精品解析：湖南省怀化市麻阳县两校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

2021-2022学年八年级上学期期中联考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题(每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上) 1. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. “直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ） A. 互为逆命题 B. 互逆定理 C. 公理 D. 假命题 3. 若，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 一个等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（ ） A. 14 B. 16 C. 14或16 D. 不确定 5. 如图，点B、A、D在同一直线上，AE∥BC，AE平分∠DAC，若∠B＝36°，则∠BAC等于(　　) A. 90° B. 108° C. 118° D. 144° 6. 港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x千米/小时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 若分式方程有增根，则a的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3 9. 如图，中，．在上截取，作的平分线交于点，连接．若的面积为，则的面积为（ ）． A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上) 11. 如果有意义，则x的取值范围为____． 12. 石墨烯是一种由碳原子组成的二维碳纳米材料，具有优异的光学、电学、力学特性，被认为是一种未来革命性的材料．单层石墨烯只有一个碳原子的厚度，用科学记数法表示为米，即______米． 13. 等腰三角形的周长是15，其中一条边的长度为3，那么它的腰长是__________． 14. 如图，将△ABC沿直线AC翻折得到△ADC，连接BD交AC于点E，AF为△ACD的中线，若BE＝2，AE＝3，△AFC的面积为2，则CE=_____． 15. 若，则分式的值为______________． 16. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图2，衣架杆，若衣架收拢时，，如图1，若衣架打开时，，则此时，两点之间的距离扩大了________． 三、解答题(本大题共8小题，共86分) 17. 已知关于的方程． （1）若，解这个分式方程； （2）若分式方程无解，求的值． 18. （1）利用图中的网格，过P点画直线的平行线和垂线，并标出垂线的垂足E； （2）在所作的图中，线段 的长度就是P到直线的距离． 19. 镇宁樱桃是安顺市镇宁县特产．某水果店老板用3000元购进了一批镇宁樱桃，由于樱桃刚在果园采摘比较新鲜，前三天他以高于进价的价格共卖出150千克，由于樱桃保鲜期短，第四天他发现店里的樱桃卖相已不大好，于是果断地将剩余樱桃以低于进价的价格全部售出，前后一共获利750元．设该水果店老板购进了千克镇宁樱桃． （1）这批樱桃的进价为　　　　　元/千克；（用含的式子表示） （2）该水果店老板这次购进樱桃多少千克？ 20. 如图所示，已知等腰中，，与互余，． （1）试说明：； （2）若cm，cm，求的长度． 21. 八年级我们学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【问题背景】 已知，均是等腰三角形，且有公共顶点，，连接，是的中点，连接，． （1）【思路探究】 如图1，当与在同一直线上时，延长交于点，求证：； （2）【迁移应用】 如图2，当时，延长，交于点，连接，求证：． 22. 对于平面直角坐标系中的点，若点P′的坐标为(a+，ka+b)(其中为常数，且)，则称点P′为点的“之雅礼点”．例如：的“之雅礼点”为P′（，），即P′（3，6）． （1）①点的“之雅礼点”P′的坐标为_______． ②若点的“之雅礼点”P′的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______． （2）若点在轴的正半轴上，点的“之雅礼点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则的值为_______； （3）在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年八年级上学期期中联考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题(每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上) 1. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的判断，约分，根据最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】A. ，故错误； B. ，故错误； C. 是最简分式，故正确； D. ，故错误； 故选：C． 2. “直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ） A. 互为逆命题 B. 互逆定理 C. 公理 D. 假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 3. 若，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂除法公式的逆用，正确计算是解题的关键． 4. 一个等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（ ） A. 14 B. 16 C. 14或16 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，避免漏解． 由等腰三角形两边长为4、6，分别从等腰三角形的腰长为4或6去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】解：①若等腰三角形的腰长为4，底边长为6， ， 能组成三角形， 它的周长是：； ②若等腰三角形的腰长为6，底边长为4， ， 能组成三角形， 它的周长是：， 综上所述，它的周长是：14或16． 故选：C． 5. 如图，点B、A、D在同一直线上，AE∥BC，AE平分∠DAC，若∠B＝36°，则∠BAC等于(　　) A. 90° B. 108° C. 118° D. 144° 【答案】B 【解析】 【分析】由AE∥BC，∠B＝36°，根据平行线的性质即可求得∠DAE的度数，又由AE平分∠DAC，根据角平分线的定义可求∠DAC，再根据平角的定义即可求得答案． 【详解】解：∵AE∥BC，∠B＝36°， ∴∠DAE＝∠B＝36°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAC＝2∠DAE＝72°， ∴∠BAC＝108°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的性质的应用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等。 6. 港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x千米/小时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原来通车前的平均时速为x千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程． 【详解】解：设原来通车前的平均时速为x千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x千米/小时，依题意得： 故选D． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 7. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式，然后利用进行整体代入计算． 详解：原式 ∵ ∴ ∴原式=2. 故选C. 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.注意整体代入法的应用. 8. 若分式方程有增根，则a的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是令最简公分母为0，求出增根． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以化简分式方程为整式方程后让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出a的值即可． 【详解】 去分母得：， 解得：， 分式方程有增根， ，即， 把代入得：， 故选：D． 9. 如图，中，．在上截取，作的平分线交于点，连接．若的面积为，则的面积为（ ）． A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由，平分，根据等腰三角形的“三线合一”可得点P是的中点，再根据三角形中线的性质即可解答． 【详解】∵，平分， ∴点P是的中点， ∴，， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中线的性质是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质及角平分线的定义可以得到②正确；由直角三角形的性质和角平分线定义可以得到③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF正确． 【详解】解：由已知可得： ∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠A） =90°+∠A， 故①正确； ∵EFBC，∴∠AEF=∠ABC， ∴∠EBO=∠AEF，故②正确； 由已知得：∠OCB=∠OCD， ∴∠DOC+∠OCB＝∠DOC+∠OCD＝90°，故③正确； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝OM＝m， ∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF =AE⋅OM+AF⋅OD =OD⋅(AE+AF)=mn，故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查角平分线的综合应用，熟练掌握角平分线的定义及性质定理、三角形内角和定理、直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积的求法是解题关键． 二、填空题(每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上) 11. 如果有意义，则x的取值范围为____． 【答案】x≤2且x≠－1 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 【详解】根据题意，得， 解得x≤2且x≠-1． 故答案为x≤2且x≠－1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，掌握：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 12. 石墨烯是一种由碳原子组成的二维碳纳米材料，具有优异的光学、电学、力学特性，被认为是一种未来革命性的材料．单层石墨烯只有一个碳原子的厚度，用科学记数法表示为米，即______米． 【答案】0.000000000335 【解析】 【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：根据题意，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了此题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 13. 等腰三角形的周长是15，其中一条边的长度为3，那么它的腰长是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】由于已知的长为3cm的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理. 【详解】解：当腰长为3cm时，底长为：15-3×2=9；3+3<9，不能构成三角形； 当底长为3cm时，腰长为：（15-3）÷2=6；6-3<6<3+6，能构成三角形； 故此等腰三角形的腰长为6cm. 故答案为6. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论. 14. 如图，将△ABC沿直线AC翻折得到△ADC，连接BD交AC于点E，AF为△ACD的中线，若BE＝2，AE＝3，△AFC的面积为2，则CE=_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知条件以及翻折的性质，先求得S四边形ABCD，根据S四边形ABCD，即可求得，进而求得 【详解】∵AF为△ACD的中线，△AFC的面积为2， ∴S△ACD＝2S△AFC＝4， ∵△ABC沿直线AC翻折得到△ADC， ∴S△ABC＝S△ADC，BD⊥AC，BE＝ED， ∴S四边形ABCD＝8， ∴， ∵BE＝2，AE＝3， ∴BD＝4， ∴AC＝4， ∴CE＝AC﹣AE＝4﹣3＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，翻折的性质，解题的关键是利用四边形的等面积法求解． 15. 若，则分式的值为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据，可得，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查分式的化简求值，根据分式的性质把变形得出是解题的关键． 16. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图2，衣架杆，若衣架收拢时，，如图1，若衣架打开时，，则此时，两点之间的距离扩大了________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别求出时与时AB的长，故可求解． 【详解】如图，当时，连接AB ∵ ∴△OAB是等边三角形 ∴ 如图，当时，连接AB，过O点作OC⊥AB ∵ ∴∠A=∠B=，AC=BC ∴OC=cm ∴AC=cm ∴AB=2AC=cm ∴，两点之间的距离扩大了（）cm 故答案为：． 【点睛】此题主要考查等腰三角形、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、等腰三角形及含30°的直角三角形的性质． 三、解答题(本大题共8小题，共86分) 17. 已知关于的方程． （1）若，解这个分式方程； （2）若分式方程无解，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． （1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意； （2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解． 【小问1详解】 解：， 把代入分式方程，得， 方程两边乘，得， 整理得，， 解得，， 检验：把代入， 是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：， 当时，， 方程两边都乘最简公分母，得， 整理，得， 原分式方程无解， ， 解得，， 把代入， 当时，， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，． 18. （1）利用图中的网格，过P点画直线的平行线和垂线，并标出垂线的垂足E； （2）在所作的图中，线段 的长度就是P到直线的距离． 【答案】（1）如图，、、点即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作平行线，作垂线，点到直线的距离等知识．熟练掌握作平行线，作垂线，点到直线的距离是解题的关键． （1）点向右2个格点，向下4个格点为，连接，则；点向下2个格点，向左4个格点为，连接，交于，则，、点即为所求； （2）根据点到直线的距离的定义进行作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，线段的长度就是P到直线的距离， 故答案为：． 19. 镇宁樱桃是安顺市镇宁县特产．某水果店老板用3000元购进了一批镇宁樱桃，由于樱桃刚在果园采摘比较新鲜，前三天他以高于进价的价格共卖出150千克，由于樱桃保鲜期短，第四天他发现店里的樱桃卖相已不大好，于是果断地将剩余樱桃以低于进价的价格全部售出，前后一共获利750元．设该水果店老板购进了千克镇宁樱桃． （1）这批樱桃的进价为　　　　　元/千克；（用含的式子表示） （2）该水果店老板这次购进樱桃多少千克？ 【答案】（1） （2）该水果店老板这次购进樱桃200千克． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式． （1）利用进价进货总价进货数量，即可用含的代数式表示出这批樱桃的进价； （2）利用总利润每千克的销售利润销售数量，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：这批樱桃的进价为元千克． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该水果店老板这次购进樱桃200千克． 20. 如图所示，已知等腰中，，与互余，． （1）试说明：； （2）若cm，cm，求的长度． 【答案】（1） 证明：与互余， ， 又， ，， ， 在和中，，，， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，从而可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，，则，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练的利用证明三角形全等是解本题的关键． 21. 八年级我们学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【问题背景】 已知，均是等腰三角形，且有公共顶点，，连接，是的中点，连接，． （1）【思路探究】 如图1，当与在同一直线上时，延长交于点，求证：； （2）【迁移应用】 如图2，当时，延长，交于点，连接，求证：． 【答案】（1） 证明： ，为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， 点为线段的中点， 又点为线段的中点， 为的中位线， ． （2） 证明：延长交于点，连接，则易知与均为等腰直角三角形， ，， 点为中点，又点为中点， ． 为等腰直角三角形，， 为等腰直角三角形， ，， 点为中点， 又点为中点， ． 在与中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先证为等腰直角三角形，推出，进而可证为的中位线，根据中位线的性质可得； （2）延长交于点，连接，可得，，均为等腰直角三角形，根据三角形中位线的性质可证，，再证，推出，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 对于平面直角坐标系中的点，若点P′的坐标为(a+，ka+b)(其中为常数，且)，则称点P′为点的“之雅礼点”．例如：的“之雅礼点”为P′（，），即P′（3，6）． （1）①点的“之雅礼点”P′的坐标为_______． ②若点的“之雅礼点”P′的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______． （2）若点在轴的正半轴上，点的“之雅礼点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则的值为_______； （3）在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】（1）①；② （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）①根据点为点的“之雅礼点”的定义计算； ②根据点为点的“之雅礼点”的定义列出算式，求出、的值，计算即可； （2）根据轴的正半轴上点的特征、点为点的“之雅礼点”的定义计算； （3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算． 【小问1详解】 解：解：①当，，时，，， 点的“3之雅礼点” 的坐标为， 故答案为：； ②点的“之雅礼点” 的坐标为， ，， 解得，，， 当时，， 符合条件的点的坐标可以是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点在轴的正半轴上， ，． 点的坐标为， 点的“之雅礼点”为点， 点的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，去分母整理得：， 原方程无解， ①，即， ②，即，则； 当时，去分母整理得：， 原方程无解， ①， ②，则； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，解题的关键是掌握点为点的“之雅礼点”的定义、分式方程的解法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $