精品解析：湖北省孝感方子高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

方子高中2023～2024学年度高二下学期期末考试 数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：基本不等式，函数． 一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 1. 当函数在定义域上单调递增时，称其为_________（“增”或“减”）函数． 2. 若，且，，，则_________． 3. 请写出基本不等式：_________． 4. 若函数定义域为，若，有，且，则称函数为_________（“奇”或“偶”）函数． 二、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. 已知函数，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：m/s），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），m是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（ ）（，） A. 40m/s B. 36m/s C. 78m/s D. 95m/s 11. 若，且，则的最小值为（ ） A B. C. D. 12. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 13. 下列各组函数中，两个函数相同的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 若函数在区间上的图象不间断，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则上不存在零点 B. 已知方程解在内，则 C. 若，则在上至少有一个零点 D. 若在内有且只有一个零点，则 15. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 函数是增函数 D. 函数的值域为 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 16. （1）； （2）． 17. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的解析式； （2）判断的奇偶性，并证明. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． （1）求值，并求出的解析式； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 19. 设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且． （1）求和解析式； （2）判断在上的单调性，并给出证明． 20. 已知函数． （1）若在上的最小值为，求的值； （2）若函数恰有3个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方子高中2023～2024学年度高二下学期期末考试 数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：基本不等式，函数． 一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 1. 当函数在定义域上单调递增时，称其为_________（“增”或“减”）函数． 【答案】增 【解析】 【分析】略 【详解】略 2. 若，且，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 3. 请写出基本不等式：_________． 【答案】若，，则，当且仅当时，等号成立． 【解析】 【分析】直接写出基本不等式即可. 【详解】若，，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：若，，则，当且仅当时，等号成立. 4. 若函数定义域为，若，有，且，则称函数为_________（“奇”或“偶”）函数． 【答案】偶 【解析】 【分析】略 【详解】略 二、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】由题意知，解得且， 即的定义域为． 故选：D． 6. 当时，的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2． 故选：C． 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为奇函数，有，代入函数解析式求值即可． 【详解】是定义在上的奇函数，当时，， 则． 故选：B． 8. 已知函数，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由内向外，先求，则，代入式子即可求得a. 【详解】，， 解得， 故选：B. 9. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得， 又由对数函数的性质，可得， 所以，即． 故选：D． 10. 近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：m/s），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），m是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（ ）（，） A. 40m/s B. 36m/s C. 78m/s D. 95m/s 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件确定kg，kg，m/s，按公式直接运算即可. 【详解】解：由于，其中kg，kg，m/s， 所以（m/s）. 故选：A. 11. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 12. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案. 【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 三、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 13. 下列各组函数中，两个函数相同的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A. ，的定义域均为，且对应关系相同，故两个函数相同，A正确， 对于B. ，，两个函数对应关系不相同，故两个函数不相同，B错误， 对于C. 的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不是相同的函数，C错误， 对于D. ，的定义域均为，且对应关系相同，故两个函数相同，D正确， 故选：AD 14. 若函数在区间上的图象不间断，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上不存在零点 B. 已知方程的解在内，则 C. 若，则在上至少有一个零点 D. 若内有且只有一个零点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据特例结合零点存在性定理依次判断即可． 【详解】对A，若，则，，， 令，，，则在上存在零点0，故A错误； 对B，令，又在上单调递增，且，， 所以方程的解在内，所以，故B正确； 对C，函数在区间上的图象不间断，若，则在上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故C正确； 对D，若，，，又在上存在零点0，但，故D错误． 故选：BC． 15. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 函数是增函数 D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，直接由高斯函数定义来验证即可；对于B，注意到，使得，即可运算判断；对于C，由B选项分析即可判断；对于D，由B选项可得的周期，故只需讨论在上的值域即可. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，因为，使得，此时， 从而，故B选项错误； 对于C，由B可知对于，有，故C选项错误； 对于D，由B选项分析可知，函数是以1为周期的周期函数，故只需讨论在上的值域即可， 当时，，即函数的值域为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：对于A选项的判断比较常规，本题的关键是注意到，使得，从而即可判断BCD三个选项. 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 16. （1）； （2）． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】由指数幂运算及对数运算性质求解． 【详解】解：（1）； （2）． 17. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的解析式； （2）判断奇偶性，并证明. 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求； (2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断. 【小问1详解】 由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； 【小问2详解】 为偶函数， 证明如下：定义域为R，， 故偶函数. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． （1）求的值，并求出的解析式； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 19. 设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且． （1）求和的解析式； （2）判断在上的单调性，并给出证明． 【答案】（1）， （2）在上单调递减；证明见解析 【解析】 【分析】（1）由奇偶性求解函数解析式； （2）由定义法证明函数的单调性． 【小问1详解】 由，可得， 又为偶函数，为奇函数，所以， 所以， ； 【小问2详解】 由（1）得，所以在上单调递减， 证明如下：若，则， 又，所以，所以， 所以， 所以，所以在上单调递减． 20. 已知函数． （1）若在上的最小值为，求的值； （2）若函数恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对a分类讨论及利用基本不等式求解； （2）令，则方程化为，结合函数的图象进行求解． 【小问1详解】 当时，在上单调递增，所以不存在最小值； 当时，， 所以，解得（舍去）或，故； 【小问2详解】 令， 即，． 令，则方程化为， 画出的图象如图所示， 因为恰有3个零点，所以有两个根，，且， 记， 则，解得， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$