2.1 二次函数 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第二章 二次函数 2.1 二次函数 大方县马场镇鼠场小学 侯军 里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？ 傅园慧 通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.” ------中科院数学与系统科学研究院 李邦河 问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？ 如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数. 问题2 我们学过哪些函数？ 思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？ y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数. 观察下列式子有什么共同点? 二次函数的定义： 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项； (1) y=x2 (2) y=- (3) y=x(1-x) (4) y=(x-1)2-x2 是 不是 （x的最高次是-2） 是 变形后是:y=-x2+x 不是 变形后是:y=-2x+1 1.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax²+bx+c的形式，二次项为 _____,一次项系数为______，常数项为 . -3x2 -16 12 2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 C C 2.把下列函数化成一元二次函数的一般式. (1)y=(x-2)(x-3); (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2 解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6; (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18. 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制 如：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为：y=6x2 x自变量的取值范围是什么？ x>0. 三 列二次函数关系式 例1一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？ 分析：本题中的数量关系是： 剩余面积=正方形面积-长方形面积. 解：由题意得y＝122－2x(x+1)， 又∵x+1<2x≤12，∴1<x≤6， 即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)， ∴y是x的二次函数. 4. 已知函数 y=3x2m-1－5 ① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 . 解：① 2m-1=1 m=1 ② 2m-1=2 m= 5.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求 （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积. 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ). 例1 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解：（1）由题可知 解得： （2）由题可知 解得：m=3. $$