精品解析：2024年山东省春季高考济南市第二次模拟考试数学试题

2024年山东省春季高考济南市第二次模拟考试 数学试题 1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01. 卷一（选择题共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出.并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 且 B. 或 C. D. 方程有实根 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是（ ） A. B. C. D. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 函数曲线恒过定点（ ） A. B. C. D. 9. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（ ） A. 至多有一张移动卡 B. 恰有一张移动卡 C. 都不是移动卡 D. 至少有一张移动卡 11. 设是不重合的平面，是不同的直线，下列命题不能推导出线面垂直的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12. 已知向量，，则与的夹角等于（ ） A. B. C. D. 13. 已知，是第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 15. 函数的图象如图所示，现将的图象各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 16. 下列约束条件中，可以表示如图所示区域（阴影部分）的是（ ） A. B. C. D. 17. 二项式的展开式的常数项是（ ） A. B. 112 C. D. 122 18. 在中，若，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 19. 《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板看作是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误的是（ ） A. 秋千绳与墙面始终平行 B. 秋千绳与道路始终垂直 C. 秋千板与墙面始终垂直 D. 秋千板与道路始终垂直 20. 已知抛物线方程为，直线，抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为______. 22. 若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为2，则这个圆锥的体积为______. 23. 在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个． 24. 某中职学校计划从300名学生中抽取30名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1—300，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽取的号码是6，则从第五个号码段中抽取的号码应是______. 25. 已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是______. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. （1）求，的值； （2）如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 27. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 28. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若，，求的面积． 29. 如图所示，直三棱柱，各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与所成角的正弦值. 30. 已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年山东省春季高考济南市第二次模拟考试 数学试题 1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01. 卷一（选择题共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出.并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用集合与集合的包含关系分析即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 且 B. 或 C. D. 方程有实根 【答案】B 【解析】 【分析】根据或且命题真假性的性质即可求解. 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断充分性及必要性即可. 【详解】充分性：由得；必要性：由得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，,故A错误， 对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误， 对于C，由于，所以，C错误， 对于D，由于，则，故，D正确， 故选；D 5. 如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在运动时和点在上运动时，，之间是线性关系，点在弧上运动时，是定值，即可结合选项求解. 【详解】当点P在OA段运动时， s随t的增大而匀速增大， 点P在弧AB上运动时， s＝OP＝AB(定值)， 点P在BO上运动时， s随着t的增大而减小． 故选：C 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出原几何体的直观图，可知该几何体为圆柱，结合图中数据可求出该圆柱的侧面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为圆柱，且圆柱的底面半径为，高为， 因此，该圆柱的侧面积为. 故选：B. 7. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据若两函数的定义域相同，对应关系相同，则这两函数为同一个函数逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为， 所以两函数的定义域不相等，所以这两函数不是相等函数，所以A错误； 对于B，，的定义域都为，因为， 所以两函数不是相等函数，所以B错误； 对于C，，的定义域都为，因为与解析式不同， 所以这两个函数不是相等函数，所以C错误； 对于D，因为的定义域都为，且对应关系相同，所以是相等函数， 所以D正确， 故选：D 8. 函数曲线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质可求解. 【详解】因为对数函数恒过点， 所以函数曲线恒过点. 故选：C 9. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题设条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， ， 所以，，解得， 所以，， 故选：B. 10. 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（ ） A. 至多有一张移动卡 B. 恰有一张移动卡 C. 都不是移动卡 D. 至少有一张移动卡 【答案】A 【解析】 【分析】 概率的事件可以认为是概率为的对立事件． 【详解】事件“2张全是移动卡”的概率是，由对立事件的概率和为1，可知它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题. 11. 设是不重合的平面，是不同的直线，下列命题不能推导出线面垂直的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面位置关系判断. 【详解】由线面垂直的性质可知，若，则，A是正确的； 由线面垂直的判定定理可知，若，则，B正确； 由面面垂直的性质定理可知，若，则，C正确； 只有是两条相交直线时命题才能成立，所以D错误； 故选：D. 12. 已知向量，，则与的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据夹角公式即可求解. 【详解】由，可得， 故， 由于，所以， 故选：B 13. 已知，是第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系可求得，由两角和差正切公式可求得结果. 【详解】为第一象限角，，， . 故选：C. 14. 在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】因为圆以为直径，所以圆心的坐标为， 半径为， 圆的标准方程为. 故选：B. 15. 函数的图象如图所示，现将的图象各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入点，结合解得：，再根据函数图象变换得到解析式. 【详解】由图可知，过点，故，因为，解得：，将的图像各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得. 故选：D. 16. 下列约束条件中，可以表示如图所示区域（阴影部分）的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中表示的可行域，即可求解约束条件. 【详解】阴影部分表示直线以下的部分（不包括直线），直线右下的部分（包括直线），故可用表示， 故选：C 17. 二项式的展开式的常数项是（ ） A. B. 112 C. D. 122 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得通项为，令计算即可求解. 【详解】展开式的通项公式为（）， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故选：B 18. 在中，若，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案． 【详解】因为， 所以 所以 所以 所以, 所以, 所以. 所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题． 19. 《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板看作是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误的是（ ） A. 秋千绳与墙面始终平行 B. 秋千绳与道路始终垂直 C. 秋千板与墙面始终垂直 D. 秋千板与道路始终垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合线面垂直的性质和面面垂直的性质可得结论． 【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行， 但与道路所成的角在变化 秋千板与墙面垂直，故也与道路始终垂直． 故选：B． 20. 已知抛物线方程为，直线，抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程设点，利用点到直线的距离公式计算距离求最值即可. 【详解】设抛物线上的动点，， 则点P到直线l的距离. ∵，∴时. 故选：D. 卷二（非选择题共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 22. 若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为2，则这个圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据轴截面可得，即可由体积公式求解. 【详解】如图：由于圆锥的轴截面顶角为120°，故, 又,所以, 故圆锥的体积为, 故答案为： 23. 在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个． 【答案】8 【解析】 【分析】 分类讨论，十位上的数为1，2，分别求出无重复数字的“驼峰数”，即可得出结论. 【详解】十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8（个）. 故答案为：8. 【点睛】本题考查分类计数问题，考查分步计数问题，本题是一个数字问题，比较基础. 24. 某中职学校计划从300名学生中抽取30名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1—300，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽取的号码是6，则从第五个号码段中抽取的号码应是______. 【答案】46 【解析】 【分析】根据系统抽样的特征即可求解. 【详解】由题意可知，抽取的间距10，第一组抽取的数据是6，故接下来抽取的数据分别为16，26，36，46，...... 故第五个号码段中抽取的号码应是46 故答案为：46 25. 已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，从而根据可得，联立椭圆的方程可解出的值，从而得出点到轴的距离． 【详解】由椭圆方程得，，，设， 则：，； 由得： （1）； 又点在椭圆上，可得（2）； （1）（2）联立消去得，；即； 故点到轴的距离是． 故答案为：． 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. （1）求，的值； （2）如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 【答案】（1）， （2）行驶的最大速度为70千米时． 【解析】 【分析】（1）把点，代入函数解析式，求解，的值即可； （2）令求出的取值范围即可． 【小问1详解】 由图象可知，点，在函数图象上， ，解得， ，； 【小问2详解】 令，得， 解得， 又， ， 即行驶的最大速度为70千米时． 27. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【小问1详解】 由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． 【小问2详解】 由题意及（1），可得， 则 ． 28. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得答案; （2）由余弦定理求得a值，然后利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得． 因为，所以，所以，即． 【小问2详解】 由余弦定理得，得， 所以，故的面积为． 29. 如图所示，直三棱柱，各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 由题意在等边三角形中，为的中点， 所以， 在直棱柱中， 平面，平面，所以， 而，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证得，在直三棱柱中，平面，可得，进而可证得平面，即证得平面平面； （2）由题意可证得，即可得直线与所成的角，在△中，可求出的正弦值，进而求出于直线与所成的角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为，，分别为棱，，的中点， 所以，且， 在三棱柱中，，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以即为直线与所成的角， 在△中，设直三棱柱的棱长为2，则 可得． 故 即直线与所成角的正弦值为． 30. 已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案． （2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案． 【小问1详解】 因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程为，， 又双曲线经过点， 所以，即， 所以双曲线的方程为，即． 【小问2详解】 根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 所以直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 联立，得， 所以且， 所以，且， 所以， 所以的面积为， 所以，解得，所以， 所以直线的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $