高一上学期期中模拟卷（1）-2024-2025学年高中数学高一上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）》（人教A版2019）

高一上学期期中模拟卷（1） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设命题p：，，则p的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知集合，且，则(    ) A. 1 B. 或1 C. 3 D. 3.若函数的定义域是，则函数的定义域是 A. B. C. D. 4.设函数，用表示，中的较大者，记为，则的最小值是(    ) A. B. 1 C. 2 D. 4 5.已知函数的定义域为R，，则(    ) A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 6.命题“，使得”成立的一个必要不充分条件可以是(    ) A.   B. C. D. 7.若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 8.已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为(    ) A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知关于x的不等式的解集是，则(    ) A. B. C. D. 不等式的解集是或 10.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 若，，则 11.对于任意的，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是(    ) A. 函数，的图象关于原点对称 B. 函数，的值域为 C. 对于任意的x，，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为__________. 13.已知函数是定义在R上的奇函数，时，，则函数在R上的解析式为__________. 14.已知函数若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数的定义域为A，集合， 求 若是的充分条件，求实数a的取值范围. 16.本小题15分 函数是定义在上的奇函数，且 判断在上的单调性，并用定义证明; 解关于t的不等式 17.本小题15分 以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且每百台高级设备售价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. 求企业获得年利润万元关于年产量百台的函数关系式; 当年产量为多少时，企业所获年利润最大?并求最大年利润. 18.本小题17分 已知函数 当时，求的解集； 是否存在实数x，使得不等式对满足的所有a恒成立？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由. 19.本小题17分 “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有"若函数的图像关于点对称，且当时， 求的值; 设函数 ⅰ证明：函数的图像关于点对称;ⅱ若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第10页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上学期期中模拟卷（1） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设命题p：，，则p的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知集合，且，则(    ) A. 1 B. 或1 C. 3 D. 3.若函数的定义域是，则函数的定义域是 A. B. C. D. 4.设函数，用表示，中的较大者，记为，则的最小值是(    ) A. B. 1 C. 2 D. 4 5.已知函数的定义域为R，，则(    ) A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 6.命题“，使得”成立的一个必要不充分条件可以是(    ) A.   B. C. D. 7.若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 8.已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为(    ) A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知关于x的不等式的解集是，则(    ) A. B. C. D. 不等式的解集是或 10.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 若，，则 11.对于任意的，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是(    ) A. 函数，的图象关于原点对称 B. 函数，的值域为 C. 对于任意的x，，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为__________. 13.已知函数是定义在R上的奇函数，时，，则函数在R上的解析式为__________. 14.已知函数若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数的定义域为A，集合， 求 若是的充分条件，求实数a的取值范围. 16.本小题15分 函数是定义在上的奇函数，且 判断在上的单调性，并用定义证明; 解关于t的不等式 17.本小题15分 以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且每百台高级设备售价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. 求企业获得年利润万元关于年产量百台的函数关系式; 当年产量为多少时，企业所获年利润最大?并求最大年利润. 18.本小题17分 已知函数 当时，求的解集； 是否存在实数x，使得不等式对满足的所有a恒成立？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由. 19.本小题17分 “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有"若函数的图像关于点对称，且当时， 求的值; 设函数 ⅰ证明：函数的图像关于点对称;ⅱ若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，属于基础题. 由含有一个量词的命题的否定知识进行判断即可. 【解答】 解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题， 命题p：，，它的否定为：， 故选： 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查元素与集合间的关系，集合中元素的特性，属于基础题. 【解答】 解：集合，且， 或， 解得，或， 当时，，不合题意； 当时，符合题意. 综上， 故选： 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查抽象函数定义域，属于基础题. 由题意可得，即可得到答案. 【解答】 解：由函数的定义域是，函数， 可得，解得 故函数的定义域是 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】  本题主要考查了函数的最值，函数的定义域与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 由题意，可得，，则通过比较，，可得，由此利用一次函数与二次函数的性质分别求出最小值，进而可得答案. 【解答】 解：令，解得或， 则 当或时，， 当时，函数没有最小值， 综上：函数的最小值为1， 故选： 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的函数值求解，抽象函数的解析式求解，函数的奇偶性，属于中档题. 利用赋值法，分别可求，，，和，从而可判断出各个选项的正误. 【解答】 解：令时，， 即①， 令，时，， 即②， 联立①②，解得，， 令，时，，解得， 令时，，整理可得， 令时，，定义域为R， 故为奇函数，故A，B，C错误，D正确. 故答案为 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断、全称量词和不等式的恒成立问题， 先由恒成立得得出a的取值范围，此范围应为选项的真子集，即可得出结论. 【解答】 解：命题“，使得”成立， 则，解得， 由， 所以是命题“，使得”成立的一个必要不充分条件， 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的奇偶性，单调性和不等式求解，属于中档题． 根据奇偶性和单调性可得或，从而即可得不等式的解集． 【解答】 解：因为偶函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 因为， 由得，或， 解得或， 解得或， 即解集是 故选 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查解决不等式恒成立问题，是中档题. 由已知及基本不等式可得，将问题转化为，计算即可. 【解答】 解：因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数a，b都成立， 所以，即，整理得， 解得，所以正数x的最大值为 9.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属于中档题． 由二次不等式的解集可得二次方程的解，且，进而判断A，B，C的真假，D中两边除以a，整理可得不等式，进而求出解集，判断D的真假． 【解答】 解：由不等式的解集可得，且二次方程的根为1，3，故A正确； 所以，，即，， 故，即，故B正确； 因为，由，，可得，， 因为，所以， 即，故C错误； 所以不等式整理可得， 即，解得或， 所以不等式的解集或，故D正确. 故选： 10.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了交集运算、并集运算、元素与集合的关系，是基础题. 先得出集合A为奇数集，集合B为偶数集，再根据交集运算、并集运算、元素与集合的关系逐一判定即可. 【解答】 解：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 可得，， 若，，则， 故选 11.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查函数的新定义，取整问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 直接利用取整问题的应用判断A、B、C、D的结论． 【解答】 解：对选项 A，当时，， 当时，，， 所以，不是奇函数，不关于原点对称，故A错误； 对选项B，因为，所以， 所以的值域为故B正确． 对选项C，，，，所以， 则，故C正确． 对选项D，不等式即，所以， 所以，即不等式的解集为，故D正确. 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查幂函数的定义，一元二次方程的解法，幂函数的单调性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 首先利用幂函数的系数为1求出m的两个值，进一步利用幂函数的单调性求出结果． 【解答】 解：由于幂函数在上单调递减， 令，整理得，解得或 当时，函数，故函数在上单调递增， 当时，函数，故函数在上单调递减，符合题意． 故m的值为： 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用函数的奇偶性求解析式，属于一般题． 根据题意，由奇函数的性质可得，设，有，由函数的解析式可得的解析式，结合函数的奇偶性可得，综合即可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则， 因为时，， 设，有， 则， 又由函数为奇函数， 则， 则 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查分段函数与不等式，属于一般题. 解，得，然后对a进行分类讨论，结合图像即可求解. 【解答】 解：由，得， 当时，，不等式无解; 当时，由得，此时不合题意. 当时，由得， 若不等式恰有一个整数解，则整数解为， 又，，再结合图像知 ， 则实数a的范围是 15.【答案】解：由得，即 所以 所以 由题意可知：， 由可知 所以，解得：， 所以实数a的取值范围为  【解析】本题考查交集、补集的混合运算，充分条件与集合间的关系，属于中档题. 根据函数定义域的求法可求得集合 A ；解一元二次不等式可求得集合 B ，由补集和交集定义可求得结果； 根据包含关系列不等式求得结果. 16.【答案】解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得， 经检验时，， 所以是定义在上的奇函数，满足题意， 因为， 解得， 故，，在上为增函数. 证明如下：  在上任取，且， 则， 因为，，，， 所以， 即，所以在上为增函数; 因为为奇函数，所以， 不等式可化为，即， 又在上是增函数， 所以， 解得， 所以关于t的不等式解集为   【解析】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，函数单调性的判断方法，利用函数性质解不等式，属于中档题. 根据函数的奇偶性和代入即可得a，b的值，从而利用单调性定义即可证明； 利用函数的单调性和奇偶性即可得，从而即可得t的取值. 17.【答案】解：当时， 当时，， 所以 当时，， 所以当时，， 当时，， 当且仅当时取等号，即时取等号， 因为，所以， 故当年产量为30百台时，企业所获利润最大，最大利润为400万元.  【解析】本题考查利用分段函数的模型解决实际问题，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 根据利润、成本、收入之间的关系，分类讨论，即可得出答案； 当时，结合二次函数的性质求出函数的最大值；当时，利用基本不等式求出函数的最大值，比较大小，即可得出答案． 18.【答案】解：时，函数， 不等式，即为， 即， 解得， 不等式的解集为 设，， 根据题意知，在上恒成立， ①当时，解得， 若，则在上单调递增， 则，不符合题意； 若，则 在 上单调递减， 则，不符合题意； ②当，即时，的图像为开口向下的抛物线， 要使在上恒成立，需， 即，解得或， 又，此时无解； ③当，即或时，的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为， 当，即时，在上单调递增， ，解得或， ，，此时无解； 当，即或时， 在上单调递减，在上单调递增， ，此时无解； 当，即时，在上单调递减， ，解得或， ，，此时无解； 综上，不存在符合题意的实数   【解析】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解不含参的一元二次不等式的问题，属于较难题. 求解一元二次不等式即可； 关于a的不等式恒成立问题转化为关于a的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可. 19.【答案】解：因为函数的图像关于点对称， 则， 令，可得 证明：由， 得， 所以函数的图像关于点对称. ，易知函数在上单调递增， 所以， 不妨设在上的值域为A， 对任意，总存在，使得成立，则， 当时，，且， 当，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，，所以， 所以，由，可得 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得或， 因为，所以，， 又，，所以，， 所以当时，成立. 当，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知在上单调递减，因为，， 所以，所以， 由，可得解得 综上所述，实数a的取值范围为  【解析】本题考查函数的对称性、单调性、恒成立和存在性问题，属于较难题. 利用函数的图像关于点对称即可求解; 求证即可得证; 求出，设在上的值域为A，得，然后对a进行分类讨论即可求解. 第10页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$