2024年九年级中考数学复习专题九 二次函数中等腰三角形存在性问题解题策略

专题九 二次函数中等腰三角形存在性问题解题策略 一、经典习题----等腰三角形存在性问题 1. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线经过A，C两点，与x轴的另一个交点是点D． ⑴ 抛物线的表达式为________________； ⑵ 连接CD, 在x轴上存在点P，使△CDP是以CD为腰的等腰三角形，求点P的坐标. ⑶ 连接CD, 在抛物线的对称轴上存在点P，使△CDP为等腰三角形，求点P的坐标. ⑷ 连接BD，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的t值． 二、等腰三角形存在性问题解题策略 1. 分类讨论： 如图1，⑴ 若△ABC是锐角等腰三角形，那么有以下三种情况； ( 图1 ) ( 图 3 图 2 ) ① AB＝AC ② AB＝BC ③ AC＝BC ⑵ 如图2，若△ABC是直角等腰三角形，那么有以下一种情况；AB＝AC； ⑶ 如图3，若△ABC是钝角等腰三角形，那么有以下一种情况；AB＝AC； 2. 两圆一线模型： ( 图 5 图 4 ) 如图4,线段AB,在平面内找一点C使得△ABC为等腰三角形.这样的点C如图5所示. 在分别以点A,B为圆心，AB为半径的圆和AB的垂直平分线上除了与AB在同一直线上的点外的以与点A,B构成等腰三角形,这个模型简称“两圆一线” ． 3. 相关公式： ⑴ 平面上两点间的距离公式： 如图6，已知点，，则点A，点B间的距离为AB＝． ( 图 6 图 7 ) ⑵ 中点坐标公式： 如图7，已知点，，点C为线段AB的中点，则点C的坐标为． 方法总结： 几何法：⑴ 两圆一线作出点；⑵ 利用勾股，相似，三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：⑴ 表示出三点A，B，C坐标； ⑵ 由点坐标表示出三条线段：AB，AC，BC； ⑶ 分类讨论 ① AB＝AC，② AB＝BC，③ AC＝BC ； ⑷ 列出方程求解. 三、举一反三----等腰三角形存在性问题 2. 如图，抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线． ⑴ 求抛物线的表达式以及点B的坐标； ⑵ 动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，过动点M作x轴的垂线交射线AB于点Q，设运动的时间为t(t＞0)秒，△BOQ能否为等腰三角形？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由． 3. 如图1，抛物线与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 如图2，若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ( 图1 图 2 ) 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为E（－1，4），且过点A（－3，0），与y轴交于点C． ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 点D在抛物线上，设D的横坐标为m，且－3＜m＜－1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE，AC于点G，H，当△CGH是等腰三角形时，请直接写出m的值． 5. 如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点， 与x轴另一交点为A． ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 如图2，点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，请直接写出t的值． ( 图 1 图 2 ) 6．如图，抛物线经过点A（－1，0）和点B（4，0），且与y轴相交于点C. ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 直线m经过点C，且直线m∥x轴，点P是直线m上任意一点，过点P分别作PQ⊥直线BC，PR⊥x轴，垂足分别为点Q，R，是否存在点P，使以点P，Q，R为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7. 如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（0，2）两点，动点P，Q同时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P沿x轴正方向运动，动点Q沿y轴正方向运动，连接PQ，设运动时间为t秒 ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 随着点P，Q的运动，抛物线上是否存在点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写出t的 值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8. 如图，抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D． ⑴ 点E是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长度 保持不变，沿直线BC移动得到C'D'，当线段EF最大时，求EC'+C'D'+D'B的最小值； ⑵ 点Q是抛物线上一动点，在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△APQ为等边三角形，若存在， 请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由． ( 备用图 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$