高一上学期期末模拟卷（1）-2024-2025学年高一数学上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）（人教A版2019必修第一册）

高一上学期期末模拟卷（1） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.关于命题“N，”，下列判断正确的是(    ) A. 该命题是全称量词命题，且为假命题 B. 该命题是存在量词命题，且为真命题 C. ， D. ， 3.已知角的终边经过点，则 (    ) A. B. C. D. 4.幂函数经过点，则是(    ) A. 偶函数，且在上是增函数 B. 偶函数，且在上是减函数 C. 奇函数，且在上是减函数 D. 非奇非偶函数，且在上是增函数 5.若定义在R上的函数满足则“x为无理数”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知正数m，n满足，则的最大值为(    ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个四位数，依次写出该四位数中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右排成一行得到一个新的数.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数，我们称这个反复出现的数为“数字黑洞”，如果把这个“数字黑洞”设为a，则(    ) A. B. C. D. 8.设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内关于x的方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设，，，则(    ) A. B. C. D. 10.已知其中为锐角，以下判断正确的是(    ) A. B. C. D. 11.高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作如，，，记函数，则(    ) A. B. 的值域为 C. 在上有5个零点 D. ，方程有两个实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.写出一个与终边相同的负角：__________. 13.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为__________. 14.若存在实数a，，使得函数在区间上单调递增，且在区间上的取值范围为，则m的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 设全集，集合， 求图中阴影部分表示的集合； 已知集合，若，求a的取值范围. 16.本小题15分 已知函数在一个周期内的图象经过点和点，且的图象有一条对称轴为 求的解析式及最小正周期； 求的单调递增区间． 17.本小题15分 已知函数的定义域为 求a的取值范围; 当时，函数的图象始终在的图象的上方，求a的取值范围. 18.本小题17分 某地在曲线C的右上角区域规划一个科技新城，该地外围有两条相互垂直的直线形国道，为交通便利，计划修建一条连接两条国道和曲线C的直线形公路.记两条相互垂直的国道分别为，，计划修建的公路为如图所示，A，B为C的两个端点，测得点A到，的距离分别为5千米和20千米，点B到，的距离分别为25千米和4千米.以，所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系假设曲线C符合函数其中m，n为常数模型. 求m，n的值. 设公路l与曲线C只有一个公共点P，点P的横坐标为 ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域. ②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度. 19.本小题17分 已知是定义在R上的奇函数，其中a，R，且 求a，b的值； 判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； 设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查集合的运算，考查运算求解能力，是基础题. 本题首先可通过求解得出，求解得出，最后根据并集的定义可得出结果. 【解答】 解：，即， 得， ，即， 得， 则， 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了全称量词命题与存在量词命题概念、存在量词命题的否定，属基础题. 【解答】 解：命题p为存在量词命题，由，得，所以p为假命题； 命题p的否定， 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 根据题意可得，可得，进而即可得到结果. 【解答】 解：由题意可得，，因此， 所以， 因此 故选 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查幂函数的图象与性质，考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，属于基础题. 先求出解析式，进而判断即可. 【解答】 解：设幂函数，因为幂函数经过点， 所以，解得，即， 由二次函数的图象可判断是偶函数，且在上是增函数， 故选 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了充分、必要、充要条件的判断，涉及求分段函数的函数值，属基础题. 【解答】 解：当x为无理数时，为有理数，则， 当x为有理数时，为有理数，则， 故“x为无理数”是“”的充分不必要条件. 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值，属于中档题. 在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值. 【解答】 解：因为 m，n为正数，则 ，当且仅当时，等号成立， 因为， 所以，在等式两边同时乘以，可得： ， 即，解得， 当且仅当时，即当时，取得最大值 故选： 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查诱导公式，涉及新定义，属于基础题. 【解答】 解：根据“数字黑洞”的定义，任取一个四位数2021，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即，则 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查方程的根，考查了函数的奇偶性与周期性，属于较难题. 由已知中可以得到函数是一个周期函数，且周期为4，得到在区间内函数和的图象恰有三个交点，利用数形结合即可得到实数a的取值范围. 【解答】 解：因为是定义在R上的偶函数，所以， 又，所以函数关于直线对称，即， ，则函数的周期为4，且当时，， 分别画出和的图象，如图： 若在区间内关于x的方程恰有三个不同的实数根， 则在区间内函数和的图象恰有三个交点， 则需满足，即，解得， 故选 9.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属于中档题. 【解答】 解：因为，，所以， 即因为，所以 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查了两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，属中档题. 由同角三角函数关系可判定A；由结合两角差的余弦公式可判定B；展开和，联立得出和，可判定C、 【解答】 解：由，，则， 又因为则，故A正确； ， 可得 ，故B错误； 则①， 又因为， 所以②， 由①②得，， 所以，故C正确，D错误. 故选 11.【答案】BD  【解析】【分析】 本题主要考查函数的新定义问题，属于中档题. 【解答】 解：，选项A错误; 的图象如图1所示， 由图易知，的值域为，选项B正确; 在上有6个零点，选项C错误; 如图2，，函数与的图象有两个交点，即方程有两个根，选项D正确. 12.【答案】答案不唯一  【解析】【分析】 本题考查终边相同的角，及负角，属于基础题. 【解答】 解：由终边相同的角的定义可知，，，且，或，，且，结合题意可写：答案不唯一 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属基础题. 【解答】 解：因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且，则 所以关于x的不等式即， 化简为，解得 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的性质，涉及单调性，值域，属于中档题. 【解答】 解：如图，可知在上单调递增，在上单调递减. 当时，在上单调递增，则 所以关于x的方程，即在内有两个不 等实根.令，则，结合图象可知 15.【答案】解：，，或， ， ， 所以图中阴影部分表示的集合为； 当时，，即时，满足题意； 当时，即时， 由题意可得，或， 又，， 综上：，即a的取值范围为  【解析】本题主要考查集合的运算，含参数的集合关系的问题，属于中档题．图中阴影部分表示，根据交集、补集的定义计算可得； 依题意分与两种情况讨论，列出不等式求解即可． 16.【答案】解：函数在一个周期内的图象经过点，， 且的图象有一条对称轴为直线， 故最大值，且， ，， 所以 因为的图象经过点， 所以，所以， 因为，所以， 所以 因为， 故由，， 求得，， 即的单调递增区间为  【解析】本题考查函数的图象与性质，属于中档题. 由题意利用正弦函数的图象和性质先求出正弦函数的解析式，从而利用正弦函数的周期性得出结论． 根据函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求出它的单调递增区间． 17.【答案】解：因为的定义域为，即关于x的不等式在上恒成立， 所以， 当时，取得最小值为1，则， 所以，即a的取值范围为； 当时，要使的图象始终在图象的上方，则恒成立. 因为在上单调递减，由复合函数单调性可得在上单调递增， 所以，即， 则解得或， 即a的取值范围为  【解析】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式、对数型函数的定义域、解一元二次不等式等知识，属中档题. 18.【答案】解：依题意，，，将其代入， 得，解得 ①设，则消去y，得， 因为直线l与曲线C只有一个公共点，所以，※ 且，即，代入※式，得， 所以，，所以直线，由此得， 故， ②， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，公路l的长度最短，最短长度为千米.  【解析】本题主要考查函数模型的应用及利用基本不等式求最值，属于较难题. 19.【答案】解：因为是定义在R上的奇函数，所以，解得， 又因为，所以，解得 在上单调递减. 证明如下： 设，则， 因为，所以，，， 所以在上单调递减. 由可知在上单调递减， 所以，， 记在区间内的值域为 当时，在上单调递减，则，， 得在区间内的值域为 因为，所以对任意的，总存在，使得成立 当时，，在上单调递减，则，，得在区间内的值域为 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为，所以无解. 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为不符合题意. 当时，， 易得在上单调递减，，， 故在上的值域为，且，故，显然成立. 综上，m的取值范围为  【解析】本题考查函数奇偶性，单调性证明，含参二次函数单调性，属于拔高题. 根据函数的奇偶性结合的值求解a，b的值即可; 利用单调性的定义证明即可; 根据不等式恒成立的条件结合含参二次函数单调性求解即可. 第13页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上学期期末模拟卷（1） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.关于命题“N，”，下列判断正确的是(    ) A. 该命题是全称量词命题，且为假命题 B. 该命题是存在量词命题，且为真命题 C. ， D. ， 3.已知角的终边经过点，则 (    ) A. B. C. D. 4.幂函数经过点，则是(    ) A. 偶函数，且在上是增函数 B. 偶函数，且在上是减函数 C. 奇函数，且在上是减函数 D. 非奇非偶函数，且在上是增函数 5.若定义在R上的函数满足则“x为无理数”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知正数m，n满足，则的最大值为(    ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个四位数，依次写出该四位数中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右排成一行得到一个新的数.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数，我们称这个反复出现的数为“数字黑洞”，如果把这个“数字黑洞”设为a，则(    ) A. B. C. D. 8.设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内关于x的方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设，，，则(    ) A. B. C. D. 10.已知其中为锐角，以下判断正确的是(    ) A. B. C. D. 11.高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作如，，，记函数，则(    ) A. B. 的值域为 C. 在上有5个零点 D. ，方程有两个实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.写出一个与终边相同的负角：__________. 13.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为__________. 14.若存在实数a，，使得函数在区间上单调递增，且在区间上的取值范围为，则m的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 设全集，集合， 求图中阴影部分表示的集合； 已知集合，若，求a的取值范围. 16.本小题15分 已知函数在一个周期内的图象经过点和点，且的图象有一条对称轴为 求的解析式及最小正周期； 求的单调递增区间． 17.本小题15分 已知函数的定义域为 求a的取值范围; 当时，函数的图象始终在的图象的上方，求a的取值范围. 18.本小题17分 某地在曲线C的右上角区域规划一个科技新城，该地外围有两条相互垂直的直线形国道，为交通便利，计划修建一条连接两条国道和曲线C的直线形公路.记两条相互垂直的国道分别为，，计划修建的公路为如图所示，A，B为C的两个端点，测得点A到，的距离分别为5千米和20千米，点B到，的距离分别为25千米和4千米.以，所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系假设曲线C符合函数其中m，n为常数模型. 求m，n的值. 设公路l与曲线C只有一个公共点P，点P的横坐标为 ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域. ②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度. 19.本小题17分 已知是定义在R上的奇函数，其中a，R，且 求a，b的值； 判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； 设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围． 第13页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$