2024年九年级中考数学复习专题十 二次函数中直角三角形存在性问题解题策略1

专题十 二次函数中直角三角形存在性问题解题策略 一、经典习题----直角三角形存在性问题 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A，B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴为直线x＝1． ⑴ 抛物线的表达式为_____________________； ⑵ 在抛物线上是否存在一点M，使△MBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； ⑶ 点P为抛物线对称轴上一点．当△PBC是直角三角形时，求点P的坐标； ⑷ 点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，点M运动时间为t，在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 二、直角三角形存在性问题解题策略 1. 直角三角形的定义：有一个内角为90°的三角形，叫直角三角形. ( 图1 图2 图3 )若一个三角形为直角三角形，存在以下三种情况： ⑴ 如图1，若∠A＝90°，则 ⑵ 如图2，若∠B＝90°，则 ⑶ 如图3，若∠C＝90°，则 2. “两线一圆”模型 如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形，这样的点C分别在： ⑴ 过点A，B作AB的垂线上； ⑵ 以AB的中点为圆心，AB为半径的圆上，这个模型简称“两线一圆”模型. 3. “一线三垂直” 模型 已知：当点C在线段DE上，∠D＝∠ACB＝∠E, 结论：△ADC∽△CEB 方法小结： 几何法：⑴ 两线一圆作出点； ⑵ ① 以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则 ② 以已知线段为斜边时，构造“一线三垂直”模型，最后利用相似或三角函数求解. 代数法：⑴ 表示点A，B，C坐标； ⑵ 表示线段AB，AC，BC； ⑶ 分类讨论①；②；③； ⑷ 代入列方程，求解. 三、举一反三----直角三角形存在性问题 2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（－1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C． ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴交于另一个点C，抛物线顶点为D． ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？请直接写出符合条件的t值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． ⑴ 求A，B，C三点的坐标； ⑵ 若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 5. 抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C． ⑴ 如图1，求点A的坐标及线段OC的长； ⑵ 点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ． ① 当点P在第一象限时，若含45°角的直角三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与点C重合， 直角顶点D在BQ上， 另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式； ② 若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ 上，请直接写出点P的坐标． ( 图1 图 2 备用图 ) 6. 如图，点A的坐标为(－2，0)，直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，抛物线过A，B，C三点． ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒l个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t，请直接写出t为何值时，△QMN为等腰直角三角形? ( 备用 图 ) 7．如图，抛物线经过点A（0，3)，B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 点F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. ( 备用 图 ) 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，抛物线过A，B，C三点． ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒l个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t，请直接写出t为何值时，△QMN为等腰直角三角形． ( 备用 图 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$