2.2 二次函数的图像与性质 课件 -2023—2024学年北师大版数学九年级下册

北师大版 初中数学九年级下 第二章 二次函数 焦作市第二十九中学 崔艳萍 2.2 二次函数的图象与性质（3） 复习回顾 复习回顾 1. 函数 的图象的顶点坐标 是 ；开口方向是 ；最 值是 . (0，3) 小 向上 3 2. 函数y=-2x2+3的图象可由函数 的图象向 平移 个单位得到. y=-2x2 上 3 3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数________的图象. y=-3x2-2 探索新知 在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1) y=2x2 (2) y=2(x-1)2 解： (1) 完成下表： x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2x2 2(x-1)2 观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？ 32 18 8 2 0 32 18 8 2 18 8 2 0 2 50 32 18 8 探索新知 y=2(x-1)2 （1）思考：它们的图象之间有什么关系？ 二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移 1 个单位得到的. 探索新知 （2） 二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 开口方向： 向上 对称轴： 直线 x=1 顶点坐标： (1，0) x=1 探索新知 (3) 二次函数y=2(x-1)2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？ 当x＜1时，y的值随x值的增大而减小； 当x＞1时，y的值随x值的增大而增大. 探索新知 (4)你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？ 二次函数y=2(x+1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移 1 个单位得到的. y=2(x+1)2 探索新知 二次函数y=2x2，y=2(x-1)2，y=2(x+1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数y=2x2的图象向右平移 1 个单位长度，就得到函数y=2(x-1)2的图像；将函数y=2x2的图象向左平移 1 个单位长度，就得到函数y=2(x+1)2的图像. 探索新知 二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图像的关系： 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由 y=ax2 的图象____得到. （1）当h>0时，y=a(x-h)2的图象可以由 y=ax2 的图象___平移h个单位长度得到； （2）当h<0时，y=a(x-h)2的图象可以由 y=ax2 的图象____平移h个单位长度得到. 平移 右 左 探索新知 类似地，可以证明二次函数 y=a(x-h)2的下列性质 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大 x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小. 练一练：在平面直角坐标系中，二次函数 的图象可能是（ ） D 随堂练习 随堂练习 练一练：把抛物线 向右平移2个单位长度，则平移后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. D 探索新知 由二次函数y=2x2的图象，你能得二次函数y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2- 的图象吗？ 课堂小结 二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？ 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的. h＜0时，图象向左平移；h＞0时，图象向右平移. k＜0时，图象向下平移；k＞0时，图象向上平移. 课堂小结 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） （h,k） 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小。 课堂小结 顶点式 课堂小结 顶点坐标：（0，0） 顶点坐标：（0，k） 顶点坐标：（h，0） 顶点坐标：（h，k） 例题精讲 例1 试讨论二次函数 的性质 随堂练习 1.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为______________ 2.抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为____________． 二次函数 对称轴 随堂练习 巩固练习 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 ( 1, －2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , －6 ) 向上 直线x=-3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 (－3, 5 ) y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6 1.完成下列表格: 巩固练习 2.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　) A 巩固练习 解：(1)将(3，0)代y＝a(x－1)2－4， 得：0＝4a－4，解得a＝1； (2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2； 2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点， 当y1＝ y2时，求m、n之间的数量关系． 巩固练习 2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点， 当y1＝ y2时，求m、n之间的数量关系． 解：(1)将(3，0)代y＝a(x－1)2－4， 得：0＝4a－4，解得a＝1； (2)方法二： 根据题意，m+n-1=1-m 则：2m+n=2 课堂小结 左右 平移 上下 平移 上下平移 左右 平移 左右平移 上下平移 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. $$