为，当为等腰三角形时，则旋转角的度数为 ． 16．（本题3分）在中，，，，将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，分别得到图①、图②、…，则旋转得到的图2018的直角顶点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形. 18．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，在边长为个单位长度的小正方形组成的方格中，点都在格点上． （1）画出ΔABC绕着点B逆时针旋转90°得到的ΔA'B'C'，并写出的A'的坐标__________ （2）在（1）的情况下，直接写出线段AA’的长度____________． （3）在y轴上找一点P，使ΔPAB的周长最小，直接写出P的坐标_____________． 19．（本题6分）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． (1)作出它们的对称中心O，并简要说明作法； (2)若AB=6，AC=5，BC=4，求△DEF的周长； (3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由． 20．（本题8分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE． （1）求△ADE的周长的最小值； （2）若CD=4，求AE的长度． 21．（本题8分）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF. (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心____点，按顺时针方向旋转___度得到； (3)若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积． 22．（本题9分）如图，把绕着顶点逆时针旋转，得到，其中点的对应点恰好落在边上，点，分别是，上的点，，延长交于点． 求证：； 求的度数． 23．（本题9分）将线段绕点逆时针旋转角度得到线段，连接得，又将线段绕点逆时针旋转得线段（如图①）． 求的大小（结果用含的式子表示）； 又将线段绕点顺时针旋转得线段，连接（如图②）求； 连接、，试探究当为何值时，． 24．（本题10分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ．    （1）将向右平移4个单位，画出平移后的； （2）以点为对称中心，画出与成中心对称的，此时四边形的形状是________； （3）在平面上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（本题10分）在正方形中，E是边上一点． (1)将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是___________，与相等的角是___________； (2)如图②，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明； (3)在图②中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，解题的关键是：找到对称轴和对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形依次判断即可． 【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 2．（本题3分）已知点P关于x轴的对称点是P1， 点P1关于原点O的对称点是P2， 点P2的坐标为（3，4），则点P的坐标是（　　） A．(3,4) B．(-3,4) C．(3,-4) D．(-3,-4) 【答案】B 【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；两个点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得出点P的坐标． 【详解】∵P2的坐标为（3，4），点P1关于原点O的对称点是P2， ∴P1（-3，-4）， 又∵点P关于x轴的对称点是P1， ∴P（-3，4）． 故选B． 【点睛】本题考查了关于原点及x轴对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；两个点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数． 3．（本题3分）如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，先求出的度数，根据旋转的性质可得，，则可得的度数，进而可求出的度数． 本题主要考查了三角形内角和定理、旋转的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 由旋转的性质，得，， ∴， ∴． 故选：D 4．（本题3分）如图，在中，,将绕点逆时针旋转,使点落在线段上的点处,点落在点处，则两点间的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理计算出AB，再在Rt△BDE中，求出BD即可； 【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=5， ∵△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处， ∴AE=AC=4，DE=BC=3， ∴BE=AB-AE=5-4=1， 在Rt△DBE中，BD=， 故选A. 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 5．（本题3分）时钟的时针在不停地转动，从上午点到上午点，时针旋转的旋转角为（ ） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】C 【分析】根据时针旋转的速度乘以时针旋转的时间，可得答案． 【详解】从上午9点到上午10点，时针旋转的旋转角为30°×1=30°， 故选C． 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，利用了时针旋转的速度乘以时针旋转的时间等于时针的旋转角． 6．（本题3分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作轴于，轴于，再证明即可求解. 【详解】解：如图，作轴于，轴于． 在Rt△AOE中，点的坐标为， ∴OE=,AE=1, ∵tan∠AOE=， ∴∠AOE=30°， 又∵∠AOA’=30°， ∴∠A’OF=90°－30°－30°=30°. ， ， ， ，， ． 故选． 【点睛】本题考查的是正切的应用，熟练掌握旋转和全等三角形的性质是解题的关键. 7．（本题3分）如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，标注字母并过点O作边的垂线，根据正方形的性质可得OE=OM，∠EOM=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF=∠MON，然后利用“角边角”证明△OEF和△OMN全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B的面积的，再求出正方形B的面积=2正方形A的面积，即可得出答案． 【详解】解：设正方形B对角线的交点为O，如图1， 设正方过点O作边的垂线，则OE＝OM，∠EOM＝90°， ∵∠EOF+∠EON＝90°，∠MON+∠EON＝90°， ∴∠EOF＝∠MON， 在△OEF和△OMN中 ， ∴△OEF≌△OMN（ASA）， ∴阴影部分的面积＝S四边形NOEP+S△OEF＝S四边形NOEP+S△OMN＝S四边形MOEP＝S正方形CTKW， 即图1中阴影部分的面积＝正方形B的面积的四分之一， 同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A的面积的四分之一， ∵图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的， ∴正方形B的面积＝正方形A的面积的2倍， ∴图2中重叠部分面积是正方形B面积的， 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 8．（本题3分）在平面直角坐标系中，关于点的图象变化有以下说法： ①点关于轴的对称点的坐标为 ②点与点关于原点对称 ③把点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点 ④把点绕原点顺时针旋转，得到点 其中，正确的说法是（           ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据关于原点对称、关于坐标轴对称的点的坐标和平移、旋转变换的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】①点A关于y轴的对称点B的坐标为（-，-1），①正确； ②点A与点C（-，1）关于原点对称，②错误； ③把点A先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点D（2+，-4），③正确； ④把点A绕原点顺时针旋转30°，得到点E（1，-），④正确， 故选A． 【点睛】本题考查的是关于原点对称、关于坐标轴对称的点的坐标和平移、旋转变换，掌握关于原点对称、关于坐标轴对称的点的坐标的变化规律和平移、旋转变换的性质是解题的关键． 9．（本题3分）如图，在方格纸上△DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的．如果用（2,1）表示方格纸上A点的位置，（1,2）表示B点的位置，那么点P的位置为（ ） A．(5,2) B．(2,5) C．(2,1) D．(1,2) 【答案】A 【详解】如图，分别连接AD、BE， 然后作它们的垂直平分线，它们交于P点，则它们旋转中心为P， 根据图形知道△ABC绕P点顺时针旋转90°得到△DEF， ∴P的坐标为（5，2）． 故选A． 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出一般规律． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若点与关于原点对称，则关于的二次三项式可以分解为 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点坐标特征求得a，b的值，然后代入所求式子变形即可. 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴a+b=﹣1，﹣5=b﹣3a， 解得：a=1，b=﹣2， 则原式=. 故答案为. 【点睛】本题主要考查关于原点对称的点坐标特征，完全平方公式.熟练掌握其知识点是解此题的关键. 12．（本题3分）先将一矩形置于直角坐标系中，使点与坐标系中原点重合，边、分别落在轴、轴上（如图），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转（如图），则图中点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，首先得出OM，DM的长，进而求出ON，NC的长即可得出答案． 【详解】∵AB=4，BC=3， ∴图1中点C的坐标为（4，3）， 在图2中，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，那么∠DOM=30°，OD=3，∴DM=3•tan30°=，OM=3÷cos30°=2， 那么CM=4﹣， 易知∠NCM=30°， ∴MN=CM•sin30°=，CN=CM•cos30°=， 则ON=OM+MN=， ∴图2中C点的坐标为：（）． 故答案为（）． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及旋转问题，关键是根据旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解． 13．（本题3分）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，若，则 ．    【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，由旋转的性质可得，，，证明，得到，设，则，，从而得到，求出的值即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，为正方形的对角线, ，，， 平分, ， 将绕点顺时针旋转得到，， ，，， ， , ， ， 设，则，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 14．（本题3分）如图，中，，，，把绕着它的斜边中点逆时针旋转至的位置，交于点．与重叠部分的面积为 ． 【答案】9 【分析】根据旋转前后对应角相等可知:△FHP∽△FED, 又点P为斜面中点,FP=6cm, 在根据相似三角形的对应边的比相等即可求出PH的长;把所求阴影部分面积看作△FHP与△FMN的面积差, 并且这两个三角形都与△ABC相似, 根据∠A=90, ∠C=30,BC=12cm, 求出对应边的长, 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积即可. 【详解】解: 如图, 点P为斜边BC的中点, PB=PC=BC=6, △ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90至△DEF的位置, PF=PC=6, ∠FPC=90, ∠F=∠C=30, PH=PF=6=2, 在Rt△CPM中, ∠C=30, PM=PC=6=2,∠PMC=60, ∠FMN=∠PMC=60, ∠FNM=90, 而FM=PF-PM=6-2, 在Rt△FMN中, ∠F=30, MN=FM=3-, FN=MN=3-3, △ABC与△DEF重叠部分的面积=-=62-(3-)(3-3) =9 (cm). 【点睛】本题考查了旋转的性质及含30度角的直角三角形的知识, 有一定难度, 注意相似三角形性质的熟练运用. 15．（本题3分）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形（如图），连结、，若此时他测得．小红同学用剪刀将与剪去，与小亮同学探究．他们将绕点顺时针旋转得，交于点（如图），设旋转角为，当为等腰三角形时，则旋转角的度数为 ． 【答案】或 【分析】结合旋转的性质分情况讨论即可求得答案. 【详解】当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°， 则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°， 即β=60°； ②当AF=FK时，∠FAK==75°， ∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°， 即β=15°， ∴β的度数为60°或15°， 故答案为60°或15°. 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及运用分类讨论思想是解本题的关键. 16．（本题3分）在中，，，，将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，分别得到图①、图②、…，则旋转得到的图2018的直角顶点的坐标为 ． 【答案】(8076,0) 【分析】利用勾股定理得到AB的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标；根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合． 【详解】∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4， ∴AB===5， ∴旋转得到图③的直角顶点的坐标为(12,0)； 根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12， 因为2018÷3=672…2 所以图2018的直角顶点在x轴上，横坐标为672×12+3+5+4=8076， 所以图2018的顶点坐标为(8076,0)， 故答案是：(8076,0). 【点睛】本题考查了旋转的性质与规律的知识点，解题的关键是根据点的坐标找出规律. 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形. 【答案】见解析 【分析】由旋转的性质可知∠D=∠B，再根据已知条件证明AC∥DE，进而证明∠ACB=∠A，所以△ABC是等腰三角形． 【详解】证明：由旋转知∠D=∠B， ∵∠ACD=∠B， ∴∠ACD=∠D，AC∥DE， ∴∠ACB=∠E， 又∵∠A=∠E， ∴∠ACB=∠A， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的判定，灵活掌握旋转的性质是解答本题的关键. 18．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，在边长为个单位长度的小正方形组成的方格中，点都在格点上． （1）画出ΔABC绕着点B逆时针旋转90°得到的ΔA'B'C'，并写出的A'的坐标__________ （2）在（1）的情况下，直接写出线段AA’的长度____________． （3）在y轴上找一点P，使ΔPAB的周长最小，直接写出P的坐标_____________． 【答案】（1）作图见解析，A'的坐标（﹣3，3）；（2）；（3）P（0，）． 【分析】（1）根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可； （2）根据勾股定理求出AA′的长度即可； （3）作A关于y轴的对称点D，连接BD交y轴于点P．连接AP，则△ABP的周长最小，由B、D的坐标求出直线BD的解析式，令x=0，即可得到y的值，从而得到P的坐标． 【详解】（1）画出ΔABC绕着点B逆时针旋转90°得到的ΔA'B'C'，A'的坐标（﹣3，3）； （2）连接AA′，在直角三角形ABC中，AB2=BC2+AC2=22+42=20． ∵A′B′=AB，AA′= ． 故答案为； （3）作A关于y轴的对称点D，连接BD交y轴于点P．连接AP，则△ABP的周长最小． ∵B（－5，－1），D（1，－3）．设直线BD为y=kx+b，则，解得： ，∴，当x=0时，y=，∴P（0，）． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的性质是解答本题的关键． 19．（本题6分）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． (1)作出它们的对称中心O，并简要说明作法； (2)若AB=6，AC=5，BC=4，求△DEF的周长； (3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由． 【答案】（1）答案见解析；（2）15；（3）平行四边形． 【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD和CF上，则连结AD和CF，它们的交点即为对称中心O； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到△DEF各边的长，然后计算△DEF的周长； （3）根据中心对称的性质得OA=OD，OC=OF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形ACDF为平行四边形． 【详解】（1）如图，点O为所作； （2）∵△ABC和△DEF关于点O成心对称，∴△ABC≌△DEF，∴DF=AC=5，DE=AB=6，EF=BC=4，∴△DEF的周长=4+5+6=15； （3）四边形ACDF为平行四边形．理由如下： ∵△ABC和△DEF关于点O成心对称，∴OA=OD，OC=OF，∴四边形ACDF为平行四边形． 【点睛】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键． 20．（本题8分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE． （1）求△ADE的周长的最小值； （2）若CD=4，求AE的长度． 【答案】（1）6+；（2）3﹣或3+ 【分析】（1）根据勾股定理得到AB=AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论； （2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3 ∴AB=AC=6， ∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD， ∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE， ∴当DE最小时，△ADE的周长最小， 过点C作CF⊥AB于点F， 当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3， ∴△ADE的周长的最小值是6+3； （2）当点D在CF的右侧， ∵CF=AB=3，CD=4， ∴DF=， ∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣； 当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+， 综上所述：AE的长度为3﹣或3+． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 21．（本题8分）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF. (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心____点，按顺时针方向旋转___度得到； (3)若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积． 【答案】(1)见解析；(2)A，90；(3) 34 【分析】（1）根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得； （2）由于得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转得到； （3）先利用勾股定理可计算出，再根据可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到，，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF＝∠D＝90°， 又∵AB＝AD，DE＝BF， ∴△ADE≌△ABF(SAS)； （2）， ， 而， ，即， 可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到． 故答案为A、90； (3)∵BC＝8， ∴AD＝8， 在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝8， ∴AE＝＝2， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴△AEF的面积＝AE2＝×4×17＝34． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理． 22．（本题9分）如图，把绕着顶点逆时针旋转，得到，其中点的对应点恰好落在边上，点，分别是，上的点，，延长交于点． 求证：； 求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）如图，证明△ABF≌△ADG，得到BF=DG，即可解决问题． （2）证明∠ABF+∠AGH=∠ADG+∠AGH，此为解题的关键性结论；求出∠ABF+∠AGH=130°，∠BAG=100°，即可解决问题． 【详解】由题意得： ， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 由题意得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质等，解题的关键是深入观察图形结构特点，准确找出图形中隐含的等量关系． 23．（本题9分）将线段绕点逆时针旋转角度得到线段，连接得，又将线段绕点逆时针旋转得线段（如图①）． 求的大小（结果用含的式子表示）； 又将线段绕点顺时针旋转得线段，连接（如图②）求； 连接、，试探究当为何值时，． 【答案】(1);(2)； (3) 当为时，． 【分析】（1）由于线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°<α<60°）得到线段AC，根据旋转的性质得AB=AC，∠BAC=α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 再由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得∠CBD=60°，然后利用∠ABD=∠ABC-∠CBD进行计算； （2）由线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，根据旋转的性质得AB=AE，∠BAE=60°，则AC=AE，∠CAE=60°-α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到 然后利用∠BCE=∠ACB+∠ACE计算得到∠BCE=150°； （3）由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得BC=BD，∠CBD=60°，则可判断△BCD为等腰直角三角形，则∠BCD=60°，CD=BC， 所以∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°，加上∠DEC=45°，于是△DEC为等腰直角三角形，则CE=CD，所以CB=CE，然后利用“SSS”证明△ABC≌△AEC，得到∠BAC=∠EAC，所以 【详解】∵线段绕点逆时针旋转角度得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得线段， ∴， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， ∴，， ∴， ∴；如图②， ∵线段绕点逆时针旋转得线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 即， 当为时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质. 24．（本题10分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ．    （1）将向右平移4个单位，画出平移后的； （2）以点为对称中心，画出与成中心对称的，此时四边形的形状是________； （3）在平面上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）平行四边形；（3）存在，满足条件的点坐标为，，． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质结合平行四边形的判定方法得出答案； （3）直接利用平行四边形的判定方法得出符合题意的答案． 【详解】解：（1）如图，即为所作．    （2）如图，即为所作，四边形是平行四边形，故答案为平行四边形． （3）存在．满足条件的点坐标为，，． 【点睛】此题主要考查了平移变换、旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 25．（本题10分）在正方形中，E是边上一点． (1)将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是___________，与相等的角是___________； (2)如图②，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明； (3)在图②中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到； （2）将绕点A顺时针旋转得到，证明，得到即可证明结论； （3）将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．根据题意证明，得到为直角三角形，根据勾股定理以及等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转得到，使重合， 故答案为：，． （2）解：．证明如下： 如图，将绕点A顺时针旋转得到，则． ， ， 点E，B，P共线． 由旋转的性质，知． ， ， ． 在和中， ， ， ， ． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接． 四边形为正方形， ． 由旋转的性质，得． ， ， ． 在和中， ， ． ， 为直角三角形， ， ． ． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$