2024年中考数学复习主从联动模型/瓜豆模型知识点精讲

主从联动模型/瓜豆模型 “主从联动模型”也叫“瓜豆模型”，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆“.这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫做从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）. 知识点 一、直线轨迹 条件 定点A，动点P和Q，∠PAQ=α，为定值k，点P在直线BC上运动 A，Q，P 三点共线 A，Q，P 三点不共线 结论 当点P的轨迹在直线上时，点Q的轨迹在直线上： （1）P，Q两点轨迹所在直线的夹角等于α； （2）P，Q两点轨迹长度之比等于AP：AQ 证明 （1）A，Q，P三点共线 根据已知条件，易证△AQQ′∽△APP′ ∴= = k QQ′//PP′ ∵点P在直线BC上运动 ∴点Q的运动轨迹为平行于直线BC的直线 ∴P，Q两点轨迹所在直线的夹角等于0° （2）A，Q，P三点不共线 ∵∠PAQ=∠P′AQ′，∴∠PAP′=∠QAQ′ ∵= = k，∴△AQQ′∽△APP′ ∴= = k ∠AQ′Q=∠AP′P ∴∠Q′AP′=∠Q′KP′=α（K为PP′与QQ′的交点） ∴点Q的轨迹为与直线BC夹角为60°的直线 二、圆轨迹 条件 定点A，动点P和Q，∠PAQ=α，为定值k，点P在⊙O上运动 A，Q，P 三点共线 A，Q，P 三点不共线 结论 当点P的轨迹在圆上时，点Q的轨迹在圆上： （1）两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角，即∠PAQ=∠OAM=α； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即= = = k 证明 （1）A，Q，P三点共线 连接AO，在AO上取一点M，使 = k 易证△AOP∽△AMQ ∴= = = k ∴QM=为定值 ∴点Q的轨迹为以M为圆心，为半径的圆 ∵A，M，O三点共线，∴P，Q两点轨迹所在圆的圆心与点A连线的夹角等于0° （2）A，Q，P三点不共线 如下左图，将点O绕点A逆时针旋转α到点O′，连接AO′，在AO′上取一点M，使 = k ∵∠PAQ=∠OAO′ ∴∠QAO′=∠PAO ∵= = k，∴△AQM∽△APO ∴= = = k ∴QM=为定值 如下右图，移动点P得到点P′和Q′， 同理可证△AQ′M∽△AP′O， 可得Q′M= =为定值 ∴点Q的轨迹为以M为圆心，为半径的圆 ∴∠PAQ=∠OAM=α 【解题思路】 （1）直线轨迹不共线 ①找到主动点轨迹所在直线与经过定点的直线的交点N，且其夹角为定值（常见60°、90°） ②将点N绕定点沿着相同方向旋转α ③证明三角形全等或三角形相似，从而得到角相等，证明从动点轨迹为直线，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. （2）圆轨迹 ①连接主动点轨迹圆心与定点，得到线段 ②将线段绕着定点沿着相同方向旋转α（共线就是0度），根据AP与AQ的比值，在线段上找到从动点轨迹圆心 ③证明三角形全等或三角形相似，从而得到从动点到某定点的距离始终为定值，证明从动点轨迹为圆，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 【解题技巧】当主动点轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的从动点，连线即可得到从动点的运动轨迹 例题——直线轨迹共线 如图，在△ABC中，BC=6，点P在线段BC上移动，点Q为AP上靠近点A的三等分点，当点P由点B移动到点C时，点Q的运动轨迹长为_______. 答案解析 答案：2 证明： 过点Q作MN//BC，交AB于点M，交AC于点N， 则有：= = = 线段MN即为点Q的运动轨迹 根据“主从联动”模型得： = = ∵BC=6 ∴MN=2 即点Q的运动轨迹长为2 例题——直线轨迹不共线 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，F是AC的中点，连接EF，若AB=4，则EF的最小值是_______. 答案解析 答案：√3 证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形 ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60° ∴∠BAD=∠CAE ∴△ABD≌△ACE ∴∠ABD=∠ACE ∵∠ABD=60° ∴∠ACE=60° ∴点D在运动过程中，∠ACE始终等于60° ∴点E的运动轨迹在射线CE上 ∵F为AC的中点，∴当EF⊥CE时，EF的长最小， ∵AC=AB=4，F为AC的中点， ∴AF=CF=2 ∴EF最小=CF·sin60°=√3 【对应解题思路】 ①找到主动点轨迹所在直线BC与经过定点的直线AB的交点B，且其夹角为定值60° ②将点B绕定点沿着相同方向旋转60°，即点C ③证明三角形全等（△ABD≌△ACE），从而得到角相等（∠ABD=∠ACE=60°），证明从动点轨迹为直线，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 例题——直线轨迹不共线 如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为_______. 答案解析 答案：1+√2 证明：将线段BE绕着点E旋转45°得到EH，连接GH，作EK⊥GC于点K ∵∠BEH=∠FEG=45° ∴∠BEF=∠HEG 易证△BFE≌△HGE ∴∠GHE=∠B=90° ∴点G的轨迹为垂直于EH的射线 当CG⊥HG时，CG取最小值 ∵∠H=∠HGK=∠GKE=90° ∴四边形HEGK为矩形 ∴GK=HE=BE=1 ， ∠HEK=90° ∵∠BEH=45° ∴∠KEC=45° ∴KC=EC/√2=√2 CG最小=1+√2 【对应解题思路】 ①找到主动点轨迹所在直线AB与经过定点的直线BC的交点B，且其夹角为定值90° ②将点B绕定点E沿着相同方向旋转45°，即点H ③证明三角形全等（△BFE≌△HGE），从而得到角相等（∠FBE=∠GHE=90°），证明从动点轨迹为直线，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 例题——直线轨迹不共线 如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_______. 答案解析 答案： （方法与上题类似） 【对应解题思路】 ①找到主动点轨迹所在直线AB与经过定点的直线BC的交点B，且其夹角为定值90° ②将点B绕定点E沿着相同方向旋转60°，即点H ③证明三角形全等（△BFE≌△HGE），从而得到角相等（∠FBE=∠GHE=90°），证明从动点轨迹为直线，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 例题——直线轨迹不共线 如图，在矩形ABCD中，AB=11，BC=6，E为AB上一点，且AE=2，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰Rt△EFG，EF=EG，连接CG，则的最小值为CG__________. 答案解析 证明：过点G作GH⊥AB于点H，过点G作MN//AB，分别交AD，BC于点M，N ∵四边形ABCD是矩形，AB=11，BC=6 ∴CD=11，AD=6 ∵AE=2，∴BE=9 ∵∠GHE=∠A=∠GEF=90° ∴∠GEH+∠EGH=90° ∠GEH+∠FEA=90° ∴∠EGH=∠FEA ∵GE=EF ∴△GEH≌△EFA（AAS） ∴GH=AE=2 【点F在任意位置，均可以得到此结论】 ∴点G在平行于AB且在AB上方到AB距离为2的直线MN上运动 ∴当点F与点D重合时，CG有最小值，此时AF=EH=6 ∴CG= 即CG的最小值为5. 【对应解题思路（与答案略有不同）】 ①找到主动点轨迹所在直线AD与经过定点的直线AE的交点A，且其夹角为定值90° ②将点A绕定点E沿着相同方向旋转90°，即点A1 ③证明三角形全等（△EFA≌△EGA1），从而得到角相等（∠FAE=∠GA1E=90°），证明从动点轨迹为直线，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 例题——圆轨迹共线 如图，⊙O的直径AB=4，P为⊙O上的动点，连接AP，Q为AP的中点，若点P在⊙O上运动一周，则点Q经过的路径长是________. 答案解析 答案：2π 证明： 如图，连接OQ，∵AB=4，∴AO=2 ∵Q为AP的中点，∴OQ⊥AP ∴∠AQO=90° ∴点Q在以AO为直径的圆上运动 ∴点Q经过的路径长为2π 在不同题目中，对于从动点轨迹形状的证明可以有不同方法. 【对应解题思路（与答案不同）】 ①连接主动点轨迹圆心O与定点A，得到线段AO ②因为A，Q，P三点共线，所以直接根据AP与AQ的比值2:1，在线段AO上找到从动点轨迹圆心M（线段AO中点） ③连接MQ，OP，证明三角形相似△AMQ∽△AOP，从而得到从动点Q到定点M的距离MQ始终为定值OP/2，证明从动点轨迹为圆，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 例题——圆轨迹共线 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为________. 答案解析 答案：5 解析：点M的运动轨迹为以AB中点O为圆心，1.5为半径的圆 CM最小=6.5-1.5=5 【对应解题思路】 ①连接主动点轨迹圆心A与定点B，得到线段AB ②因为B，M，D三点共线，所以直接根据BD与BM的比值2:1，在线段AB上找到从动点轨迹圆心O（线段AB中点） ③连接MO，AD，证明三角形相似△BOM∽△BAD，从而得到从动点M到定点O的距离OM始终为定值AD/2，证明从动点轨迹为圆，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 例题——圆轨迹共线 如图，正比例函数y=-3x的图象与反比例函数y=（k<0）的图象交于A，B两点，点P是以C（3，0）为圆心，2为半径的⊙C上一点，连接AP，点Q是AP的中点，若OQ长的最大值为，则k的值为__________. 答案解析 答案： 证明：如图，连接BP，由对称性得：OA=OB， ∵Q是AP的中点，∴OQ=BP ∵OQ长的最大值为 ∴BP长的最大值为5，当BP过圆心C时，BP最长，过点B作BD⊥x轴于点D ∵CP=2，∴BC=3 ∵点B在直线y=-3x上，设B（t，-3t），则CD=3-t，BD=3t， 在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2 ∴32=(3-t)2+(3t)2 解得t= ∴B（，- ） ∵点B在反比例函数y=（k<0)的图象上，∴k= ×(- )= 【对应解题思路（与答案不同）】 ①连接主动点轨迹圆心C与定点A，得到线段AC ②因为A，Q，P三点共线，所以直接根据AP与AQ的比值2:1，在线段AC上找到从动点轨迹圆心M（线段AC中点）（本题可以设A点坐标为（t，-3t），然后求出M坐标为（，） ③连接MQ，CP，证明三角形相似△AMQ∽△ACP，从而得到从动点Q到定点M的距离MQ始终为定值CP/2，证明从动点轨迹为圆，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 例题——圆轨迹不共线 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，5）. （1） 求抛物线的解析式； （2） 若点P在以点B为圆心，2为半径的⊙B上，⊙B与x轴交于D，E两点（点D在点E左侧），连接AP，以AP为边在AP下方作等腰Rt△APQ，且∠PAQ=90°，连接EQ，求EQ长度的取值范围. 答案解析 证明： （1）将点A，C代入易得抛物线的解析式为y=x2-6x+5 （2）如图，将点B绕点A顺时针旋转90°到点B′，连接AB′，PB，B′Q， ∵∠B′AQ+∠BAQ=90°，∠PAB+∠BAQ=90° ∴∠B′AQ=∠BAP ∵AB=AB′，AP=AQ ∴△AQB′≌△APB（SAS）∴BP=B′Q ∵PB=2，∴B′Q=2 ∴点Q在以点B′为圆心，2为半径的圆上运动， 由（1）得B（5，0），A（1，0） ∴B′（1，-4），AB′=4 ∵BE=2，∴点E（7，0），AE=6 ∴B′E==2√13 ∴EQ的最大值为2√13+2，最小值为2√13-2 ∴2√13-2≤EQ≤2√13+2 【对应解题思路（与答案不同）】 ①连接主动点轨迹圆心B与定点A，得到线段AB ②将线段AB绕着定点A顺时针旋转90°到点B′，根据AP与AQ的比值1:1，在线段AB′上找到从动点轨迹圆心B′ ③连接B′Q，BP，证明三角形相似△AB′Q≌△ABP，从而得到从动点Q到定点B′的距离B′Q始终为定值BP，证明从动点轨迹为圆，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 例题——圆轨迹不共线 如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P为⊙O上的一个动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为__________. 答案解析 证明：将线段OC绕着定点C顺时针旋转60°到O′C，取其中点为M，即 =2，连接DM，OP，OM，OO′在Rt△PCD，∠DCP=60°，PC为斜边， ∴∠CDP=90°，∠DPC=30° ∴ =2 ∵∠OCO′=60°，∠DCP=60° ∴∠OCP=∠DCM ∴△OPC∽△MDC ∴ =2，∵OP=2，∴DM=1 ∴点D在以点M为圆心，1为半径的圆上运动 当线段OD经过圆心M时，OD的长取最大值为OM+1 易证△OCO′为等边三角形，又M为O′C中点， ∴∠OMC=90°，∴OM=2√3 ∴OD最大=2√3+1 【对应解题思路】 ①连接主动点轨迹圆心O与定点C，得到线段OC ②将线段OC绕着定点C顺时针旋转60°到O′C，根据CP与CD的比值2:1，在线段CO′上找到从动点轨迹圆心M ③连接OP，DM，证明三角形相似△OPC∽△MDC，从而得到从动点D到定点M的距离DM始终为定值OP/2，证明从动点轨迹为圆，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 例题——圆轨迹不共线 如图，⊙O的直径AB=2，C为⊙O上一动点，连接CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接OD，则OD的最大值为__________. 答案解析 答案：1+√2 解析：定点B；主动点C；从动点D 定角∠CBD=45° 线段比为CB:DB=1:√2 当OD经过点M时，OD取最大值为1+√2 【对应解题思路】 ①连接主动点轨迹圆心O与定点B，得到线段OB ②将线段OB绕着定点B顺时针旋转45°到O′B，根据BC与BD的比值1:√2，在射线BO′上找到从动点轨迹圆心M ③连接OC，DM，证明三角形相似△OBC∽△MBD，从而得到从动点D到定点M的距离DM始终为定值√2OC，证明从动点轨迹为圆，并且也找到了从动点轨迹，然后根据题意进一步解题. 练习题 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠DAC=60°，点F在线段AO上从A点至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点e和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长为__________. 答案：2√3 已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度取最小值时，DE的长度为__________. 答案： 如图，已知点A是第一象限内的一个定点，点P是以O为圆心、1个单位长度为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边在AP右侧作等边三角形APB. 当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是__________. 答案：2π 如图，线段AB=2，点C为一个动点，且∠ACB=90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为__________. 答案： 解析：本质为定点A，主动点C，从动点Q，∠CAQ=90°，AC：AQ=2:1 本题点C的运动轨迹为以AB为直径的圆，其圆心为AB中点D，按思路点拨，将AD旋转90°得到AD′，取其中点为E，Q点轨迹即为以E为圆心，AO/2为半径的圆. 当Q，E，B在同一条直线上时，BQ取最值. (2022年广州16题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为AD边上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′.当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为______；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为______． 答案：120° 75° 根据旋转可得，∠ABA′=60° ∴∠A′BC=30° ∵∠A′=∠A′P′C=90° ∴BA′//P′C ∴∠A′BC=∠BCP′=30° 设A′E=x P′E=y A′P′=x+y ∴BE=2x CE=2y ∴BC=2(x+y) ∴BC=2A′P′ ∵BC=2AB ∴A′P′=AB=A′B ∴∠A′P′B=45° ∴∠A′P′P=15° ∴∠PP′C=75° 学科网（北京）股份有限公司 $$