精品解析：2024年宁夏银川市中考数学信息卷八试题

2024年宁夏银川市数学信息卷八 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）． A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 2. 如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠1=65°，则∠2的度数是（　　） A 25° B. 35° C. 45° D. 65° 3. 年杭州亚运会女子米气枪决赛中，选手黄玉婷破纪录夺冠，在打完前两组的枪后，黄玉婷的第枪至第枪成绩统计如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） 成绩/环 频数/次 A. 环，环 B. 环，环 C. 环，环 D. 环，环 4. 某家快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为30万件，三月份完成投递的快递总件数为36.3万件，若每月投递的快递总件数的增长率x相同，则根据题意列出方程为（　　） A. 30（2x+1）＝36.3 B. 30（x+1）2＝36.3 C. 30（2x﹣1）＝36.3 D. 30（x﹣1）2＝36.3 5. 将铁丝围成的△ABC铁框平行地面（水平）放置，并在灯泡的垂直照射下，在地面上的影子是△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′之间是属于（ ） A 对称变换 B. 平移变换 C. 位似变换 D. 旋转变换 6. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是的中点，如果∠DAB＝70°，则∠ABC的度数等于（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 7. 如图，在等腰直角三角形中，，是的中线，是的平分线，交的延长线于点F，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 8. 如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴的负半轴于点C，顶点为D，连接，．给出下列结论：①；②当时，；③当是等腰直角三角形时，；④若是一元二次方程的两个根，且，则．其中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若，则=_____． 10 计算： ． 11. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，BC＝5，将△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移2个单位长度，到达△DEF，AC与DE交于点G，则EG的长为__． 12. A(3，y1)，B(1，y2)是直线y=kx+3(k＞0)上的两点，则y1____y2(填“＞”或“＜)． 13. 如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知，则点的坐标是_____． 14. 如图，矩形纸片，，点在上，且．若将纸片沿折叠，点恰好落在上，则的长是_____． 15. 如图，已知反比例函数与正比例函数的图象，点、点与点均在反比例函数的图象上，点在直线上，四边形是平行四边形，则点的坐标为_________． 16. 泗水泗河大桥采用H型塔型斜拉桥结构(如甲图)，图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离BD为10米，则立柱AH的长是________米(结果精确到0.1米)．(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 如图，和是位似图形，，垂直平分，且． 求： （1）度数； （2）的长． 18. 解不等式组，并求它的所有整数解的和． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 某区八年级有名学生参加“爱我中华知识竞赛”活动．为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从中抽取了名学生的成绩进行统计． 成绩/分 频数 频率 根据不完整的表格，解答下列问题． （1）将频数分布表填写完整，并补全下面的频数分布直方图． （2）若将得分转化为等级，规定：评为“”，评为“”，评为“”，评为“”．这次全区八年级参加竞赛的学生中约有多少名学生的成绩被评为“”？若随机抽查名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩等级为哪一个等级的可能性大？请说明理由． 21. 如图，在平行四边形中，已知． （1）作图：作的平分线交于点E，作的平分线交于点，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想四边形的形状，并写出证明过程． 22. 某商店销售两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元． （1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？ （2）该商店计划购进两种商品共60件，且两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？ 23. 如图，在中，，平分交于点，是边上一点，以点为圆心，长为半径的圆经过点，作于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接，已知． 求证： （1）是的切线； （2）． 24. 材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线． 材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10 m，间距AB为32 m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2 m； 为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如下图： 甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系； 乙同学：以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系； 丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系. （1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式； （2）距离点P水平距离为4 m和8 m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？ 25. 已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求点C的坐标． 26. （1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年宁夏银川市数学信息卷八 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）． A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据不可能事件的定义分析，即可得到答案． 【详解】经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件 ∴选项A错误； 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件 ∴选项B错误； 班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件 ∴选项C错误； 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件 ∴选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握不可能事件的性质，从而完成求解． 2. 如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠1=65°，则∠2的度数是（　　） A. 25° B. 35° C. 45° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点C作CD∥l1，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】如图，过点C作CD∥l1，则∠1=∠ACD， ∵l1∥l2， ∴CD∥l2， ∴∠2=∠DCB， ∵∠ACD+∠DCB=90°， ∴∠1+∠2=90°， 又∵∠1=65°， ∴∠2=25°， 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 3. 年杭州亚运会女子米气枪决赛中，选手黄玉婷破纪录夺冠，在打完前两组的枪后，黄玉婷的第枪至第枪成绩统计如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） 成绩/环 频数/次 A. 环，环 B. 环，环 C. 环，环 D. 环，环 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，根据中位数和众数的概念求解，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，出现次数最多的数据是众数． 【详解】解：∵这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的是第枪和第枪的平均成绩， ∴由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（环）， 由于环出现次数最多，则这组数据的众数是环， ∴这组数据的中位数和众数分别是环，环， 故选：． 4. 某家快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为30万件，三月份完成投递的快递总件数为36.3万件，若每月投递的快递总件数的增长率x相同，则根据题意列出方程为（　　） A. 30（2x+1）＝36.3 B. 30（x+1）2＝36.3 C. 30（2x﹣1）＝36.3 D. 30（x﹣1）2＝36.3 【答案】B 【解析】 【分析】根据该快递公司今年一月份及三月份完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：30（1+x）2＝36.3． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 将铁丝围成的△ABC铁框平行地面（水平）放置，并在灯泡的垂直照射下，在地面上的影子是△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′之间是属于（ ） A. 对称变换 B. 平移变换 C. 位似变换 D. 旋转变换 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得△ABC与△A′B′C′的各对应点的位置关系，面积的大小关系等，进而由几何变化的定义可得答案． 【详解】根据题意，由于△ABC平行地面放置，且在灯泡的照射下，所以△ABC与△A′B′C′的各对应点的位置不变，且其连线应交于灯泡的所在的地方，面积大小不一，所以属于位似变换， 故选：C． 【点睛】本题考查了常见几何变化的定义与判定，注意结合题意，把握几何变化的定义进行判断． 6. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是的中点，如果∠DAB＝70°，则∠ABC的度数等于（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求出∠ABD，根据圆内接四边形的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°∠DAB=20°， ∵四边形ABCD是半圆的内接四边形， ∴∠C=180°∠DAB=110°， ∵点C是的中点， ∴CD=CB， ∴∠CBD=×（180°110°）=35°， ∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=55°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 7. 如图，在等腰直角三角形中，，是的中线，是的平分线，交的延长线于点F，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线性质，平行线的性质等知识点，能求出是解此题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质可得到，，再根据是的平分线，，可得，从而得出，代入数据求解即可． 【详解】解：在等腰直角三角形中，，是的中线， ，， 是的平分线， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴的负半轴于点C，顶点为D，连接，．给出下列结论：①；②当时，；③当是等腰直角三角形时，；④若是一元二次方程的两个根，且，则．其中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，正确识别图象，根据图象判断式子的正负的方法．根据，，得出抛物线对称轴为直线，则，当时，，即可判断①；根据抛物线的对称轴为直线，得出当时，该二次函数取最小值，即可判断②；连接，令对称轴与x轴相交于点E，根据等腰直角三角形的性质得出，则，设该抛物线的解析式为，把代入得：，求出a的值，即可判断③；根据，是一元二次方程的两个根，得出抛物线与直线相交于，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线交轴于，， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 当时，， 整理得：，故①正确，符合题意； 当时，， 当时，， 由②可知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，该二次函数取最小值， ∵， ∴，即，故②不正确，不符合题意； 连接，令对称轴与x轴相交于点E， ∵， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：，故③正确，符合题意； ∵，是一元二次方程的两个根， ∴抛物线与直线相交于， ∵抛物线交轴于，， ∴，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③，共2个， 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若，则=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求代数式的值，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 10. 计算： ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． 原式=3－2 =． 故答案为：a5． 考点：同底数幂的计算． 11. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，BC＝5，将△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移2个单位长度，到达△DEF，AC与DE交于点G，则EG的长为__． 【答案】． 【解析】 【分析】根据平移和直角三角形30度的性质知：BE=2，CG=2EG，设EG=x，则CG=2x，由勾股定理列方程可得结论． 【详解】解：由平移得：BE＝2，∠DEF＝∠B＝90°， ∵BC＝5，∴CE＝5﹣2＝3， ∵∠A＝60°，∴∠ACB＝30°，∴CG＝2EG， 设EG＝x，则CG＝2x， 由勾股定理得：x2+32＝(2x)2，x或（舍）， ∴EG， 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的性质和勾股定理，30度的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，注意熟练掌握平移性质的性质． 12. A(3，y1)，B(1，y2)是直线y=kx+3(k＞0)上的两点，则y1____y2(填“＞”或“＜)． 【答案】＞． 【解析】 【分析】由k>0，利用一次函数的性质可得出y值随x值的增大而增大．再结合3>1即可得出y1>y2． 【详解】解：∵k＞0， ∴y值随x值的增大而增大． 又∵3＞1， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 13. 如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用锐角三角函数求出∠AOB=30°，根据翻折变换的性质可得∠A1OB=∠AOB，A1O=AO，再求出∠A1OA=60°，过点A1作A1D⊥OA于D，然后求出OD、A1D，再写出点A1的坐标即可． 【详解】过点A1作A1D⊥OA于D， ∵， ∴， ∴∠AOB=30°， ∵矩形OABC对折后点A落在点A1处， ∴∠A1OB=∠AOB=30°，A1O=AO=， ∴∠A1OA=30°+30°=60°， 则OD= A1O·cos60°=， A1D= A1O·sin60°=， ∴点的坐标是， 故答案：. 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，长方形的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，求出∠A1OA=60°是解题的关键． 14. 如图，矩形纸片，，点在上，且．若将纸片沿折叠，点恰好落在上，则的长是_____． 【答案】##4厘米 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，在上截取，连接，由四边形是矩形得，再由折叠的性质可得，，可证垂直平分，故有，从而求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】在上截取，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知反比例函数与正比例函数的图象，点、点与点均在反比例函数的图象上，点在直线上，四边形是平行四边形，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出点坐标，再利用平行四边形的性质设出点坐标，根据平移规律进而表示出点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案． 【详解】解：反比例函数，点， ， 反比例函数解析式为：， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， 点在直线上， 设点坐标为：， 点，， 点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，即可得到点， 四边形是平行四边形， 点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，即可得到点， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：（负数不合题意）， 故点坐标为：，． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了反比例函数性质以及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出点坐标是解题关键． 16. 泗水泗河大桥采用H型塔型斜拉桥结构(如甲图)，图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离BD为10米，则立柱AH的长是________米(结果精确到0.1米)．(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 【答案】17.0 【解析】 【分析】设AH的长为x米，则CH的长为（x-2）米，在Rt△ABH中，由AH=BH•tan45°可得出BH=x，进而可得出DH=x-10，在Rt△CDH中，由CH=DH•tan65°可得出x-2=2.14（x-10），解之即可得出结论（求出的x的值精确到0.1米）． 【详解】解：设AH的长为x米，则CH的长为（x-2）米． 在Rt△ABH中，AH=BH•tan45°， ∴BH=x， ∴DH=BH-BD=x-10； 在Rt△CDH中，CH=DH•tan65°， ∴x-2=2.14（x-10）， 解得：x=17.01≈17.0． 所以，立柱AH的长约为17.0米． 故答案为：17.0． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形，找出关于AH长的一元一次方程是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 如图，和是位似图形，，垂直平分，且． 求： （1）的度数； （2）的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，垂直平分线性质，解题的关键在于掌握位似图形是相似形，相似形的对应角相等，对应边成比例． （1）位似图形是相似三角形，那么利用对应角相等即可求解； （2）利用垂直平分线性质得到相似比，再根据相似形对应边成比例，即可求得所求线段． 【小问1详解】 解：和是位似图形， ， 垂直平分， ， ； 【小问2详解】 解：和是位似图形， ， 垂直平分， ， ， ， ． 18. 解不等式组，并求它的所有整数解的和． 【答案】−3⩽x<2，-5 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共部分，然后找出整数解，即可求解． 【详解】解不等式，得； 解不等式，得． 所以，不等式组的解集为． 该不等式组的所有整数解为-3，-2，-1，0，1． 所以，该不等式组的所有整数解的和为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决的关键是正确解出每个不等式的解集，然后根据限制条件求出不等式的整数解． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】；－1 【解析】 【分析】根据分式的性质，先进行括号里的计算，再除法，然后代入即可. 【详解】 将代入，得上式=3-4=-1. 【点睛】此题主要考查分式化简求值，熟练掌握，即可解题. 20. 某区八年级有名学生参加“爱我中华知识竞赛”活动．为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从中抽取了名学生的成绩进行统计． 成绩/分 频数 频率 根据不完整的表格，解答下列问题． （1）将频数分布表填写完整，并补全下面的频数分布直方图． （2）若将得分转化为等级，规定：评为“”，评为“”，评为“”，评为“”．这次全区八年级参加竞赛的学生中约有多少名学生的成绩被评为“”？若随机抽查名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩等级为哪一个等级的可能性大？请说明理由． 【答案】（1）补全频数分布直方图见解析，，，； （2）随机调查一名参数学生的成绩等级“”的可能性较大，理由见解析． 【解析】 【分析】（）根据统计图表先计算出的人数，再补全即可； （2）先利用统计图表计算出等级所占的百分比，再即可，分别计算出每个等级的概率比较即可； 本题考查了频数分布直方图，用样本估计整体，概率的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：分数段的频率为， 分数段的频数为：（人）， 分数段的频率为， 补全频数分布直方图如图， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由表格可知：评为“”的频率是， ∴估计全区八年级参加竞赛的学生约有人被评为“”， ∵；；；， ∴， ∴随机调查一名参数学生的成绩等级“”的可能性较大． 21. 如图，在平行四边形中，已知． （1）作图：作的平分线交于点E，作的平分线交于点，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】（1）作图见解析； （2）四边形是菱形，理由见解析． 【解析】 【分析】（）分别作，角平分线即可， （）由四边形是平行四边形，得，则，又平分，得，同理得，再证明四边形是平行四边形，最后由即可求解； 本题考查了尺规作图——角平分线，平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 如图，分别作，角平分线即可， ∴，即为所求； 【小问2详解】 四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 22. 某商店销售两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元． （1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？ （2）该商店计划购进两种商品共60件，且两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？ 【答案】（1）A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．（2）A进20件，B进40件时获得利润最大． 【解析】 【分析】（1）设A和B的销售单价分别是x和y，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设A进货m件，根据题意可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】（1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元， 根据题意可得， 解得， ∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元． （2）设购进A商品m件，则购进B商品件， 根据题意可得：， 解得：， 令总利润为w，则， ， ∴当时，获得利润最大，此时， ∴A进20件，B进40件时获得利润最大． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与二元一次方程组的实际应用，准确计算是解题的关键． 23. 如图，在中，，平分交于点，是边上一点，以点为圆心，长为半径的圆经过点，作于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接，已知． 求证： （1）是的切线； （2）． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （）根据即可得到，再根据即得结论； 本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵经过， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线． 材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10 m，间距AB为32 m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2 m； 为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如下图： 甲同学：以DC中点原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系； 乙同学：以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系； 丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系. （1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式； （2）距离点P水平距离为4 m和8 m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？ 【答案】（1）甲，C（16，0），主索抛物线的表达式为；（2）四根吊索的总长度为13m； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求取解析式即可； （2）利用抛物线对称性进一步求解即可. 详解】（1）甲，C（16，0） 解：设抛物线的表达式为 由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，-8） 将C（16，0），P（0，-8）代入，得 解得. ∴主索抛物线的表达式为 （2）x=4时，，此时吊索的长度为m. 由抛物线的对称性可得，x=-4时，此时吊索的长度也为m. 同理，x=8时，，此时吊索的长度为m x=-8时，此时吊索的长度也为4m. ∴四根吊索的总长度为13m 【点睛】本题主要考查了抛物线解析式的求取与性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 25. 已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为 【解析】 【分析】（1）过点B作轴于点M，由设BM=x，MO=2x，由勾股定理求出x的值，得到点B的坐标，代入即可求解； （2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：，将B点坐标代入AB的函数关系式，可得，令y=0得到，令，解得两个x的值，A点的横坐标为，由列出方程求解即可． 【详解】解：（1）过点B作轴于点M，则 在中． 设，则． 又． ． 又 ， ∴点B的坐标是 ∴反比例的解析式为． （2）设点C的坐标为，则．设直线AB的解析式为：． 又∵点在直线AB上将点B的坐标代入直线解析式中， ． ． ∴直线AB的解析式为：． 令，则． ． 令，解得． 经检验都是原方程的解． 又． ． ． ． ． 经检验，是原方程的解． ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、分式方程、一元二次方程和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 26. （1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$