精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区唯亭学校2023-2024学年八年级上学期9月月考数学试题

2023-2024学年 第一学期 八年级数学学科9月综合评价练习 一、单选题 (共8小题，每小题2分， 总分16分) 1. 熊猫“冰墩墩”和灯笼“雪容融”是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物，以下“冰墩墩”和“雪容融”简笔画是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（　　） A. 4是16的算术平方根 B. 2是4的一个平方根 C. 0的平方根与算术平方根都是0 D. （﹣3）2的平方根是﹣3 3. 如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，则的周长是（　　） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 4. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 5. 如图，在中，，点为边上一点，且，则的度数为（ ） A. B. C. 32° D. 6. 中，，为上的高，且为等腰三角形，则等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图，在中，，平分交于点D，点P是上一动点，则的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB， BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为（    ）． A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° 二、填空题(每题2分，共16分) 9. 的平方根是____． 10. 小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是______． 11. 已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是______cm2． 12. 两边长为3、6的等腰三角形的周长为___________． 13. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 14. 如下图中，，平分，，，则的面积是______． 15. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为________. 16. 如图，在中，为中点，，，交于，，，那么______． 三、解答题 17. 计算 （1）； （2）． 18. 解方程 （1）； （2）． 19. 已知的算术平方根是4，的立方根是3． （1）求x，y的值； （2）求的平方根． 20. 如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短． （3）在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等． 21. 如图所示，在中，平分， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 22. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 23. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）若∠A=40°，求∠DBC的度数； （2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长． 24. 如图，，，分别是，的中点． （1）若，，求的长； （2）当时，证明：是直角三角形． 25. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设，小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． 活动一： 如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒． 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答：______；（填“能”或“不能”） （2）若，则______度； 活动二： 如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且． 数学思考： （3）若已经向右摆放了3根小棒，则______，______，______（用含的式子表示）； （4）若只能摆放4根小棒，求的范围． 26. 如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当时，求的面积； （2）当t为何值时，线段恰好平分？ （3）当t为何值时，是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年 第一学期 八年级数学学科9月综合评价练习 一、单选题 (共8小题，每小题2分， 总分16分) 1. 熊猫“冰墩墩”和灯笼“雪容融”是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物，以下“冰墩墩”和“雪容融”简笔画是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2. 下列说法错误的是（　　） A. 4是16的算术平方根 B. 2是4的一个平方根 C. 0的平方根与算术平方根都是0 D. （﹣3）2的平方根是﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根和平方根的定义逐项分析即可，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 【详解】解：A、4是16的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； B、2是4的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； C、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，故此选项不符合题意； D、（﹣3）2的平方根是±3，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键． 3. 如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，则的周长是（　　） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长是：． 故选B． 【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键. 4. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 5. 如图，在中，，点为边上一点，且，则的度数为（ ） A. B. C. 32° D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设，根据，，得出，，，最后根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】设， ， ，， ， ， ， ，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角定理并能灵活运用． 6. 中，，为上的高，且为等腰三角形，则等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，应该考虑两种情况，①在内部；在外部．分别结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：如图所示，在内部， ∵，为上的高， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在外部， ∵，为上的高， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 所以等于或． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的计算．注意分类讨论．此类题一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数． 7. 如图，在中，，平分交于点D，点P是上一动点，则的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】在上截取，利用全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在上截取，连接， 平分， ， 在与中， ， ， ， ∴点A、E关于成轴对称， 连接交于P， 此时有最小值， ， , 最小值． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，关键是利用全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答． 8. 已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB， BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为（    ）． A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】根据△DEB′是△BDE沿直线DE翻折得到的，得到∠B=∠B′，根据等边三角形的性质可得∠A=∠C=∠B=60°，根据三角形内角和定理可求得∠AFD=40°，继而可求得∠∠B′GF=80°，再根据对顶角的性质即可求得答案. 【详解】∵△DEB′是△BDE沿直线DE翻折得到的， ∴∠B=∠B′， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠C=∠B=60°， ∵∠A+∠ADF+∠AFD=180°，∠ADF=80°， ∴∠AFD=180°-60°-80°=40°， ∵∠B′FG+∠B′GF+∠B′=180°，∠B′FG=∠AFD， ∴∠B′GF=180°-60°-40°=80°， ∴∠EGC=∠B′GF=80°， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键. 二、填空题(每题2分，共16分) 9. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 10. 小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是______． 【答案】 【解析】 【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2． 【详解】解：电子表的实际时刻是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了镜面对称，可以把数据抄下来，反过来看看，这样最直观． 11. 已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是______cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠B＝90°，△ABC的面职为即可得出结果． 【详解】解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm， ∴AB2+CB2＝100＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°， ∴△ABC的面积是＝＝24（cm2）， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 12. 两边长为3、6的等腰三角形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；由等腰三角形定义进行分类讨论：当是腰时，三边为、、，由三角形的三边关系判断，即可求解； 当是腰时，即可求解；理解等腰三角形的定义，三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：当是腰时， 三边为、、， ， 此种情况不存在； 当是腰时， 三边为、、， 周长为； 故答案：． 13. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 【答案】4 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 14. 如下图中，，平分，，，则的面积是______． 【答案】12 【解析】 【分析】作于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】解：作于点E，如图， ∵平分，，， ∴， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了角平分线的性质；关键在于知道从角平分线上一点到两条边的垂线段长度相等． 15. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为________. 【答案】20 【解析】 【分析】分情况讨论，将纸箱展开后，蚂蚁可经上表面爬到B点，也可经右侧面爬到B点．求出这两种情况所走路线的长度，比较可得答案． 【详解】将纸箱展开,当蚂蚁经右表面爬到B点,则, 当蚂蚁经上侧面爬到B点,则 比较上面两种情况,一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点,那么它所行的最短路线的长是20， 故答案为20. 【点睛】本题涉及平面展开最短路径问题和分类讨论思想,难度中等. 16. 如图，在中，为中点，，，交于，，，那么______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，连接，过点作延长线于点，由垂直平分线的性质，角平分的性质定理得到，，可证，得到，再证，得到，则有，解得，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作延长线于点， ∵为中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：10 ． 三、解答题 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算； （1）先进行零次幂、去绝对值、算术平方根运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行乘方、去绝对值、算术平方根和立方根运算，再进行加减运算，即可求解； 掌握，会利用算术平方根和立方根化简是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程； （1）若，则，据此即可求解； （2）若()，则，据此即可求解． 理解定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 19. 已知的算术平方根是4，的立方根是3． （1）求x，y的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的定义列式求出x，再根据立方根的定义列式求出y即可； （2）把x和y的值代入代数式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是4， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了立方根的定义，平方根和算术平方根的定义，熟记概念并求出x、y的值是解题的关键． 20. 如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短． （3）在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作． （2） 解：如图，点P即为所求作． 理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短； （3） 解：如图，点Q即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图、角平分线的性质： （1）利用格点找出三个顶点关于直线l对称点，顺次连接即可； （2）当点P在直线l和交点处时，，为最小值； （3）利用格点找出的角平分线与直线l的交点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图所示，在中，平分， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记等腰三角形的判定是解本题的关键； （1）先证明，再证明，可得，从而可得答案； （2）先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 22. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案． 【详解】解：在中，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 23. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）若∠A=40°，求∠DBC的度数； （2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长． 【答案】（1）30° （2）32 【解析】 【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数． （2）由△CBD的周长为20，推出AC+BC=20，根据AB=2AE=12，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C=70°， ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=40°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°． 【小问2详解】 ∵MN垂直平分AB， ∴AD=DB， ∵BC+BD+DC=20， ∴AD+DC+BC=20， ∴AC+BC=20， ∵AB=2AE=12， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 24. 如图，，，分别是，的中点． （1）若，，求的长； （2）当时，证明：是直角三角形． 【答案】（1） （2） 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形特征得出，因为，点是的中点，垂直且平分，利用勾股定理可以得出的长，即可得出最后结果； （2）根据等腰三角形外角性质，可得到，，再根据，可得，可证是直角三角形． 【小问1详解】 解：，，分别是，的中点， ， 在中，，点是的中点， 垂直且平分， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质以及等腰直角三角形的判定的运用，熟记各性质是解题的关键． 25. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设，小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． 活动一： 如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒． 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答：______；（填“能”或“不能”） （2）若，则______度； 活动二： 如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且． 数学思考： （3）若已经向右摆放了3根小棒，则______，______，______（用含的式子表示）； （4）若只能摆放4根小棒，求的范围． 【答案】（1）能；（2）；（3）；；；（4） 【解析】 【分析】（1）因为角的两条边为两条射线，没有长度限制，所以小棒可以无限摆下去； （2）根据直角三角形的性质、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，即可推出； （3）根据三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可推出，即可推出，同理即可推出，； （4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）∵角的两边为两条射线，没有长度限制， ∴小棒可以无限摆下去； （2）∵，， ∴为等腰三角形，， ∴； （3）∵，, ∴， ∴， ∴； （4）∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质， ∴ 解得，． 【点睛】本题考查了射线的性质、等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，解题的关键在于找到等量关系，求相关角的度数． 26. 如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当时，求的面积； （2）当t为何值时，线段恰好平分？ （3）当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）18cm2；（2）3；（3）6秒或13秒或12秒或10.8秒时 【解析】 【分析】（1）根据题意求出CP，根据三角形面积公式计算； （2）作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PC=PD，根据勾股定理列式计算； （3）分CA=CP、PA=PC、AC=AP、AC=CP四种情况，根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：（1）由题意得，当t=2时，CP=2，则BP=8-2=6， ∴△ABP的面积=×BP×AC=×6×6=18（cm2）； （2）当线段AP恰好平分∠CAB时，作PD⊥AB于D， ∵线段AP平分∠CAB，∠ACB=90°，PD⊥AB， ∴PC=PD，AC=AD=6， ∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8， ∴AB==10， ∴BD=AB-AD=4， 在Rt△BPD中，PB2=PD2+BD2，即（8-PC）2=PC2+42， 解得，PC=3， ∴当t=3时，线段AP恰好平分∠CAB； （3）当CA=CP时，CP=6cm， ∴t=6÷1=6秒； 当PA=PC时，∠PAC=∠PCA， ∵∠PAC+∠B=90°，∠ACP+∠PCB=90°， ∴∠PCB=∠PBC， ∴PA=PC=PB=5cm， ∴t=（CB+BP）÷1=13秒； 当AC=AP时，AP=6cm，AB=10cm， ∴PB=AB-AP=4cm， ∴t=（CB+BP）÷1=12秒； 当AC=CP时，作CD⊥AB于点D， △ABC的面积=×AC×BC=×AB×CD，即×6×8=×10×CD， 解得，CD=4.8， 在Rt△ACD中，AD==3.6， ∴AP=2AD=7.2， ∴BP=AB-AP=2.8， ∴t=（CB+BP）÷1=10.8秒； 综上所述，当t为6秒或13秒或12秒或10.8秒时，△ACP是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握勾股定理和等腰三角形的性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $