新课预习衔接：数学广角——集合（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学人教版

数学广角——集合 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】前言部分 目录导航 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数 原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 第二部分 典型例题 例题1：某小学有115人参加了音乐、美术兴趣小组，其中76人参加音乐小组，54人参加美术小组，同时参加这两个小组的有多少人？ 【答案】15。 【分析】根据容斥问题公式，用参加音乐小组的人数加上参加美术小组的人数，减去总人数，就是参加两个小组的人数。 【解答】解：76+54﹣115 ＝130﹣115 ＝15（人） 答：同时参加这两个小组的有15人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 例题2：学校运动会，三（1）班参加跳绳比赛的有15人，参加接力比赛的有10人。这两项比赛都参加的有6人，三（1）班一共有多少人参加这两项比赛？ 【答案】19人。 【分析】根据容斥原理“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”，用参加跳绳的15人加参加接力比赛的10人的和，减去两项都参加的16人即得总人数。 【解答】解：15+10﹣6 ＝25﹣6 ＝19（人） 答：三（1）一共有19人参加这两项比赛。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 例题3：希望小学三（2）班课后服务时间做完语文作业的有38人，做完数学作业的47人，两种作业都做完的有31人。三（2）班一共有多少人？ 【答案】54人。 【分析】先用38加上47求出做完语文作业和做完数学作业的人数和，再减去两种作业都做完的31人（即重复计算的人数），就是三（2）班一共的人数。 【解答】解：38+47﹣31 ＝85﹣31 ＝54（人） 答：三（2）班一共有54人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 例题4：四年级128名学生去铁道游击队影视城研学，带矿泉水的有68人，带水果的有88人，每人至少带一样，既带矿泉水又带水果的有多少人？ 【答案】28人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。 【解答】解：68+88﹣128 ＝156﹣128 ＝28（人） 答：既带矿泉水又带水果的有28人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 第三部分 高频真题 1．便利店的水果架上有苹果、香蕉和梨三种水果，苹果和香蕉共39千克，其中有33千克不是苹果，有42千克不是香蕉。水果架上有多少千克香蕉？ 2．三年级（1）班有45名学生参加团体比赛，其中参加接力赛的有25人，参加拔河赛的有35人，既参加接力赛又参加拔河赛的有多少人？ 3．李老师给三（2）班出了两道数学题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有26人，第2题做对的有24人，两道题都做对的有8人，三（2）班一共有多少人？ 4．三（1）班同学每人都至少订一种杂志，有32人订了《数学王国》，有26人订了《作文天地》，其中有12人两种杂志都订了，三（1）班一共有多少人？ 5．三（1）班的小朋友到游乐园游玩（每人至少坐一种），坐旋转木马的有32人，坐小火车的有28人，两样都坐的有15人。三（1）班去游乐园的一共有多少人？ 6．学校科技节，三（1）班有18人的小制作获奖，有24人的科幻画获奖。这其中有7人这两项都获了奖。三（1）班在这次学校科技节小制作和科幻画获奖的一共是多少人？ 7．三（1）班共有36名同学订阅杂志，其中订阅《数学天地》的有21人，订阅《语文天地》的有18人，每人至少订阅一种．有多少名同学订阅了两种杂志？ 8．同学们参加课外活动小组，参加文艺小组的有27人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人。参加课外活动小组的同学共有多少人？ 9．三（3）班做完语文作业的38人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有30人，每人至少完成一种作业，三（3）班一共有学生多少人？ 10．三（3）班有46人，每人都订阅了至少一种杂志，其中25人订阅了《少年哥白尼》，32人订阅了《儿童文学》。既订阅了《少年哥白尼》又订阅了《儿童文学》的有多少人？ 11．三年级（1）班有52人，喜欢喝牛奶的有27人，喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？ 12．四年级（1）班有学生54人，他们要参加书法和音乐的培训（每人至少选择一种），其中参加书法培训的有39人，参加音乐的有37人，两项培训都参加的有多少人？ 13．三（1）班每人都订了报纸，订《小学生周报》的有25人，订《小博士报》的有21人，两种报纸都订的有9人，三（1）班一共有多少人？ 14．三（1）班的女生全部报名参加学校篮球和足球兴趣班，其中有20人报名篮球兴趣班，14人报名足球兴趣班，两种兴趣班都报名的有12人，三（1）班女生有多少人？ 15．三（1）班同学参加书画比赛，参加书法比赛的有28人，参加绘画比赛的有25人，两项都参加的有4人，参加书画比赛的有多少人？ 16．三年一班有45人，参加体育课外小组的有27人，参加音乐课外小组的有31人，每人至少参加一个课外小组，三年一班两个课外小组都参加的有多少人？ 17．某校美术社团有35名同学会剪纸，有18名同学会篆刻，其中有9名同学两种都会，美术社团有多少名同学？（先画图分析，再列式解答） 18．三年级举行趣味运动会，参加“摸石头过河”的有39人，参加“两人三足”的有53人，两项都参加的有27人。参加趣味运动会的一共有多少人？ 19．《流浪地球》和《中国机长》是我国两部优秀的电影，四年级二班有43位同学，看了《流浪地球》的有31人，看了《中国机长》的有23人，两部电影都没看的有9人。两部电影都看了的有多少人？ 20．本次运动会涌现了很多闪闪发光的志愿者。经统计，某学校的志愿者中，有18人参与了纸桥承重项目，有15人参与了“鸡蛋”撞地球项目。两个项目都参加的有7人。 （1）完成图。 （2）该学校一共有多少名志愿者参与了本次科技运动会？ （3）你还能提出其他数学问题并解答吗？ 21．六（1）班有45人，有的同学订了《小学生数学报》，有的同学订了《小学生语文学习》，两种报纸都订的至少有多少人？ 22．劳动教育是新时代党对教育的新要求，是大中小学生必须参与的教育活动，光明小学组织“农田基地”劳动，40人参加“农田除杂草”劳动，25人参加“农田施肥”劳动，其中两项都参加的有10人。参加这两项劳动的学生一共有多少人？ 23．一条公交线路从起点到终点有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人，则从前6站上车而在终点站下车的乘客有多少人？ 24．学校艺术节比赛，三（1）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人？ 25．【文明中的教学】三（2）班学生为我市争创“文明城市”参加义务劳动。已知全班共58人，帮助清洁工进行垃圾分类的有36人，帮助交警进行交通疏导的有29人，每人至少参加一种劳动。两种劳动都参加的有多少人？ 26．三（2）班有44个学生参加竞赛，其中参加数学竞赛的有30人，参加美术竞赛的有26人。既参加数学竞赛又参加美术竞赛的有多少人？ 27．三（1）班37名同学到动物园参观，其中参观金丝猴馆的有25人，参观斑马馆的有17人，既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有多少人？ 28．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？ 29．三年级有45人，参加学校滑冰比赛的有30人，参加雪雕比赛的有24人，既参加滑冰比赛又参加雪雕比赛的有12人，两项比赛都没参加的有多少人？ 30．在学校举办的运动会上，参加跳高和跳远的共有35人，其中参加跳高的有28人，参加跳远的有16人，两项都参加的有多少人？ 31．同学们收集图片．张明、李红、蔡正明、王丹、熊威、高伟、梅芳7个人收集了名山图片，吴凤、李红、王丹、戴月红、高伟这5人收集了河流图片，吴心怡、张冬、李可这3人收集了奥运图片． （1）收集名山图片和奥运图片的共有多少人？ （2）收集名山图片和河流图片的共有多少人？ 32．三（3）班参加数学竞赛的有24人，参加语文竞赛的有26人。两项都参加的有9人，两项都没参加的还有3人，三（3）班一共有多少人？ 33．四（1）班参加文艺小组的有16人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人，这个班参加课外小组的学生一共有多少人？ 34．周老师出了两道题给这个班45个学生思考，所有学生要么答对一题，要么答对两题。答对第一题的有25人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有多少人？ 35．同学们到禁毒基地参观，观看禁毒视频的有35人，参加禁毒知识竞答的有26人，两样都参加的有17人，去禁毒基地参观的一共有多少人？ 36．五年级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对第二题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？ 37．光明小学要举行跳绳．踢毽子比赛．要求每班派5名学生参加跳绳比赛，派6名学生参加踢毽子比赛． （1）每班最多可以有多少名学生参加比赛？ （2）每班最少要有多少名学生参加比赛？ （3）如果让你来安排．你会怎么安排本班学生参加比赛？ 38．三年级有108个小朋友去秋游，带矿泉水的有68人，带水果的有87人，每人至少带一种，三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？ 39．某班有48名学生，每人至少订阅一份《数学报》或《学习报》．已知的学生订阅了《数学报》，的学生订阅了两种报刊，订阅《学习报》的学生有多少人？ 40．三（2）班同学参加运动会。 三（2）班参加跳高和跑步的同学一共有多少人？ 41．星光小学喜欢摄影或运动的老师共有54人，其中喜欢摄影的有35人，喜欢运动的有32人。 （1）既喜欢摄影又喜欢运动的有多少人？ （2）请把图片补充完整。 42．实验小学三（一）喜欢篮球的有9人，喜欢足球的有15人，两种球都喜欢的有4人。 （1）填写如图； （2）喜欢足球或喜欢篮球的一共有多少人？ 43．参加某项活动的人员中有47人会说英语，有38人会说法语，两种都会的有22人，另外15人只会讲汉语．一共有多少人参加了活动？ 44．三（1）班有45人，期中考试语文得优的有33人，数学得优的有26人，所有人至少有一科得优，语文、数学都得优的有多少人？ 45．同学们到植物园游玩，参观玫瑰园的有35人，参观郁金香园的有28人，两个园都参观的有19人 （1）填写下边的图． （2）去植物园的一共有多少人？ 46．47名学生组织游泳和跳水训练，其中参加游泳的有12人，参加跳水的有15人，两项都不参加的有26人。求两项训练都参加的有多少人？ 47．甲、乙、丙三人参加“环保知识问答”，甲答对了16道题，乙答对了12道题，丙答对了18道题．甲答对的题中有6道乙也答对了，丙答对的题中有7道甲也答对了．甲和乙一共答对了多少道题？甲和丙一共又答对了多少道题？ 48．八一小学六（1）班有26人参加了美术小组，有29人参加了音乐小组，其中有13人两个小组都参加，还有8人什么组都没有参加。这个班共有学生多少人？ 49．某科研小组的32名科学家来自世界各地，其中会讲中文的有16人，会讲英文的有28人，每个人至少会讲中文或英文中的一种。 （1）两种语言都会讲的有多少人？ （2）只会讲中文的有多少人？ （3）只会讲英文的有多少人？ 50．五（1）班进行大扫除。清扫教室的有8人，擦玻璃的有15人，整理课桌的有11人，其中有3人既清扫了教室又整理了课桌。五（1）班参加大扫除的一共有多少人？ 51．三（1）班有45人，其中25人喜欢看《熊出没》，35人喜欢看《西游记》，如果每人至少选一个，有多少人两个动画片都喜欢看？ 52．三年级有224人去郊游．带面包的有159人，带方便面的有198人，每人至少带这两种食品中的一种，两种食品都带的有多少人？ 参考答案与试题解析 1．便利店的水果架上有苹果、香蕉和梨三种水果，苹果和香蕉共39千克，其中有33千克不是苹果，有42千克不是香蕉。水果架上有多少千克香蕉？ 【答案】15千克。 【分析】由题意得香蕉的重量+梨的重量＝33千克，苹果的重量+梨的重量＝42千克，用（42﹣33）求出苹果比香蕉重9千克。已知苹果的重量+香蕉的重量＝39千克，据此计算出香蕉的重量即可。 【解答】解：42﹣33＝9（千克） （39﹣9）÷2 ＝30÷2 ＝15（千克） 答：水果架上有15千克香蕉。 【点评】此题的关键是明确三种水果的重量关系，然后再进一步解答。 2．三年级（1）班有45名学生参加团体比赛，其中参加接力赛的有25人，参加拔河赛的有35人，既参加接力赛又参加拔河赛的有多少人？ 【答案】15人。 【分析】根据容斥原理，参加接力赛的人数+参加拔河赛的人数﹣总人数＝既参加接力赛又参加拔河赛的人数。 【解答】解：25+35﹣45 ＝60﹣45 ＝15（人） 答：既参加接力赛又参加拔河赛的有15人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 3．李老师给三（2）班出了两道数学题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有26人，第2题做对的有24人，两道题都做对的有8人，三（2）班一共有多少人？ 【答案】42人。 【分析】用第1题做对的加上第2题做对的减去两道题都做对的即是本班人数。 【解答】解：26+24﹣8 ＝50﹣8 ＝42（人） 答：三（2）班一共有42人。 【点评】本题考查了容斥原理的知识。 4．三（1）班同学每人都至少订一种杂志，有32人订了《数学王国》，有26人订了《作文天地》，其中有12人两种杂志都订了，三（1）班一共有多少人？ 【答案】46人。 【分析】订了《数学王国》的人数+订了《作文天地》的人数﹣两种杂志都订的人数＝总人数。 【解答】解：（32+26）﹣12 ＝58﹣12 ＝46（人） 答：三（1）班一共有46人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 5．三（1）班的小朋友到游乐园游玩（每人至少坐一种），坐旋转木马的有32人，坐小火车的有28人，两样都坐的有15人。三（1）班去游乐园的一共有多少人？ 【答案】45人。 【分析】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。因此用坐旋转木马的人数加坐小火车的人数后，再减去两样都坐的人数即可，依此解答。 【解答】解：32+28﹣15 ＝60﹣15 ＝45（人） 答：三（1）班去游乐园的一共有45人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 6．学校科技节，三（1）班有18人的小制作获奖，有24人的科幻画获奖。这其中有7人这两项都获了奖。三（1）班在这次学校科技节小制作和科幻画获奖的一共是多少人？ 【答案】35人。 【分析】根据题干可得，三（1）班有18人的小制作获奖，有24人的科幻画获奖，一共有18+24＝42人，这42人中有7人这两项都获奖了，说明42人中有7人重复加了1次，由此从42人里面减去7人，就是获奖总人数。 【解答】解：18+24＝42（人） 42﹣7＝35（人） 答：三（1）班在这次学校科技节小制作和科幻画获奖的一共是35人。 【点评】本题考查的是容斥原理的应用。 7．三（1）班共有36名同学订阅杂志，其中订阅《数学天地》的有21人，订阅《语文天地》的有18人，每人至少订阅一种．有多少名同学订阅了两种杂志？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用21加上18求出它们的和，这样两种杂志都订的多算了一次，然后减去36就是两种杂志都订的． 【解答】解：21+18﹣36＝3（名） 答：有3名同学订阅了两种杂志． 【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 8．同学们参加课外活动小组，参加文艺小组的有27人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人。参加课外活动小组的同学共有多少人？ 【答案】44人。 【分析】参加文艺小组的人数加上参加科技小组的人数，因为两项都参加的有8人，所以这里重复计算了8人，再减去8人，即可解答。 【解答】解：27+25﹣8 ＝52﹣8 ＝44（人） 答：参加课外活动小组的同学共有44人。 【点评】掌握容斥原理是解题的关键。 9．三（3）班做完语文作业的38人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有30人，每人至少完成一种作业，三（3）班一共有学生多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用38加上42求出做完数学作业和做完语文作业两者的和，再减去重叠部分两种作业都完成的30人即可． 【解答】解：38+42﹣30 ＝80﹣30 ＝50（人） 答：三（3）班一共有学生50人． 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 10．三（3）班有46人，每人都订阅了至少一种杂志，其中25人订阅了《少年哥白尼》，32人订阅了《儿童文学》。既订阅了《少年哥白尼》又订阅了《儿童文学》的有多少人？ 【答案】11人。 【分析】由题意，用25+32求出至少订阅了一种杂志的总人数，再减去总人数就是既订阅了《少年哥白尼》又订阅了《儿童文学》的人数；据此解答。 【解答】解：25+32﹣46 ＝57﹣46 ＝11（人） 答：既订阅了《少年哥白尼》又订阅了《儿童文学》的有11人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量。 11．三年级（1）班有52人，喜欢喝牛奶的有27人，喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？ 【答案】11人。 【分析】先用27加上36求出喜欢喝牛奶与喜欢喝豆浆的人数和，再减去三年级（1）班的总人数52就是重复计算的人数，也就是既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的人数。 【解答】解：27+36﹣52 ＝63﹣52 ＝11（人） 答：既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有11人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 12．四年级（1）班有学生54人，他们要参加书法和音乐的培训（每人至少选择一种），其中参加书法培训的有39人，参加音乐的有37人，两项培训都参加的有多少人？ 【答案】22人。 【分析】根据题意，可将参加书法培训的人数加上参加音乐培训的人数，再减去全班人数，即可求出两项都参加的人数。 【解答】解：39+37﹣54 ＝76﹣54 ＝22（人） 答：两项培训都参加的有22人。 【点评】容斥原理两量重叠问题的方法是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 13．三（1）班每人都订了报纸，订《小学生周报》的有25人，订《小博士报》的有21人，两种报纸都订的有9人，三（1）班一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把订《小学生周报》有25人，订《小博士报》的有21人相加，去掉重复的两种报纸都订的有9人，即可得出答案． 【解答】解：25+21﹣9 ＝46﹣9 ＝37（人） 答：三（1）班一共有37人． 【点评】此题考查容斥原理的实际运用，掌握基本计算方法：总人数＝A+B﹣既A又B． 14．三（1）班的女生全部报名参加学校篮球和足球兴趣班，其中有20人报名篮球兴趣班，14人报名足球兴趣班，两种兴趣班都报名的有12人，三（1）班女生有多少人？ 【答案】22人。 【分析】根据“A类人数+B类人数﹣既A又B类人数＝该班人数”即可求解。 【解答】解：20+14﹣12 ＝34﹣12 ＝22（人） 答：三（1）班女生有22人。 【点评】本题考查了容斥原理的应用。 15．三（1）班同学参加书画比赛，参加书法比赛的有28人，参加绘画比赛的有25人，两项都参加的有4人，参加书画比赛的有多少人？ 【答案】49人。 【分析】根据容斥原理，参加书法比赛的+参加绘画比赛的﹣两项都参加的＝参加书画比赛的人数。据此计算即可。 【解答】解：28+25﹣4 ＝53﹣4 ＝49（人） 答：参加书画比赛的有49人。 【点评】此题主要考查了二集合容斥原理，要熟练掌握。 16．三年一班有45人，参加体育课外小组的有27人，参加音乐课外小组的有31人，每人至少参加一个课外小组，三年一班两个课外小组都参加的有多少人？ 【答案】13人。 【分析】参加体育课外小组的人数+参加音乐课外小组的人数﹣总人数＝两个课外小组都参加的人数。 【解答】解：27+31﹣45 ＝58﹣45 ＝13（人） 答：三年一班两个课外小组都参加的有13人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 17．某校美术社团有35名同学会剪纸，有18名同学会篆刻，其中有9名同学两种都会，美术社团有多少名同学？（先画图分析，再列式解答） 【答案】 44名。 【分析】先用18加上35求出会篆刻与会剪纸的人数和，再减去两种都会的9名（即重复计算的人数），就是美术社团一共的人数。 【解答】解： 18+35﹣9 ＝53﹣9 ＝44（名） 答：美术社团有44名同学。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 18．三年级举行趣味运动会，参加“摸石头过河”的有39人，参加“两人三足”的有53人，两项都参加的有27人。参加趣味运动会的一共有多少人？ 【答案】65人。 【分析】根据容斥原理公式“总人数＝（A+B）﹣既A又B”解答即可。 【解答】解：39+53﹣27 ＝92﹣27 ＝65（人） 答：参加趣味运动会的一共有65人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 19．《流浪地球》和《中国机长》是我国两部优秀的电影，四年级二班有43位同学，看了《流浪地球》的有31人，看了《中国机长》的有23人，两部电影都没看的有9人。两部电影都看了的有多少人？ 【答案】20人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：31+23﹣（43﹣9） ＝54﹣34 ＝20（人） 答：两部电影都看了的有20人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 20．本次运动会涌现了很多闪闪发光的志愿者。经统计，某学校的志愿者中，有18人参与了纸桥承重项目，有15人参与了“鸡蛋”撞地球项目。两个项目都参加的有7人。 （1）完成图。 （2）该学校一共有多少名志愿者参与了本次科技运动会？ （3）你还能提出其他数学问题并解答吗？ 【答案】（1） （2）26人；（3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？11人。 【分析】（1）根据题干把图补充完成； （2）根据“A类人数+B类人数﹣既A又B类人数＝参加人数”即可； （3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？用参加纸桥承重项目的人生减去既参加纸桥承重又参加“鸡蛋”撞地球项目的人数即可。 【解答】解：（1）如下图所示： （2）18+15﹣7＝26（人） 答：该学校一共有26名志愿者参与了本次科技运动会。 （3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？ 18﹣7＝11（人） 答：只参加纸桥承重项目的志愿者有11人。 【点评】本题考查了容斥原理的应用。 21．六（1）班有45人，有的同学订了《小学生数学报》，有的同学订了《小学生语文学习》，两种报纸都订的至少有多少人？ 【答案】7人。 【分析】先用总人数分别乘分率，求出订两种报纸的分别有多少人。根据容斥原理可知，订《小学生数学报》的人数+订《小学生语文学习》的人数﹣总人数＝两种报纸都订的人数。 【解答】解：4525（人） 4527（人） 25+27﹣45 ＝52﹣45 ＝7（人） 答：两种报纸都订的至少有7人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 22．劳动教育是新时代党对教育的新要求，是大中小学生必须参与的教育活动，光明小学组织“农田基地”劳动，40人参加“农田除杂草”劳动，25人参加“农田施肥”劳动，其中两项都参加的有10人。参加这两项劳动的学生一共有多少人？ 【答案】55人。 【分析】用参加“农田除杂草”劳动的40人加参加“农田施肥”劳动的25人的和，减去两项都参加的10人即得总人数。 【解答】解：40+25﹣10 ＝65﹣10 ＝55（人） 答：参加这两项劳动的学生一共有55人。 【点评】解答依据是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素的个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 23．一条公交线路从起点到终点有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人，则从前6站上车而在终点站下车的乘客有多少人？ 【答案】20人。 【分析】首先弄清前6个车站共上车的100人，要么在前7个车站（包含第7个车站）下车，要么在第8个车站下车，由于所求的问题和第7个车站上车的人数无关，所以可以不考虑；这样的话，除终点站外前面各站共下车的80人就是100人中的80人，因此从100人中去掉80就是从前六站上车而在终点站下车的乘客；据此解答即可。 【解答】解：根据分析可得， 100﹣80＝20（人） 答：从前6站上车而在终点站下车的乘客共20人。 【点评】本题题干条件比较多，关键是理清关系，明确前6个车站共上车的100人，包括两部分，即在前7个车站（包含第7个车站）下车，和第8个车站下车。 24．学校艺术节比赛，三（1）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人？ 【答案】16人。 【分析】根据容斥原理，把图中把参加唱歌和跳舞比赛的人数相加，再减去两项都参加的人数就是总人数。 【解答】解：12+9﹣5 ＝21﹣5 ＝16（人） 答：参加唱歌和跳舞比赛的一共有16人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 25．【文明中的教学】三（2）班学生为我市争创“文明城市”参加义务劳动。已知全班共58人，帮助清洁工进行垃圾分类的有36人，帮助交警进行交通疏导的有29人，每人至少参加一种劳动。两种劳动都参加的有多少人？ 【答案】7人。 【分析】先用36加29求出帮助清洁工进行垃圾分类的和帮助交警进行交通疏导的人数和，再减去总人数58就是重复计算的人数，也就是两种劳动都参加的人数。 【解答】解：36+29﹣58 ＝65﹣58 ＝7（人） 答：两种劳动都参加的有7人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 26．三（2）班有44个学生参加竞赛，其中参加数学竞赛的有30人，参加美术竞赛的有26人。既参加数学竞赛又参加美术竞赛的有多少人？ 【答案】12人。 【分析】既参加数学竞赛又参加美术竞赛的人数＝参加数学竞赛的30人+参加美术竞赛的26人﹣三（2）班全班参加竞赛人数；据此解答即可。 【解答】解：30+26﹣44 ＝56﹣44 ＝12（人） 答：既参加数学竞赛又参加美术竞赛的12人。 【点评】本题属于容斥原理问题，既A又B＝A+B﹣总数。 27．三（1）班37名同学到动物园参观，其中参观金丝猴馆的有25人，参观斑马馆的有17人，既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有多少人？ 【答案】5人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：25+17﹣37 ＝42﹣37 ＝5（人） 答：既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有5人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 28．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人．”可得两者的总人数：34+27＝61人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：61﹣54＝7（人），据此解答即可． 【解答】解：34+27﹣54 ＝61﹣54 ＝7（人） 答：两种兴趣小组都参加的有7人． 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）． 29．三年级有45人，参加学校滑冰比赛的有30人，参加雪雕比赛的有24人，既参加滑冰比赛又参加雪雕比赛的有12人，两项比赛都没参加的有多少人？ 【答案】3人。 【分析】先根据公式“总人数＝（A+B）﹣既A又B”，用30加上24再减去12求出参加比赛的人数，然后再用45减去参加比赛的人数即可。 【解答】解：45﹣（30+24﹣12） ＝45﹣42 ＝3（人） 答：两项比赛都没参加的有3人。 【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B。 30．在学校举办的运动会上，参加跳高和跳远的共有35人，其中参加跳高的有28人，参加跳远的有16人，两项都参加的有多少人？ 【答案】9人。 【分析】先用16加28求出参加跳远和参加跳高的人数和，再减去总人数35就是重复计算的人数，也就是两项都参加的人数。 【解答】解：16+28﹣35 ＝44﹣35 ＝9（人） 答：两项都参加的有9人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 31．同学们收集图片．张明、李红、蔡正明、王丹、熊威、高伟、梅芳7个人收集了名山图片，吴凤、李红、王丹、戴月红、高伟这5人收集了河流图片，吴心怡、张冬、李可这3人收集了奥运图片． （1）收集名山图片和奥运图片的共有多少人？ （2）收集名山图片和河流图片的共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）7个人收集了名山图片，3人收集了奥运图片，没有重叠的人数，把这两部分的人数相加即可． （2）7个人收集了名山图片，5人收集了河流图片，其中李红、王丹、高伟这3人两样都收集了，所以用7与5的和，减去重叠的人数3就是收集名山图片和河流图片的共有多少人． 【解答】解：（1）7+3＝10（人） 答：收集名山图片和奥运图片的共有10人． （2）7+5﹣3 ＝12﹣3 ＝9（人） 答：收集名山图片和河流图片的共有9人． 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题． 32．三（3）班参加数学竞赛的有24人，参加语文竞赛的有26人。两项都参加的有9人，两项都没参加的还有3人，三（3）班一共有多少人？ 【答案】44人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B求出参加竞赛的人数，再进一步解答即可。 【解答】解：24+26﹣9 ＝50﹣9 ＝41（人） 41+3＝44（人） 答：三（3）班一共有44人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 33．四（1）班参加文艺小组的有16人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人，这个班参加课外小组的学生一共有多少人？ 【答案】33人。 【分析】根据题意可知，参加文艺小组的人数+参加科技小组的人数﹣两项都参加的人数＝参加课外小组的总人数，依此列式并计算即可。 【解答】解：16+25﹣8 ＝41﹣8 ＝33（人） 答：这个班参加课外小组的学生一共有33人。 【点评】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。 34．周老师出了两道题给这个班45个学生思考，所有学生要么答对一题，要么答对两题。答对第一题的有25人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有多少人？ 【答案】10人。 【分析】答对第一题的25人加上答对第二题的30人，这里两道题都答对的重复计算了一次，所以再减去班级的45人，即可求出两道题都答对的人数。 【解答】解：25+30﹣45 ＝55﹣45 ＝10（人） 答：两道题都答对的有10人。 【点评】掌握容斥原理是解题的关键。 35．同学们到禁毒基地参观，观看禁毒视频的有35人，参加禁毒知识竞答的有26人，两样都参加的有17人，去禁毒基地参观的一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】已知观看禁毒视频的和参加禁毒知识竞答的一共有35+26＝61人，把既观看禁毒视频的又参加禁毒知识竞答的17人重复加了一次，减去重复的17人得出答案即可． 【解答】解：35+26﹣17 ＝61﹣17 ＝44（人） 答：去禁毒基地参观的一共有44人． 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 36．五年级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对第二题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？ 【答案】18人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。 【解答】解：36+30﹣48 ＝66﹣48 ＝18（人） 答：两道题都做对的有18人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 37．光明小学要举行跳绳．踢毽子比赛．要求每班派5名学生参加跳绳比赛，派6名学生参加踢毽子比赛． （1）每班最多可以有多少名学生参加比赛？ （2）每班最少要有多少名学生参加比赛？ （3）如果让你来安排．你会怎么安排本班学生参加比赛？ 【答案】（1）每班最多可以有11名学生参加比赛； （2）每班最少要有6名学生参加比赛； （3）我会分别派5名学生参加跳绳比赛，再另外派6名学生参加踢毽子比赛． 【分析】（1）每班可以派不同的同学参加不同的项目，所以有5+6＝11名学生可以参加； （2）每班最少情况可以派同学同时参加两项运动，所以有5+6﹣5＝6名学生可以参加； （3）本题安排合理即可． 【解答】解：（1）5+6＝11（名） 答：每班最多可以有11名学生参加比赛． （2）5+6﹣5＝6（名） 答：每班最少要有6名学生参加比赛． （3）答：我会分别派5名学生参加跳绳比赛，再另外派6名学生参加踢毽子比赛． 【点评】本题考查的是解决实际问题的能力． 38．三年级有108个小朋友去秋游，带矿泉水的有68人，带水果的有87人，每人至少带一种，三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？ 【答案】47人。 【分析】根据题意可知，带矿泉水的人数+带水果的人数﹣去秋游的总人数＝既带矿泉水又带水果的人数，依此列式并计算即可。 【解答】解：68+87﹣108 ＝155﹣108 ＝47（人） 答：三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有47人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 39．某班有48名学生，每人至少订阅一份《数学报》或《学习报》．已知的学生订阅了《数学报》，的学生订阅了两种报刊，订阅《学习报》的学生有多少人？ 【答案】16人。 【分析】先根据分数乘法的意义分别求出订阅《数学报》的人数和订阅两种报刊的人数，再根据容斥原理公式解答即可。 【解答】解：4844（人） 4812（人） 48﹣（44﹣12）＝16（人） 答：订阅《学习报》的学生有16人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 40．三（2）班同学参加运动会。 三（2）班参加跳高和跑步的同学一共有多少人？ 【答案】20人。 【分析】先用8加上16求出参加跳高和跑步的人数和，然后再减去重复计算的4人即可。 【解答】解：8+16﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 答：三（2）班参加跳高和跑步的同学一共有20人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 41．星光小学喜欢摄影或运动的老师共有54人，其中喜欢摄影的有35人，喜欢运动的有32人。 （1）既喜欢摄影又喜欢运动的有多少人？ （2）请把图片补充完整。 【答案】（1）13人。 （2） 【分析】（1）用54减去35就是只喜欢运动的人数，同理，用54减去32就是只喜欢摄影的人数，然后用35减去只喜欢摄影的人数就是既喜欢摄影又喜欢运动的有多少人。 （2）根据问题一求出的数据，把图片补充完整即可。 【解答】解：（1）54﹣35＝19（人） 54﹣32＝22（人） 35﹣22＝13（人） 答：既喜欢摄影又喜欢运动的有13人。 （2）填图如下： 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 42．实验小学三（一）喜欢篮球的有9人，喜欢足球的有15人，两种球都喜欢的有4人。 （1）填写如图； （2）喜欢足球或喜欢篮球的一共有多少人？ 【答案】（1）；（2）20人。 【分析】（1）两种球都喜欢的有4人，即重叠部分有4人，那么只喜欢篮球的有9﹣4＝5人，只喜欢足球的有15﹣4＝11人，据此解答即可。 （2）根据总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。 【解答】解：（1）9﹣4＝5（人） 15﹣4＝11（人） （2）9+15﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 答：喜欢足球或喜欢篮球的一共有20人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 43．参加某项活动的人员中有47人会说英语，有38人会说法语，两种都会的有22人，另外15人只会讲汉语．一共有多少人参加了活动？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用47加上38求出它们的和，这样两种都会的多算了一次，然后减去22就是至少会一种的英语和法语，然后再加上15即可． 【解答】解：47+38﹣22+15 ＝63+15 ＝78（人） 答：一共有78人参加了活动． 【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 44．三（1）班有45人，期中考试语文得优的有33人，数学得优的有26人，所有人至少有一科得优，语文、数学都得优的有多少人？ 【答案】14人。 【分析】由题意可知，语文、数学都得优的人数＝语文得优的人数+数学得优的人数﹣总人数，据此求解即可。 【解答】解：33+26﹣45 ＝59﹣45 ＝14（人） 答：语文、数学都得优的有14人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 45．同学们到植物园游玩，参观玫瑰园的有35人，参观郁金香园的有28人，两个园都参观的有19人 （1）填写下边的图． （2）去植物园的一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据已知条件“参观玫瑰园的有35人，参观郁金香园的有28人，两个园都参观的有19人”可得，只参观玫瑰园的有35﹣19＝16（人）；只参观郁金香园的有28﹣19＝9（人）；然后把数据分别填入图中即可． （2）根据容斥原理，把上图中三部分的人数相加即可． 【解答】解：（1）35﹣19＝16（人） 28﹣19＝9（人） 填图如下： （2）16+19+9 ＝35+9 ＝44（人） 答：去植物园的一共有44人． 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题． 46．47名学生组织游泳和跳水训练，其中参加游泳的有12人，参加跳水的有15人，两项都不参加的有26人。求两项训练都参加的有多少人？ 【答案】6人。 【分析】47名学生组织游泳和跳水训练，两项都不参加的有26人，用47减去26就是参加训练的总人数。然后用12加上15求出参加游泳与参加跳水的人数和，再减去参加训练的总人数就是重复计算的人数，也就是两项训练都参加的人数。 【解答】解：47﹣26＝21（人） 12+15﹣21 ＝27﹣21 ＝6（人） 答：两项训练都参加的有6人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 47．甲、乙、丙三人参加“环保知识问答”，甲答对了16道题，乙答对了12道题，丙答对了18道题．甲答对的题中有6道乙也答对了，丙答对的题中有7道甲也答对了．甲和乙一共答对了多少道题？甲和丙一共又答对了多少道题？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求甲和乙一共答对了多少道题，用16加12求出两者的和，再减去重复计算的6道即可； （2）求甲和丙一共又答对了多少道题，用16加18求出两者的和，再减去重复计算的7道即可． 【解答】解：（1）16+12﹣6＝22（道） （2）16+18﹣7＝27（道） 答：甲和乙一共答对了22少道题，甲和丙一共又答对了27道题． 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 48．八一小学六（1）班有26人参加了美术小组，有29人参加了音乐小组，其中有13人两个小组都参加，还有8人什么组都没有参加。这个班共有学生多少人？ 【答案】50人。 【分析】根据“A类人数+B类人数﹣既A又B类人数+既不A又不B类人数＝该班人数”即可求解。 【解答】解：26+29﹣13+8 ＝55﹣13+8 ＝42+8 ＝50（人） 答：这个班共有学生50人。 【点评】本题考查了容斥原理的应用。 49．某科研小组的32名科学家来自世界各地，其中会讲中文的有16人，会讲英文的有28人，每个人至少会讲中文或英文中的一种。 （1）两种语言都会讲的有多少人？ （2）只会讲中文的有多少人？ （3）只会讲英文的有多少人？ 【答案】（1）12人；（2）4人；（3）16人。 【分析】（1）根据“既A又B＝A+B”﹣总数量解答即可。 （2）求只会讲中文的有多少人，用会讲中文的人数减去两种语言都会讲的人数。 （3）求只会讲英文的有多少人，用会讲英文的人数减去两种语言都会讲的人数。 【解答】解：（1）16+28﹣32 ＝44﹣32 ＝12（人） 答：两种语言都会讲的有12人。 （2）16﹣12＝4（人） 答：只会讲中文的有4人。 （3）28﹣12＝16（人） 答：只会讲英文的有16人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 50．五（1）班进行大扫除。清扫教室的有8人，擦玻璃的有15人，整理课桌的有11人，其中有3人既清扫了教室又整理了课桌。五（1）班参加大扫除的一共有多少人？ 【答案】有31人。 【分析】先把前面清扫教室的8人、擦玻璃的15人、整理课桌的11人相加起来，其中既清扫了教室又整理了课桌的有3人，这部分人算了两次，所以要减去3人。 【解答】解：8+15+11﹣3 ＝23+11﹣3 ＝34﹣3 ＝31（人） 答：五（1）班参加大扫除的一共有31人。 【点评】掌握容斥原理是解题关键。 51．三（1）班有45人，其中25人喜欢看《熊出没》，35人喜欢看《西游记》，如果每人至少选一个，有多少人两个动画片都喜欢看？ 【答案】15。 【分析】用喜欢看《熊出没》的人数加上喜欢看《西游记》的人数，再减去三（1）班总人数，就可得两个动画片都喜欢看的人数。 【解答】解：25+35﹣45 ＝60﹣45 ＝15（人） 答：有15人两个动画片都喜欢看。 【点评】明确数量间包含与被包含的关系是解决本题的关键。 52．三年级有224人去郊游．带面包的有159人，带方便面的有198人，每人至少带这两种食品中的一种，两种食品都带的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】带面包的有159人，带方便面的有198人，则带面包的和带方便面的共有（198+159）人，又因为实际总人数是224人，然后用带面包的和带方便面的和减去224人就是既带面包又带方便面的人数，据此解答． 【解答】解：198+159﹣224 ＝357﹣224 ＝133（人） 答：两种食品都带的有133人． 【点评】本题解答的依据是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 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