精品解析：2024年山东省临沂市初中学业水平模拟试卷（二）数学试题

2 0 2 4 年 初 中 学 业 水 平 考 试 模 拟 试 题 （ 二 ） 数 学 注意事项： 1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分．考试时间120分钟． 2．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第 I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 倒数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续 引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国年春节档电影票房达亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C D. 5. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后不放回，再从中随 机摸出一个棋子；则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连 接．若，，则 为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是圆O的弦，是圆O的半径，点P为上任意一点（点P不与点B 重合），连接．若，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为的长为关于的函数图像如图2所示，则当点为中点时，的长为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式 有意义，则x 的取值范围是_____________________． 12. 分解因式： __________________． 13. 如图，在中，，．以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，再以点B 为圆心，长为半径作弧交于点 E，则图中阴影部分的面积为 _____________________． 14. 已知、满足，，且，则＝___________． 15. 已知二次函数的对称轴是直线，点、在这个二次函数的图象上，若，则t的取值范围是_________________________． 16. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题：写出第n 个等式： ________________________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 18. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深． “低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800 元、该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利450元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过 14000 元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 19. 临沂广播电视塔是临沂的标志性建筑之一，某校数学社团的同学在游览电视塔时，他们想测量电视塔的高度．为了测得电视塔的高度，社团成员利用自制的测角仪在点B 处测得塔顶A 的仰角为，从点E向正前方行进米到点F处，再用测角仪在点C处测得塔顶A 的仰角为，已知测角仪的高度为2米，且D，E，F三点在同一条直线上．求电视塔的高度．（参考数据：） 20. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x （单位：分）进行统计： 七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87 八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请从两个方面说明理由． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是6． （1）求点A的坐标及m和k的值； （2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标； ②请结合图象，直接写出不等式的解集． （3）若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围． 22. 如图，在中，，于点D，过点C 作与边相切于点E， 交于点F，为的直径 （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 已知关于x 的二次函数（m，n为常数） （1）若二次函数图象经过A，B两点，求二次函数的表达式； （2）若，试说明该函数图象与x 轴必有两个不同的交点； （3）若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值 24. 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： （3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2 0 2 4 年 初 中 学 业 水 平 考 试 模 拟 试 题 （ 二 ） 数 学 注意事项： 1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分．考试时间120分钟． 2．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第 I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了倒数和相反数，根据倒数和相反数的意义进行解答即可. 【详解】解：的倒数是，的相反数是， 即的倒数的相反数是， 故选：B 2. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续 引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国年春节档电影票房达亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故选：B． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形，难度较小，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 中心对称图形是绕某一点旋转后的图形与原来的图形重合，轴对称图形是被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式、单项式乘以单项式、积的乘方、平方差公式等知识，根据法则和公式计算即可得到答案. 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意. 故选：C 5. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据从上面看到的图形是俯视图进行解答即可. 【详解】解：根据题意，可知俯视图为 故选：B 6. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴， 故A选项错误； B、当时，， 故B选项错误； C、∵ ， ∴， 故C选项错误； D、∵， ∴， ∴， 故D选项正确； 故选：D． 7. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后不放回，再从中随 机摸出一个棋子；则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为2种， ∴两次摸到相同颜色的棋子的概率， 故选：B． 8. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连 接．若，，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形及线段垂直平分线．熟练掌握等腰三角形等边对等角，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，三角形外角性质，是解决问题的关键． 首先利用等腰三角形的性质求得的度数，然后利用三角形的外角的性质和线段垂直平分线的性质求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，是圆O的弦，是圆O的半径，点P为上任意一点（点P不与点B 重合），连接．若，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得的范围是解题的关键．利用圆周角定理求得的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得的范围，继而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 点为上任意一点（点不与点重合）， ， ， ， ∴的度数可能是． 故选：A． 10. 如图1在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为的长为关于的函数图像如图2所示，则当点为中点时，的长为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键． 通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，从而得出，当P为的中点时，由股定理求出长度． 【详解】解∶因为P点是从A点出发的，A为初始点， 观察图象时，则，P从A向B移动的过程中，是不断增加的 而P从B向D移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点B点，P运动到B点时，即时，， 此时， 即，， 由勾股定理得： 解得： 当点P为中点时，， ． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式 有意义，则x 的取值范围是_____________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式解答即可． 【详解】解：若二次根式有意义， 则且， 解得且． 故答案：且． 12. 分解因式： __________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式再用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 13. 如图，在中，，．以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，再以点B 为圆心，长为半径作弧交于点 E，则图中阴影部分的面积为 _____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，以及扇形面积相关计算问题，掌握特殊角的三角函数值，以及扇形的面积计算公式是解题关键．根据特殊角的三角函数值，求出的度数，利用图中阴影部分的面积，求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， 由题意， ，则， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：． 14. 已知、满足，，且，则＝___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，、是方程的两个根，根据一元二次方程根的判别式得出，，将分式化简，代入求值即可求解． 【详解】解：∵、满足，，且， ∴、是方程的两个根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，掌握以上知识是解题的关键． 15. 已知二次函数的对称轴是直线，点、在这个二次函数的图象上，若，则t的取值范围是_________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟知二次函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式是解本题的关键． 依据题意，将点、代入二次函数解析式中得，，进而可得，解得，以此即可求解． 【详解】解：点、在这个二次函数的图象上， ，， ， 整理得：， ， 抛物线的对称轴是直线， ， 故答案为：． 16. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题：写出第n 个等式： ________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题关键是能够根据给出的等式发现规律，能够熟练运用多项式的乘法法则进行准确计算．利用等式的计算规律写出猜想，再运用整式的计算证明即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第n个等式为； 证明：， = = =． ∴猜想成立， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了实数混合运算和特殊角的三角函数值的混合运算，分式的化简求值，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）计算零指数幂、负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再进行混合运算即可； （2）把除法变乘法，利用乘法分配律和分式的运算法则计算得到化简结果，再把字母的值代入利用二次根式的运算法则计算即可. . 【详解】（1）解： （2） 当时， 原式 18. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深． “低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800 元、该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利450元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过 14000 元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 【答案】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元； （2）最少需要购买甲型自行车台． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组以及不等式是解题的关键． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，依题意列出不等式，解不等式求最小整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据题意得， ， 解得：， 答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元； 【小问2详解】 设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，依题意得， ， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为， 答：最少需要购买甲型自行车台． 19. 临沂广播电视塔是临沂的标志性建筑之一，某校数学社团的同学在游览电视塔时，他们想测量电视塔的高度．为了测得电视塔的高度，社团成员利用自制的测角仪在点B 处测得塔顶A 的仰角为，从点E向正前方行进米到点F处，再用测角仪在点C处测得塔顶A 的仰角为，已知测角仪的高度为2米，且D，E，F三点在同一条直线上．求电视塔的高度．（参考数据：） 【答案】米． 【解析】 【分析】延长交于点，根据题意可得：，米，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：，米，米， 设米， 米， 在中，， （米）， 在中，， 米， ， 解得：，即（米）， （米）， （米）， 电视塔的高度为米． 20. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x （单位：分）进行统计： 七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87 八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请从两个方面说明理由． 【答案】（1）85，87，七； （2）220人； （3）八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； 【小问2详解】 （人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人； 【小问3详解】 我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：①七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，②八年级的中位数高于七年级测试成绩的中位数，即高分段年级多． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是6． （1）求点A的坐标及m和k的值； （2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标； ②请结合图象，直接写出不等式的解集． （3）若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标为，， （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据可得一次函数的图象过定点，进而可得，结合四边形的面积求出点C的坐标，代入一次函数和反比例函数解析式即可求出m和k的值； （2）①将一次函数与反比例函数解析式联立，可求另一个交点坐标；②利用图象求解； （3）当直线经过点C时，t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值，由此可解； 【小问1详解】 解：， 无论k取何值，当时，y的值恒为0， 一次函数的图象过定点， 点A的坐标为， ， 四边形是平行四边形，且其面积是6， ，， ， 点C的坐标为， 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 解得； 【小问2详解】 解：①由（1）得一次函数解析式为， 反比例函数解析式为：， 令 解得或， 点C的坐标为， 另一个交点的横坐标为6， 将代入，得， 另一个交点的坐标为； ② 由图可得，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图所示，当直线经过点C时，t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值， 将点代入，得， 解得； 将点代入，得， 解得， 若直线与四边形有交点时，t的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解集等，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 22. 如图，在中，，于点D，过点C 作与边相切于点E， 交于点F，为的直径 （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角形函数，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）与边相切于点E，为的直径，得到，由等腰三角形的性质三线合一得到，根据三角形的中位线的性质得到结论； （2）连接，由为的直径，且点F在上，得到，又因为 ，得到，推出，于是得到，得到等积式，求得，由勾股定理得，再根据平行线分线段成比例，列出比例式求解即可． 【小问1详解】 解：∵与边相切于点E，为的直径， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 连接， ∵为的直径，且点F在上， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∵ ∴， ∴， ∴． 23. 已知关于x 的二次函数（m，n为常数） （1）若二次函数图象经过A，B两点，求二次函数的表达式； （2）若，试说明该函数图象与x 轴必有两个不同的交点； （3）若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值 【答案】（1） （2）见解析 （3）或3． 【解析】 【分析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式； （2）由得，代入得函数解析式为，求出判别式即可判断； （3）确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况当时，当时，求出k的值． 【小问1详解】 将代入，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式是； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴函数解析式为， ∵， ∴，即， ∴该函数图象与x轴必有两个不同交点； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为， ∴当时， 当时有最大值，即； 当时有最小值，， ∵， ∴， 解得； 当时， 当时有最大值，即； 当时有最小值，， ∵， ∴， 解得或（舍去） 综上，k的值为或3． 24. 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： （3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 小问1详解】 延长过点F作， ∵， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ， ． ． 【小问3详解】 解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为， ． 在中， ， ． ，由（2）知，． ． ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ． 【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． 第1页/共1页 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