3.2.1 单调性与最大（小）值 第2课时 （函数的最值）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最值 学习目标： 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大(小)值,理解它的作用和实际意义. 2.会根据问题的实际意义求函数的最大(小)值. 学习目标——明确方向，把握重、难点 学习重点： 借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大(小)值,理解它的作用和实际意义; 学习难点： 会根据问题的实际意义求函数的最大(小)值。 www.gzjxw.net 问题1：观察函数f(x)=x2的图象， (1)在区间(-∞,0]上，从左到右下降，当x增大时，函数值f(x)_______； (2)在区间[0,+∞)上，从左到右上升，当x增大时，函数值f(x)_______； （3）函数f(x)=x2在x=0处取到_______. 减小 增大 最小值 温故而知新 在(-∞,0]上单调递减，当时，； 在 [0,+∞)上单调递增，当时，； ； 在x=0时取得最小值，最小值是=0. www.gzjxw.net f(x0)=M 阅读预习，解决问题 www.gzjxw.net 提示:不一定.反例:f(x)=x既无最大值,也无最小值. 预习教材，解决问题 www.gzjxw.net 2 -1 1 5 预习教材，解决问题 www.gzjxw.net 答案:C 探究与发现 www.gzjxw.net 探究与发现 www.gzjxw.net 方法规律 www.gzjxw.net 探究点二：利用单调性求函数的最值 例2：已知函数f (x) = (x∈ [2, 6] )，求函数的最大值和最小值. 探究与发现 www.gzjxw.net 解： ∀x1,x2∈ [2, 6] ,且x1 < x2, 则f (x1) -f (x2) = - == 由2≤x1 < x2 ≤ 6，得> 0 ， > 0 ， 于是f (x1) -f (x2) > 0,即f (x1) > f (x2) 所以，函数f (x) = 在区间[2, 6] 上单调递减。 因此，函数f (x) = 在区间[2, 6]的两个端点上分别取得最大值与最小值。 在x=2时取得最大值，最大值是2;在x=6时取得最小值，最小值是0. 4. 探究与发现 例2：已知函数(x∈ [2, 6] )，求函数的最大值和最小值. www.gzjxw.net 变式训练2：已知函数f(x)= ，求f(x)在上的最大值和最小值. 探究与发现 www.gzjxw.net -7 8 探究与发现 www.gzjxw.net 探究与发现 www.gzjxw.net 14 探究与发现 www.gzjxw.net 课堂总结 www.gzjxw.net ≤ ≥ 【思考】 (1) 任何函数f(x)都有最大值和最小值吗? (2)若函数f(x)≤M,则M一定是函数f(x)的最大值吗? 提示:不一定,只有在定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是. 解析:由图象知点(1,2)是最高点,故ymax=2.点(-2,-1)是最低点,故ymin=-1. 解析:因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-1,2],所以f(x)的最小值为f(1)=1,最大值为f(-1)=5. 探索点一　图象法求函数的最值 【例1】(1)若函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 (　　) A.-2,f(2)　　　　B.2,f(2) C.-2,f(5) 　　　 D.2,f(5) 解析:由函数的图象知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5). 变式训练1：已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值. 解:作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知,当x=±1时,f(x)取得最大值1. 当x=0时,f(x)取得最小值0. 故f(x)的最大值为1,最小值为0. 变式训练3：函数f(x)=2-3x,当x∈[-2,3]时,f(x)的最小值为 ,最大值为 . 解析:因为函数f(x)=2-3x在区间[-2,3]上单调递减,所以函数f(x)=2-3x的最小值为f(3)=2-3×3=-7,最大值为f(-2)=2-3×(-2)=8. 解:由函数h=-x2+2x+,x∈的图象可知,函数图象的顶点就是水流喷出的最高点,此时函数取得最大值. 对于函数h=-x2+2x+,x∈,当x=1时,函数有最大值hmax=-12+2×1+=(m). 即水流喷出的高度h的最大值是 m. 【思考】 (1)任何函数f(x)都有最大值和最小值吗? 提示:不一定.反例:f(x)=x既无最大值,也无最小值. (2)若函数f(x)≤M,则M一定是函数f(x)的最大值吗? 提示:不一定,只有在定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是. $$