专题4.24 利用相似三角形测高（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.24 利用相似三角形测高（知识梳理与方法分类讲解） 第一部分【方法归纳】 【方法一】利用阳光下的影子测量高度 基本原理：利用太阳光是平行光线以及与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式求解。具体步骤：在阳光下，测量旗杆的影子长度和一根已知高度的木棍的影子长度，通过比例关系计算出旗杆的高度。 操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．提示：把太阳的光线看成是平行的． ∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB， ∴∠AEB＝∠CBD， ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB， ∴△ABE∽△CBD ∴ 即 因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了． 【方法二】利用标杆测量高度 基本原理：从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据与地面垂直构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列式计算。具体步骤：在旗杆旁边竖立一根标杆，从人眼的位置向旗杆作垂线，通过测量标杆的高度和它与旗杆之间的距离，利用相似三角形的原理计算出旗杆的高度。 操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度． 如图3，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M． 人、标杆和旗杆都垂直于地面， ∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90° 人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF∥CN， ∠1＝∠2， ∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC， ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出， 能求出CN， ∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°， 四边形ABND为矩形． DN＝AB， 能求出旗杆CD的长度． 【方法三】利用镜子的反射测量高度 基本原理：根据入射角等于反射角，与地面垂直构造相似三角形，根据对应边成比例列出算式。具体步骤：在距离旗杆的地面上放一个镜子，人站在镜子的前面能从镜子里看到旗杆的顶点，通过测量镜子到旗杆的距离和镜子到地面的距离，利用相似三角形的原理计算出旗杆的高度。 操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．点拨：入射角＝反射角 ∵入射角＝反射角 ∴∠AEB＝∠CED ∵人、旗杆都垂直于地面 ∴∠B＝∠D＝90° ∴因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用阳光下的影子测量高度 【例1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，某校操场上有一根旗杆，该校学习兴趣小组为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆、，两杆相距30米，已知视线与地面的交点为F，视线与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，、、均与垂直，测得为3米，为5米，求旗杆的高度． 【变式1】（2024·浙江杭州·二模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，．已知B，C，E，F在同一直线上，，，，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·吉林松原·一模）如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ． 【题型2】利用标杆测量高度 【例2】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 【变式1】（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，在一次测量操场旗杆高度的数学活动课上，小刚拿一根高的竹竿直立在离旗杆的点C处，然后走到点D处，这时目测到旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点间的距离为，小刚的目高（眼睛到底面的距离）为，则旗杆的高度为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如下图，将直角三角形硬纸板的斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点A在同一直线上．测得米，米，目测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米．按此方法，计算出旗杆的高度为 米．    【题型3】利用镜子的反射测量高度 【例3】（2024·陕西西安·三模）小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．    【变式1】（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，为了测量学校旗杆的高度，小芳在地面上水平放置了一面镜子，并向后退，直到刚好在镜子中看到旗杆的顶端，小芳立即记录了相关数据：她的眼睛距地面，她与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为．则旗杆的高度为（） A． B． C． D． 【变式2】（2023·云南昆明·一模）为测量校园水平地面上一棵树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把这面镜子水平放置在地面点E处，然后观测者沿着直线后退到点D，恰好在镜子里看到树的最高点A，再用皮尺测量，和观测者目高．若，，，则树的高度为 m．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m． 2、拓展延伸 【例1】（19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，小亮要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置一面镜子，当他站在B处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记E重合．已知B、E、D在同一直线上，，，，则钟塔的高度为 m．    【例2】（23-24九年级上·山西运城·期中）隘街某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，求此时遮阳棚在地面上的影长．（，结果精确到） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.24 利用相似三角形测高（知识梳理与方法分类讲解） 第一部分【方法归纳】 【方法一】利用阳光下的影子测量高度 基本原理：利用太阳光是平行光线以及与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式求解。具体步骤：在阳光下，测量旗杆的影子长度和一根已知高度的木棍的影子长度，通过比例关系计算出旗杆的高度。 操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．提示：把太阳的光线看成是平行的． ∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB， ∴∠AEB＝∠CBD， ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB， ∴△ABE∽△CBD ∴ 即 因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了． 【方法二】利用标杆测量高度 基本原理：从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据与地面垂直构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列式计算。具体步骤：在旗杆旁边竖立一根标杆，从人眼的位置向旗杆作垂线，通过测量标杆的高度和它与旗杆之间的距离，利用相似三角形的原理计算出旗杆的高度。 操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度． 如图3，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M． 人、标杆和旗杆都垂直于地面， ∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90° 人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF∥CN， ∠1＝∠2， ∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC， ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出， 能求出CN， ∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°， 四边形ABND为矩形． DN＝AB， 能求出旗杆CD的长度． 【方法三】利用镜子的反射测量高度 基本原理：根据入射角等于反射角，与地面垂直构造相似三角形，根据对应边成比例列出算式。具体步骤：在距离旗杆的地面上放一个镜子，人站在镜子的前面能从镜子里看到旗杆的顶点，通过测量镜子到旗杆的距离和镜子到地面的距离，利用相似三角形的原理计算出旗杆的高度。 操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．点拨：入射角＝反射角 ∵入射角＝反射角 ∴∠AEB＝∠CED ∵人、旗杆都垂直于地面 ∴∠B＝∠D＝90° ∴因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用阳光下的影子测量高度 【例1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，某校操场上有一根旗杆，该校学习兴趣小组为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆、，两杆相距30米，已知视线与地面的交点为F，视线与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，、、均与垂直，测得为3米，为5米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为24米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 解：由题意，得：，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：，且是方程的解， ∵， ∴， ∴，且是方程的解， 答：旗杆的高度为24米． 【变式1】（2024·浙江杭州·二模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，．已知B，C，E，F在同一直线上，，，，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证，再根据“相似三角形对应边成比例”列比例式求解即可． 本题主要考查了利用相似三角形测高，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 解：， ， 又，， ， ， ， 即：， 解得：， 故选：A． 【变式2】（2024·吉林松原·一模）如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ． 【答案】1.2 【分析】 本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度． 解：∵， ， ∴， ∴， ，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【题型2】利用标杆测量高度 【例2】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米，方案一和方案二的过程见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，求出（米），（米）， （米），进而求出（米），再证明得到，据此求出（米），进而可得到（米）；若选择方案二：如图，过点作，垂足为，交于点，则，证明，得到，即，可得（米）． 解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，（米），（米）， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为12米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得：（厘米）（米），（厘米）（米），（米）， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为12米． 【变式1】（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，在一次测量操场旗杆高度的数学活动课上，小刚拿一根高的竹竿直立在离旗杆的点C处，然后走到点D处，这时目测到旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点间的距离为，小刚的目高（眼睛到底面的距离）为，则旗杆的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，过作于, 交于，利用相似三角形的判定得出，再利用相似三角形的性质计算是解题关键. 解：如图，设旗杆高, 过作于, 交于,    ∴. ∵,, , ∴,. ∵, ∴，即 所以, 故选: C. 【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如下图，将直角三角形硬纸板的斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点A在同一直线上．测得米，米，目测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米．按此方法，计算出旗杆的高度为 米．    【答案】11 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意证出，进而利用相似三角形的性质得出的长，即可得出答案． 解：由题意得：， ∴， 则，即， 解得：， 故（米）， 即旗杆的高度为11米； 故答案为：11． 【题型3】利用镜子的反射测量高度 【例3】（2024·陕西西安·三模）小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．    【答案】古塔的高度为96米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，准确判断出相似三角形，理解相似三角形的性质是解题关键．直接利用相似三角形的判定与性质得出，证明，进而得出的长，即可得出答案． 解：由题意可得：， ， ， 米，米， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 经检验，是上述分式方程的解且符合实际意义， 故米． 答：古塔的高度为96米． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，为了测量学校旗杆的高度，小芳在地面上水平放置了一面镜子，并向后退，直到刚好在镜子中看到旗杆的顶端，小芳立即记录了相关数据：她的眼睛距地面，她与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为．则旗杆的高度为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 解：如图，由题意得， 根据镜面反射可知： 即 故选：D． 【变式2】（2023·云南昆明·一模）为测量校园水平地面上一棵树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把这面镜子水平放置在地面点E处，然后观测者沿着直线后退到点D，恰好在镜子里看到树的最高点A，再用皮尺测量，和观测者目高．若，，，则树的高度为 m．    【答案】4.2 【分析】过点E作，根据入射角等于反射角可知，，从而可得，再由，，可得，进而可得，即可求得结果． 解：过点E作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 答：树的高度为．    【点拨】本题考查相似三角形的实际应用，熟记入射角等于反射角，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 【例2】（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m． 【答案】9.88 【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解． 解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m． ∴AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， ∵AB⊥BC，DE⊥EF， ∴∠ABC=∠DEF=90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF， ∴，即， 解得AB=9.88， ∴旗杆的高度为9.88m． 故答案为：9.88． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，小亮要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置一面镜子，当他站在B处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记E重合．已知B、E、D在同一直线上，，，，则钟塔的高度为 m．    【答案】 【分析】证明，得出，即，求出即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，证明． 【例2】（23-24九年级上·山西运城·期中）隘街某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，求此时遮阳棚在地面上的影长．（，结果精确到） 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，求出，证明，则，解得，即可得到遮阳棚在地面上的影长． 解：过点作于点，作于点， 则四边形为矩形， ， 在中，， ， ， 同一时刻太阳光线是平行的， ， 又， ， ， ，即， 解得， ， 答：此时遮阳棚在地面上的影长等于． 【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$