精品解析：2024年山东省潍坊市初中学业水平考试模拟试题（三）

2024年山东省潍坊市初中学业水平考试模拟试题 数学试题（三） 注意事项： 1．本试题满分 150分，考试时间120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要错位置． 第I卷（选择题共44分） 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分，每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2. 下列交通标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 4. 如图，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到的下列结论中正确的是（ ） A. 在一次函数图象中，y的值随着x值的增大而减小 B. 方程组的解为 C. 方程的解为 D. 当时， 9. 如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，小红同学得出了以下结论不正确的为（ ） A. B. C. 当时， D. 10. 如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共106分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果） 11. 根据市级生产总值统一核算结果，2023年全年潍坊市全市生产总值为7606.01亿元，将数据7606.01亿用科学记数法表示为__________． 12. 的算术平方根为_______． 13. 从1，，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点A的坐标记作，则点A在双曲线上的概率是__________． 14. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是__________（结果精确到．参考数据：，，）． 四、解答题（共8小题，共90分，请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 16. 在每个小正方形边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结，则所有满足的中，求边的长的最大值． 17. 知识再现：如图1，在中，，，，的对边分别为a，b，c． ∵， ∴，． ∴． 拓展探究：如图2，在锐角中，，，的对边分别为a，b，c． 请探究，，之间的关系，并写出探究过程． 解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 18. 随着区域水果市场经济的集聚和辐射，青岛已经成为中国北方最大的热带水果集散地，很多东南亚热带水果如榴莲、山竹等在青岛集散后，再发往胶东半岛甚至全国各地，很多经销商会到集散地大批集中采购． 潍坊某新建超市到青岛水果集散中心调研，看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调研得到了这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元． （1）补全表中空白处a，b的值； 该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）在（1）条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率）不低于16%，求m的最大值． 19. 三星堆遗址已有5000年历史，是迄今为止在中国境内发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古城、古国、古文化遗址．2022年三层堆青铜面具亮相央视春晚舞台，向全国观众掀开了它神秘的面纱，“三星堆文化”再次引起德阳广大市民的关注．为了解全市九年级学生对“三星堆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了500名学生进行周查，并将其问题分为了五类，A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）求图中a，b的值，以及E类所对应的圆心角的度数； （2）据统计，全市共有30000名九年级学生，请你估计“C．了解”的学生人数； （3）德阳市文化与旅游局为了解三星堆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景点知识的了解程度，按本题中“A，B，C，D，E”五类，分别赋上对应的分数“90分，80分，70分，45分，0分”，求得平均分x，若则受调查群体获评“优秀”；若，则受调查群体获评“良好”；若则受调查群体获评“合格”；若则受调查群体为“不合格”．请根据样本数据说明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？ 20. 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 21. 如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 22. 杭州第19届亚运会亚运会于2023年9月23日至10月8日成功举行，我国参赛的运动员所表现出的顽强意志和获得的优异成绩跟我们留下了深深的回忆．在女子10米台决赛上，全红婵第二跳发挥完美，7位裁判全部给出10分．某运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．（结果保留根号） （3）在平时进行10m跳台跳水训练时，正常情况下，运动员必须在距水面5m以前（含5m）完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间t（s）和运动员距离水面的高度h（m）满足关系式：，那么运动员在保证不失误的情况下，求运动员完成动作时间的最大值.（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省潍坊市初中学业水平考试模拟试题 数学试题（三） 注意事项： 1．本试题满分 150分，考试时间120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要错位置． 第I卷（选择题共44分） 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分，每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数的性质，根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：； 故选：B． 2. 下列交通标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了对实数的估算及在数轴上的表示能力，根据对的估算进行求解． 【详解】解：， ， 故选：D． 4. 如图，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质和对顶角相等，解题的关键是熟练运用平行线的性质； 根据平行线性质找的已知角和的关系求解即可． 【详解】，， ， ， ， ， 故选：A． 5. 解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示解集的方法判断即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式①②的解集在同一条数轴上表示为： 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应点的坐标． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心，且，点， ∴，，即点的坐标是． 故选：B． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，单项式乘以单项式，积的乘方运算以及合并同类项，根据各自的运算法则计算并判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. 不是同类项，不能合并，原计算错误； C. ，计算正确； D. ，计算正确； 故选CD． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到的下列结论中正确的是（ ） A. 在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B. 方程组的解为 C. 方程的解为 D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A正确； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B正确； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C正确； D．由函数图象可知，直线过点，所以当时，，故D错误； 故选：ABC． 9. 如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，小红同学得出了以下结论不正确的为（ ） A. B. C. 当时， D. 【答案】CD 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据二次函数的性质和图象中的数据，可以分别判断出各个结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 该抛物线与轴有两个交点，则，故A正确，不符合题意； 抛物线与轴相交于点、， 该抛物线的对称轴是直线， ， ，故B正确，不符合题意； 由图象可得，当时，或，故C错误，符合题意； 当时，，故D错误，符合题意； 故选：CD 10. 如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键． 根据折叠的性质和矩形的性质分析判断A；通过点G为中点，点为中点，设，，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断②；利用勾股定理分析判断和、和的数量关系，从而判断C和D． 【详解】由折叠性质可得：，，，，，，， ∴，， ∴， ∴，故A正确； 设，，则，， ∴， 在中，， ， 解得：， ∴，故B错误； 在中，设，则， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， ∴，， 故CD正确； 综上，正确的是ACD， 故选ACD． 第Ⅱ卷（非选择题共106分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果） 11. 根据市级生产总值统一核算结果，2023年全年潍坊市全市生产总值为7606.01亿元，将数据7606.01亿用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：7606.01亿 故答案为： 12. 的算术平方根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案． 【详解】，9的算术平方根为 的算术平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 13. 从1，，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点A的坐标记作，则点A在双曲线上的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数的性质．根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，在根据概率公式即可解答． 【详解】解：根据题意列出表格如下： 1 3 1 3 、在双曲线图象上， 由表可知，一共有6种情况，点A在双曲线上的情况有2种， ∴点A在双曲线上的概率， 故答案为：． 14. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是__________（结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， 雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程解， ， 故答案为：． 四、解答题（共8小题，共90分，请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2）； 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，分式的化简求值等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据乘方、绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值代入，进行计算后再进行加减法即可； （2）先计算括号内整式和分式的加法运算，再计算分式的乘法运算，得到化简结果，再把字母求值后，代入化简结果计算即可． 【详解】解：（1） （2） ， ∵， ∴， ∴原式． 16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结，则所有满足的中，求边的长的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，得出边的长的最大值等于圆的直径是解题的关键．作线段中点，作的垂直平分线，并使，以为圆心，为半径作圆，通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心，此时最大，等于圆的直径，得出，则，即可求解． 【详解】解：作线段中点，作的垂直平分线，并使，以为圆心，为半径作圆，如图， ∵为垂直平分线且， ∴， ， ， ∴弦所对的圆的圆周角为， ∴点在圆上，为圆的弦， 通过图形可知，当点位置时，恰好过格点且经过圆心， ∴此时最大，等于圆的直径， ＝，＝， ， ， ， ． 即边的长的最大值为． 17. 知识再现：如图1，在中，，，，的对边分别为a，b，c． ∵， ∴，． ∴． 拓展探究：如图2，在锐角中，，，的对边分别为a，b，c． 请探究，，之间的关系，并写出探究过程． 解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】拓展探究：；解决问题：点A到点B的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键． 拓展研究：作于点D，于点E，根据正弦的定义得， ，，，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可． 【详解】(拓展探究)证明：作于点D，于点E． 在中，， 同理：， ． ． ． ． ． (解答问题)解：在中， 解得： 答：点A到点B的距离为． 18. 随着区域水果市场经济的集聚和辐射，青岛已经成为中国北方最大的热带水果集散地，很多东南亚热带水果如榴莲、山竹等在青岛集散后，再发往胶东半岛甚至全国各地，很多经销商会到集散地大批集中采购． 潍坊某新建超市到青岛水果集散中心调研，看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调研得到了这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元． （1）补全表中空白处a，b的值； 该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）在（1）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率）不低于16%，求m的最大值． 【答案】（1）， （2）1.2 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，根据题意分两种情况：和，然后分别表示出总利润即可； （2）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（）不低于列出不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意列方程组为：， 解得； 设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克， ∴当时， ； 当时， ； 综上所述，； 【小问2详解】 当时，， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 当时，， ∴（元）， ∴由上可得：当时，y取最大值520（元）， ∴由题意可得，， ∴解得． ∴m的最大值为1.2． 19. 三星堆遗址已有5000年历史，是迄今为止在中国境内发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古城、古国、古文化遗址．2022年三层堆青铜面具亮相央视春晚舞台，向全国观众掀开了它神秘的面纱，“三星堆文化”再次引起德阳广大市民的关注．为了解全市九年级学生对“三星堆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了500名学生进行周查，并将其问题分为了五类，A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）求图中a，b的值，以及E类所对应的圆心角的度数； （2）据统计，全市共有30000名九年级学生，请你估计“C．了解”的学生人数； （3）德阳市文化与旅游局为了解三星堆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景点知识的了解程度，按本题中“A，B，C，D，E”五类，分别赋上对应的分数“90分，80分，70分，45分，0分”，求得平均分x，若则受调查群体获评“优秀”；若，则受调查群体获评“良好”；若则受调查群体获评“合格”；若则受调查群体为“不合格”．请根据样本数据说明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？ 【答案】（1），，E类所对应的圆心角的度数为； （2）估计“C．了解”的学生人数有12000人； （3）本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级． 【解析】 【分析】（1）由总人数乘以B类的占比可得b的值，再由总人数500减去除E类以外的各小类的人数可得a的值，再由E类的占比乘以可得圆心角的大小； （2）由总人数30000乘以C类的占比即可； （3）先求解样本平均数，再根据评级范围可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； ∴E类所对应的圆心角的度数为； 【小问2详解】 ∵（人）， ∴估计“C．了解”的学生人数有12000人； 【小问3详解】 样本平均数为： ， ∴本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级． 【点睛】本题考查的是折线统计图，扇形统计图，求解平均数，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． 20. 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【答案】（1）CG长为8m，DG长为4m （2）当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2 【解析】 【分析】（1）两块篱笆墙长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解； （2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 . 【小问1详解】 解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． 【小问2详解】 解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x-)2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程． 21. 如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； （2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， 和底边相切于点， ， ，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积 ， 图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22. 杭州第19届亚运会亚运会于2023年9月23日至10月8日成功举行，我国参赛的运动员所表现出的顽强意志和获得的优异成绩跟我们留下了深深的回忆．在女子10米台决赛上，全红婵第二跳发挥完美，7位裁判全部给出10分．某运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．（结果保留根号） （3）在平时进行10m跳台跳水训练时，正常情况下，运动员必须在距水面5m以前（含5m）完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间t（s）和运动员距离水面的高度h（m）满足关系式：，那么运动员在保证不失误的情况下，求运动员完成动作时间的最大值.（结果保留根号） 【答案】（1） （2）米 （3）秒 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）根据题意可得，抛物线过和，对称轴为直线， 设y关于x函数表达式为，用待定系数法求解即可； （2）令得,解得或（舍去），即可求解； （3）当时，解方程得，（舍去），即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，抛物线过和，对称轴为直线， 设y关于x的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为；． 【小问2详解】 解：在中，令得, 解得或（舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（）米； 【小问3详解】 解：当时， 解方程得，（舍去）， 所以运动员完成动作时间的最大值是秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$