4.4.3不同函数增长的差异 同步检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册

4.4.3　不同函数增长的差异（同步检测） 一、选择题 1.下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x6 D.y＝6x 2.若x∈(0，1)，则下列结论正确的是(　　) A.2x＞＞lg x B.2x＞lg x＞ C.＞2x＞lg x D.lg x＞＞2x 3.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是(　　) A.y＝0.4x B.y＝lg x＋1 C.y＝ D.y＝1.125x 4.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　) A.y＝ex B.y＝100ln x C.y＝x100 D.y＝100×2x 6.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为 (　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 7.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 8.下面对函数f(x)＝，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　) A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变 D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 9.(多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法中正确的有(　　) A.前5 min温度增加越来越快 B.前5 min温度增加越来越慢 C.5 min后温度保持匀速增加 D.5 min后温度保持不变 二、填空题 10.函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________ 11.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________ ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50． 12.某商场2023年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①f (x)＝p·qx(q>0，q≠1)；②f (x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；③f (x)＝x2＋px＋q． (1)能较准确反映商场月销售额f (x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)； (2)若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x)＝___________ 13.生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________.(填序号) A　　　 　 B 三、解答题 14.某人对某种松树的生长进行了研究，搜集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据如下表所示，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合，并预测第八年的松树的高度． t/年 1 2 3 4 5 6 h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 15.画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系． 16.假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2013年以来经过的年数． t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 40 P2/万元 20 40 (1)求函数P1＝f(t)的解析式； (2)求函数P2＝g(t)的解析式； (3)完成上表空格中的数据，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B 解析：D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意． 2.A 解析：结合y＝2x，y＝及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x＞＞lg x． 3.B 解析：在选项B中，y＝lg x＋1在区间[4，10]上单调递增．当x＝10时，ymax＝2.作出y＝lg x＋1与y＝的图象，如图所示，由图知lg x＋1＜在x∈[4，10]上恒成立．故B正确． 4.D 解析：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面．故选D. 5.A 解析：指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，并且a的值越大，增长速度越快．故选A． 6.A 解析：随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A． 7.D 解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图象大致为D中图象． 8.C 解析：观察函数f(x)＝，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)，函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数h(x)的图象递减速度不变． 9.BC 解析：前5 min温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B，C正确．故选BC. 二、填空题 10.答案：y＝x2 解析：当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2比x ln x增长要快． 11.答案：①　 解析：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①． 12.答案：(1)③　(2)x2－8x＋17　 解析：(1)①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f (x)与月份x关系的函数模型为③．(2)由f (1)＝10，f (3)＝2，得解得p＝－8，q＝17，所以f (x)＝x2－8x＋17． 13.答案：(4)，(1) 解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应． 三、解答题 14.解：由表可以看出增长速度越来越慢，用对数函数模型合理． 把(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得a＝3． 故h＝log3(t＋1)． 当t＝8时，h＝2． 故可预测第8年松树高2米． 15.解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示． 根据图象易得，当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)； 当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x＞4时，f(x)＜g(x). 16.解：(1)设f(t)＝kt＋b(k≠0)， 则解得∴P1＝f(t)＝2t＋20. (2)设g(t)＝mat(a＞0，且a≠1)， 则解得 ∴P2＝g(t)＝20×()t＝20×. (3)表格中的数据如下表所示： t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 30 40 50 60 P2/万元 20 20 40 40 80 画出两个函数的图象如图所示． 由图象可以看出，在前10年，按P1增长的价格始终高于按P2增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$