精品解析：2024年宁夏银川市考前数学押题试题

宁夏银川市2024年考前数学押题卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年12月21日举行的2024年全国能源工作会议公布数据，可再生能源已成为中国保障电力供应的新力量，装机达到14.5亿千瓦，占全国发电总装机的50%以上，历史性超过火电装机．14.5亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 9.5，9.5 B. 9.5，9.65 C. 9.8，9.5 D. 9.8，9.65 4. 如图，在等腰直角三角形中，，将绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．则点D到边的距离为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 6. 如图，是的直径，弦．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 图象与y轴交于点 8. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9 分解因式：______． 10. 已知0，则_____． 11. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将这些卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是轴对称图形的概率为________． 12. 如图，A，B是反比例函数图象上的两点，连接，．过点A作轴于点C，交于点D，点B的坐标为．若D为的中点，则的面积为_________． 13. 北京冬奥会开幕式巨型雪花状主火炬塔（如图）的设计，体现了环保低碳理念．如图，它的主体龙骨架形状呈正六边形．若点，，，，，是正六边形的六个顶点，则_____． 14. 有一张矩形纸片，，，将纸片沿如图的折痕折叠，使折叠后的对应边恰好经过点D，则线段的长为______． 15. 农用温室大棚的上半部分如图，迎阳坡的坡度，背阳坡的坡脚满足，棚宽，则拱高________． 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）．甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，…，其结构式如图所示，依此规律，十一烷的化学式为________． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． （1）请在图中画出统一时刻乙数的影子； （2）此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 18. 甲、乙两位同学分别解方程的过程如下： 甲： 解：去分母，得 移项、合并同类项，得 解得 ： ∴原方程解是 乙： 解：去分母，得 移项、合并同类项，得 解得： 经检验，是原方程的增根，原方程无解， 你认为甲、乙两位同学的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 19. 解不等式组：． 20. 年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，某校为了解学生课外阅读时间，随机调查了部分学生的课外阅读时间情况，根据调查结果，按照课外阅读时间划分为，，，四个组别，并绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机调查的学生有 名，扇形统计图中“”部分对应的扇形的圆心角的度数为 ； （2）通过计算补全条形统计图； （3）某班准备从课外阅读时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“经典诵读”活动，请用列表法活画树状图法求出恰好选中两名男生的概率． 21. 如图，在边长为8的正方形中，E为上一点，，连接，过B点作交于点F，过点A作的垂线分别交，，于点G，H，M． （1）求证：． （2）求． 22. 家用手推洗地机配合人体工学设计的把手和简单清晰的控制面板，操作舒适，配备刷子压力自动调节系统及出水系统，保证地板的清洗效果，深受人们喜爱．商场根据市场需求，采购了A，B两种型号的家用手推洗地机．已知B型每个的进价比A型的2倍少400元，若采购相同数量的A，B两种型号的家用手推洗地机，分别需要8万元和14万元． （1）请问A，B两种型号的家用手推洗地机的进价分别为多少？ （2）若A型家用手推洗地机的售价为1800元/个，B型家用手推洗涤机的售价为3200元/个，商场计划购进A，B两种型号的家用手推洗涤机共75个，要使总利润不低于2.48万元，则A型家用手推洗涤机最多购进多少个？ 23. 如图，在中，，以上一点O为圆心，长为半径圆交于点D，交于点E，交于点F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的面积． 24. 如图，过点的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作轴，垂足为M，交于点Q． （1）求点A，B的坐标． （2）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使以点A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象交于A，B两点． （1）求反比例函数的表达式． （2）当时，请写出x的取值范围． （3）如图，P是线段上的一点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C，与反比例函数图象分别交于点F，E，连接．将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形，请求出的度数． 26. 如图，在中，，，，点P从C点出发沿射线以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点Q从A点出发沿以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点Q到达B点时，P，Q都停止运动．E是的中点，直线交直线于点F，点与点E关于直线对称．设点P，Q的运动时间为． （1）当t为多少秒时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？ （2）设四边形的面积为S，请写出当时，S与t的函数关系式并求出当t值为多少时，四边形的面积最小． （3）当为等腰直角三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁夏银川市2024年考前数学押题卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列计算，正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则逐项判断即可解答，掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 2. 2023年12月21日举行的2024年全国能源工作会议公布数据，可再生能源已成为中国保障电力供应的新力量，装机达到14.5亿千瓦，占全国发电总装机的50%以上，历史性超过火电装机．14.5亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：亿． 故选：D 3. 某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 9.5，9.5 B. 9.5，9.65 C. 9.8，9.5 D. 9.8，9.65 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数．解题的关键在于熟练掌握中位数与众数的定义与求解方法．根据折线图将成绩从小到大依次排列，然后求中位数与众数即可． 【详解】解：由图可知，次的成绩由小到大依次排列为、、、、、、、、、， ∴10次成绩的中位数为， 出现的次数最多，则众数是，故B正确． 故选：B． 4. 如图，在等腰直角三角形中，，将绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、坐标与图形等知识点，掌握旋转的性质成为解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得,，再根据旋转的性质可得点在y轴正半轴上，，最后根据坐标与图形即可解答． 【详解】解：在等腰直角三角形中，， ∴， ∴,， ∵将绕原点O顺时针旋转， ∴点在y轴正半轴上，, ∴点的坐标为． 故选C． 5. 如图，在中，，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．则点D到边的距离为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理的应用，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．过点D作于E，如图所示，求解，证明，再利用等面积法求解即可； 【详解】解：过点D作于E，如图所示， ∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 6. 如图，是的直径，弦．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、同角的余角相等等知识点，灵活运用圆周角定理成为解题的关键． 根据圆周角定理可得，再根据圆周角定理可得以及弦可得、，最后根据同角的余角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 图象与y轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得， 水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于要进行二次因式分解．先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解： ． 故答案为： 10. 已知0，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质设，，，再代入计算可求解． 【详解】解：有题意设，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的性质，利用比例的性质设参数是解题的关键． 11. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将这些卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是轴对称图形的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，轴对称图形，用树状图表示所有情况的结果，然后找出抽取的两张卡片上的图形都是轴对称图形的情况，最后根据概率公式计算即可，解题的关键熟练掌握列表法或画树状图法求概率． 【详解】解：分别用，，，表示等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，画树状图如下： 依题意和由图可知，共有种等可能的结果数，其中两次抽出的图形都是轴对称图形的占种， ∴两次抽出的图形都是中心对称图形的概率为：． 故答案为：. 12. 如图，A，B是反比例函数图象上的两点，连接，．过点A作轴于点C，交于点D，点B的坐标为．若D为的中点，则的面积为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，求解反比例函数解析式，利用的面积转化为三角形的面积．应用的几何意义及中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点B的坐标为， ∴， ∴； 的面积为， ∵D为的中点，， ∴的面积为． 故答案为：3． 13. 北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔（如图）的设计，体现了环保低碳理念．如图，它的主体龙骨架形状呈正六边形．若点，，，，，是正六边形的六个顶点，则_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，由正六边形的性质得，再由等边三角形的性质得，熟练掌握正六边形的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点，，，，，是正六边形的六个顶点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 14. 有一张矩形纸片，，，将纸片沿如图的折痕折叠，使折叠后的对应边恰好经过点D，则线段的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长. 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 根据折叠的性质,得， ，，； 在中，由勾股定理，得； ∴； 在中，由勾股定理，得. ∴； 解得； 故答案是：5 15. 农用温室大棚的上半部分如图，迎阳坡的坡度，背阳坡的坡脚满足，棚宽，则拱高________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、正弦、坡度等知识点，灵活运用正弦和坡度的知识是解题的关键． 设，根据正弦和勾股定理可得，再根据坡度可得，最后根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵, ∴， 解得：， ∴， ∵迎阳坡的坡度， ∴,即 ，解得：， ∵, ∴， 解得：． 故答案为：3.3m 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）．甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，…，其结构式如图所示，依此规律，十一烷的化学式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究，根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十一烷的化学式为， 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． （1）请在图中画出统一时刻乙数的影子； （2）此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 【答案】（1）画图见解析； （2）小华的影长是米． 【解析】 【分析】（）根据相似三角形画出图形； （）根据相似三角形的性质求出小华的影长； 本题考查了平行投影，相似三角形的应用，解题的关键是掌握知识点的应用． 【小问1详解】 如图，连接，过作，交于点， ∴即为所求； 【小问2详解】 设小华的影长是米， 由题意得：， 解得：， 答：小华的影长是米． 18. 甲、乙两位同学分别解方程的过程如下： 甲： 解：去分母，得 移项、合并同类项，得 解得 ： ∴原方程的解是 乙： 解：去分母，得 移项、合并同类项，得 解得： 经检验，是原方程的增根，原方程无解， 你认为甲、乙两位同学的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】甲、乙两位同学的解法都错误，正确解法见解析． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解：甲、乙两位同学的解法都错误，正确解法： 去分母，得 移项、合并同类项，得 解得： 经检验，是原分式方程的解． 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：． 20. 年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，某校为了解学生课外阅读时间，随机调查了部分学生的课外阅读时间情况，根据调查结果，按照课外阅读时间划分为，，，四个组别，并绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机调查的学生有 名，扇形统计图中“”部分对应的扇形的圆心角的度数为 ； （2）通过计算补全条形统计图； （3）某班准备从课外阅读时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“经典诵读”活动，请用列表法活画树状图法求出恰好选中两名男生的概率． 【答案】（1），； （2）补全条形统计图见解析； （3）恰好选中两名男生的概率为． 【解析】 【分析】（）由组的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以人数所占比例即可得其对应圆心角度数； （）根据各类型人数之和等于总人数求得组的人数，补全图形即可得； （）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中两名男生的结果数，再利用概率公式可得出答案； 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． 【小问1详解】 本次随机调查的学生有（人）， 扇形统计图中“”部分对应的扇形的圆心角的度数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 由（）得本次随机调查的学生有人， ∴组的人数（人）， 补全条形统计图，如下图： 【小问3详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选中两名男生的结果有种， ∴恰好选中两名男生的概率为． 21. 如图，在边长为8的正方形中，E为上一点，，连接，过B点作交于点F，过点A作的垂线分别交，，于点G，H，M． （1）求证：． （2）求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切的含义，熟记几何图形的基本性质是解本题的关键. （1）先证明，，，可得，即可得到结论； （2）先证明，再结合正切的定义求解即可； 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在边长为8的正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴； 22. 家用手推洗地机配合人体工学设计的把手和简单清晰的控制面板，操作舒适，配备刷子压力自动调节系统及出水系统，保证地板的清洗效果，深受人们喜爱．商场根据市场需求，采购了A，B两种型号的家用手推洗地机．已知B型每个的进价比A型的2倍少400元，若采购相同数量的A，B两种型号的家用手推洗地机，分别需要8万元和14万元． （1）请问A，B两种型号的家用手推洗地机的进价分别为多少？ （2）若A型家用手推洗地机的售价为1800元/个，B型家用手推洗涤机的售价为3200元/个，商场计划购进A，B两种型号的家用手推洗涤机共75个，要使总利润不低于2.48万元，则A型家用手推洗涤机最多购进多少个？ 【答案】（1）A，B两种型号的家用手推洗地机的进价分别为1600元、2800元． （2）A型家用手推洗涤机最多购进27个． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出分式方程和不等式成为解题的关键． （1）设A种型的进价为x元，则B种型号扫地机器人每个的进价为元，利用“数量=总价÷单价”结合采购相同数量的A，B两种型号的家用手推洗地机，分别需要8万元和14万元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A种型号家用手推洗地机的进价，再将其代入中，即可求出B种型号家用手推洗地机的进价； （2）设A型家用手推洗涤机最多购进m个，则购买个B型号家用手推洗涤机，根据总利润不低于248万元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种型的进价为x元，则B种型号扫地机器人每个的进价为元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A，B两种型号的家用手推洗地机的进价分别为1600元、2800元． 【小问2详解】 解：设A型家用手推洗涤机最多购进m个，则购买个B型号家用手推洗涤机， 根据题意进而得：，解得：， 所以，A型家用手推洗涤机最多购进27个． 23. 如图，在中，，以上一点O为圆心，长为半径的圆交于点D，交于点E，交于点F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线判定、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握切线的判定定理成为解题的关键． （1）先证明，根据平行线的性质可得即可证明结论； （2）根据直角三角形的性质可得，再结合可得，即，最后根据圆的面积公式即可解答． 【小问1详解】 证明：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 24. 如图，过点的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作轴，垂足为M，交于点Q． （1）求点A，B的坐标． （2）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使以点A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、抛物线与x轴的交点、两点间距离公式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）将点、点代入求得抛物线解析式，然后令求解即可确定点A，B的坐标； （2）先求出直线的解析式为，设则，然后再运用两点间距离公式表示出,最后分、和三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：将点、点代入可得： ，解得：， ∴， 令得,解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴. ． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则有：，解得： ∴直线的解析式为， 设， ∵P在第四象限，则Q在第四象限， ∴，解得：， ∵，，， ∴①当，则，解得：， ∵， ∴， ∴； ②当，则，解得：或， ∵， ∴， ∴； ③当，则，解得：不符合题意． 综上，存在满足题意的点Q，且点Q的坐标为或． 25. 如图，反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象交于A，B两点． （1）求反比例函数的表达式． （2）当时，请写出x的取值范围． （3）如图，P是线段上的一点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C，与反比例函数图象分别交于点F，E，连接．将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形，请求出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析、根据函数图象确定不等式的解集、菱形的性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）直接将代入求得k的值即可； （2）联立反比例函数和直线的解析式求得A、B的坐标，然后再根据函数图象确定的x取值范围即可； （3）设，则，由菱形的性质可得，据此结合两点间距离公式可求得，则；再证四边形是矩形，可得易证是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：接将代入可得：，解得：， 所以反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：联立反比例函数和直线的解析式可得，解得：， ∴, 根据函数图象可知：时，x的取值范围为：． 【小问3详解】 解：设，则， ∵将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形， ∴, ∴，解得：， ∴， ∵过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C， ∴四边形是矩形， ∴ ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴． 26. 如图，在中，，，，点P从C点出发沿射线以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点Q从A点出发沿以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点Q到达B点时，P，Q都停止运动．E是的中点，直线交直线于点F，点与点E关于直线对称．设点P，Q的运动时间为． （1）当t为多少秒时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？ （2）设四边形的面积为S，请写出当时，S与t的函数关系式并求出当t值为多少时，四边形的面积最小． （3）当为等腰直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）当或时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似； （2），当时，最小值为； （3）当为等腰直角三角形时，或； 【解析】 分析】（1）先求解，再分两种情况讨论即可； （2）如图，过作于，而，证明，可得，当时，上，利用建立函数关系式，再进一步求解即可； （3）如图，由轴对称的性质可得：，，证明，如图，过作于，可得，再分两种情况建立方程求解即可； 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵点P从C点出发沿射线以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点Q从A点出发沿以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点Q到达B点时，P，Q都停止运动， ∴，，，，其中； 当时， 当时， ∴，即， 解得：， 当时， ∴，即， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 综上：当或时，以A，P，Q为顶点三角形与相似； 【小问2详解】 解：如图，过作于，而， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，在上， ∴ ， 当时，的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，由轴对称的性质可得：，， 而， ∴， ∴， 当时，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过作于， ∴为等腰直角三角形， ∴， 结合（2）可得， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， 同理可得：， ∴， 解得：， 综上：当为等腰直角三角形时，或； 【点睛】本题是动态几何题，难度较大，考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$