精品解析：安徽省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试题

2023年安徽省普通高中学业水平合格性考试 数学真题卷 本试卷共25小题，满分为100分.共4页.考试时间为90分钟. 一、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 若集合，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则等于（ ） A. 13 B. 5 C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 如图，在平行四边形中，点是的中点，设，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某公司有1500名员工，其中男员工800名，女员工700名．为了解该公司员工的身体状况，现按性别进行分层抽样，从全体员工中抽取30名进行调查，则应抽取男员工的人数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 下列函数为减函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 设命题，，则的否定是（ ） A. B. C. D. 8. 为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移单位长度 D. 向左平移个单位长度 9. 某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量（单位：本）进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数是奇函数，且最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 11. 角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 12. 王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件表示“抽中甲、乙两位同学”，事件表示“抽中甲、丙两位同学”，则（ ） A. 是必然事件 B. 是不可能事件 C. 与是互斥事件 D. 与是对立事件 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 15. 的内角的对边分别为，c．若，．，则等于（ ） A. B. C. D. 16. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（ ） A. B. C. D. 17. 下列关于平面平行的命题，正确的是（ ） A. 若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C. 若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行 D. 若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行 18. 设为实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如，.称函数为取整函数，下列关于取整函数的三个结论： ①对任意，都有； ②对任意，都有； ③对任意，都有. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 19. ______． 20. 已知向量．若，则______． 21. 用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是______． 22. 如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为______． 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程和验算步骤． 23. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边位于第一象限，且与单位圆交点的横坐标为． （1）求的值； （2）将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与角的终边重合，求的值． 24. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，是的中点，底面． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． 25. 如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． （1）设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式及定义域； （2）当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年安徽省普通高中学业水平合格性考试 数学真题卷 本试卷共25小题，满分为100分.共4页.考试时间为90分钟. 一、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 若集合，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 已知是虚数单位，则等于（ ） A. 13 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法即可. 【详解】. 故选：A. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，即， 解得或，则不等式的解集为或. 故选：B. 4. 如图，在平行四边形中，点是的中点，设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选：D 5. 某公司有1500名员工，其中男员工800名，女员工700名．为了解该公司员工的身体状况，现按性别进行分层抽样，从全体员工中抽取30名进行调查，则应抽取男员工的人数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层比即可求解. 【详解】按性别进行分层抽样，从全体员工中抽取30名进行调查，则应抽取男员工的人数为， 故选：C 6. 下列函数为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本函数的单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，由于，所以不是减函数， 对于B，为上的单调递增函数， 对于C，为上的单调递增函数， 对于D, 为单调递减函数， 故选：D 7. 设命题，，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】的否定是:, 故选：A 8. 为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的平移变换即可求解. 【详解】为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点向左平移个单位长度, 故选：D 9. 某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量（单位：本）进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】数据在的概率为， 数据在的概率为， 故样本数据的第25百分位数所在的区间为， 故选：B 10. 下列函数是奇函数，且最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐一分析即可. 【详解】是奇函数，最小正周期为，故不符合题意； 是偶函数，最小正周期为，故不符合题意； 是奇函数，最小正周期为，故符合题意； ，得， 所以的对称中心为， 故不是奇函数， 的最小正周期为，故不符合题意； 故选：. 11. 角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧度制与角度值的转化即可. 【详解】. 故选：A. 12. 王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件表示“抽中甲、乙两位同学”，事件表示“抽中甲、丙两位同学”，则（ ） A. 是必然事件 B. 是不可能事件 C. 与是互斥事件 D. 与是对立事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的定义，以及对立和互斥的定义即可根据选项逐一求解. 【详解】从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访,所有的基本事件有{（甲乙），（甲丙），（乙丙）}， 对于A，是不一定发生，故不是必然事件， 对于B，是可能发生，所以不是不可能事件， 对于C，与不能同时发生，故与是互斥事件， 对于D, 与不能同时发生，但不是全部事件，所以不是对立事件， 故选：C 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数运算可得，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】由可得，故， 因此“”是“”的充分不必要条件 故选：A 14. 的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性及函数零点存在性定理求解. 【详解】因为在上单调递增， 且， 所以函数零点所在区间为. 故选：C 15. 的内角的对边分别为，c．若，．，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，解得， 故选：D 16. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率的公式即可求解. 【详解】频率为， 故选：C 17. 下列关于平面平行的命题，正确的是（ ） A. 若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C. 若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行 D. 若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行 【答案】B 【解析】 【分析】对A，两面相交，另一平面有无数条直线和交线平行也和该平面平行，故可判断；对B，根据平面平行的判定定理即可判断；对C，根据墙面三个角可判断；对D，两面相交一条直线，和直线平行的直线都平行两平面，故可判断. 【详解】对A，假设两个面相交于一条直线，则其中一个平面内有无数条直线与交线平行也与另一个平面平行，故A不正确； 对B，根据平面平行的判定定理，可知一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故B正确； 对C，若两个平面与同一个平面垂直，不一定得出两平面平行，例如墙角的三个面，故C错误； 对D，两个平面与同一条直线平行，不一定能得出两面平行，例如两面相交与一条直线，存在与交线平行的直线平行于两个面，故D错误. 故选：B 18. 设为实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如，.称函数为取整函数，下列关于取整函数的三个结论： ①对任意，都有； ②对任意，都有； ③对任意，都有. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据的定义，可得，即可求解①②，举反例即可求解③. 【详解】对于①，由定义得：，故对，，故①正确； 对于②，，令，则，所以， 因此，故②正确； 对于③，取， 则， 不满足，故③错误， 故选：A. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 19. ______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】, 故答案为：0 20. 已知向量．若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：2. 21. 用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法和古典概率模型公式即可求解. 【详解】用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，共有6种情况： ， 其中组成的三位数为偶数的只有两种， 故组成的三位数为偶数的概率是. 故答案为：. 22. 如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据线面垂直可得线面角的几何角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】连接, 由于直三棱柱中，平面，平面， 故,又,平面， 故平面, 由于,所以平面, 故为与平面所成的角， 由于，所以, ， 由于为锐角，所以， 故答案为： 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程和验算步骤． 23. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边位于第一象限，且与单位圆交点的横坐标为． （1）求的值； （2）将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与角的终边重合，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系即可求出； （2），再利用两角和的正弦公式即可. 【小问1详解】 由题意得，因为角的终边位于第一象限， 所以. 【小问2详解】 由题意得. 24. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，是的中点，底面． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明:连接，因为△ABC为正三角形，M为BC的中点， 所以，因为底面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正三角形性质和线面垂直性质得，，最后再利用线面垂直的判定和性质即可证明； （2）利用勾股定理求出，最后利用椎体体积公式即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为底面是正三角形，， 则，因为底面，底面，所以， 所以， 所以. 25. 如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． （1）设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式及定义域； （2）当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】（1） （2）当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【小问1详解】 则，， 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $