精品解析：广东省江门市第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

江门一中2023-2024学年度第一学期第开学考试 高三级数学试卷 命题人：张莉华 审题人：林桂华 本试卷共150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必把自己的姓名､考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效. 一､单选题 1. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则其数学期望（ ） 1 2 4 0.2 0.6 A. 1 B. 0.2 C. 2.8 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据表中数据可求解，进而又期望的公式即可求解. 【详解】由表可知：， 所以， 故选:D 2. 已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数经过的点得表达式，进而根据幂函数的性质即可结合选项求解. 【详解】设幂函数的解析式为 由幂函数的图象过点，解得 ，其定义域为，且是增函数， 当时，其图象在直线的上方，故 C满足题意. 故选：C 3. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. -488 B. 60 C. 480 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，再代入通项公式可求得结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中含的项的系数是， 故选：B 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数在某点处的切线方程求解步骤，可得答案. 【详解】，，，易得切线方程为， 故选：C． 5. 已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】写出抛物线的准线方程，由圆的方程得圆心和半径，由已知得圆心到准线的距离为半径，从而求出. 【详解】因为 ，所以抛物线准线为 又 ，所以圆心坐标为 ，半径为2 由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以 故选：C. 6. 某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（ ） A. 72 B. 144 C. 288 D. 156 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列的相邻元素捆绑、不相邻元素插空的方式计算排列数即可得答案. 【详解】将2道必须相邻的工序捆绑在一起看作一个元素， 将其与没有特别要求的2道工序排成一排，再把2道不相邻的工序插入， 加工顺序的种数为. 故选：B. 7. 已知函数为偶函数，且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数，得出关于对称，根据得出函数关于对称，利用对称轴与对称中心得出周期，再通过赋值法求出，将即可求解． 【详解】为偶函数， ， 即关于对称， 则，由， 得函数关于对称， 令，得，得，则， 即， 即， 得， 即是周期为4的周期函数， 令，由得，，即， ， 故选：B． 8. 若定义在区间上的函数的导函数为增函数，则为上的凹函数.①；②；③；④，这四个函数中为上的凹函数的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据导函数的单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①,，则函数在上单调递减， 在上单调递增，故函数不是上的凹函数； 对于②，在上单调递增，故函数是上的凹函数； 对于③，在上单调递减，故函数不是上的凹函数： 对于④，在上单调递增，故函数是上的凹函数. 故选：D. 二､多选题 9. 已知随机变量，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性逐一判断即可. 【详解】由，则，由， 所以，故A正确，B错误； 由，所以， 所以，故C正确； 由上可知，，故D错误. 故选：AC. 10. 某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为，计算其相关系数为，决定系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为，相关系数为，决定系数为．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据散点图对相关性的强弱的影响即可判断四个选项. 【详解】由图可知两变量呈现正相关，故，，去掉“离群点”后，相关性更强，所以，故，故A正确，B不正确． 根据图象当去掉F点后，直线的基本在A,B,C,D,E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略向轴偏向，故斜率会变小，因此可判断，故C正确,D错误. 故选：AC． 11. 已知函数，且满足，则（ ） A. 函数在处有极大值 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数在有极大值 D. 函数在区间和上是增函数 【答案】CD 【解析】 【分析】求导，根据得，即可根据导数求解函数的单调性以及极值. 【详解】的定义域为 故 令或；令或 在和上单调递增，在和上单调递减 有极大值，有极小值. 故选：CD 12. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于点，两点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 时，以为直径的圆经过点 【答案】AD 【解析】 【分析】设直线的方程以及点的坐标，联立方程利用韦达定理结合向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】由题意可得：抛物线的焦点为，准线，则， 设直线的方程为，，， 联立方程得，消去得， 可得，解得且，故Ｃ错误； 则，故A正确； 可得， 易知同号，所以，故B错误； 因为，， 所以 ， 当时，，此时为直角，即以为直径的圆经过点，故D正确. 故选：AD. 三､填空题 13. 函数的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出函数的极小值点． 【详解】， ， 令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当，取极小值，且极小值点为， 故答案为： 14. 已知，且，则的方差为________． 【答案】. 【解析】 【分析】结合二项分布的方差的计算公式求出，进而根据方差的性质即可求出结果. 【详解】因为，所以，且 则，因此的方差为， 故答案为：. 15. 已知甲盒中有4个白球，1个红球，乙盒中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.先从甲盒中任取2个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球.计算从乙盒中取出的是红球的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】记“从乙盒中取出的是红球”为事件，“从甲盒中任取2个球”为事件，事件为“从甲盒中任取2个球均为白球”，事件为“从甲盒中任取2个球为一白一红”，则，从而可求得结果 【详解】记“从乙盒中取出的是红球”为事件，“从甲盒中任取2个球”为事件， 事件为“从甲盒中任取2个球均为白球”，事件为“从甲盒中任取2个球为一白一红”， ，且互斥，所以， 故答案为：. 16. 函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令,将原函数转化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】的定义域为，令 ，当且仅当，即时取“等号” 的值域为. 故答案为： 五､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过等比数列的基本量运算求出公比，进而求出通项公式； （2）结合（1）求出，然后根据错位相减法求得答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题意得 因为等比数列中 ，又，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ①. ② ①-②得 所以. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为等边三角形，. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得线线垂直，即可求证线面垂直，进而可求解线线垂直， （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接 为等腰三角形，. ，. ，平面 平面，平面， 所以. 【小问2详解】 ， . 以为原点，为轴，为轴，为2轴，建立如图所示的空间直角坐标系， . 设平面的法向量，， 令 平面的法向量为. ， 设平面与平面的夹角为，则， 平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间及极值； （2）若时，不等式在上恒成立，求参数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；的极大值为，极小值为-2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值； （2）问题等价于在区间恒成立，设，利用导数求最小值即可得的取值范围. 【小问1详解】 时，，函数定义域为， ， 令，解得：或，令，解得： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 时，有极大值， 时，有极小值. 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为-2 【小问2详解】 时，在上恒成立， 即在区间恒成立. 设，则， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 故，故. 故的取值范围为. 20. 某企业有甲、乙两条生产线，为了解生产产品质量情况，采用简单随机抽样的方法从两条生产线共抽取200件产品，测量产品尺寸（单位：）得到如下统计数据，其中尺寸位于的产品为一等品，其它产品为非一等品． 尺寸 生产线 甲 2 7 26 32 22 9 2 乙 2 9 25 30 20 10 4 （1）为考察生产线（甲、乙）对产品质量（一等品、非一等品）的影响，请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为产品质量与生产线有关联？ 生产线 产品质量 合计 一等品 非一等品 甲 乙 合计 （2）用样本频率估计概率，从甲、乙两条生产线分别随机抽取2件产品，每次抽取产品互不影响，用表示这4件产品中一等品的数量，求的分布列． 附：①，其中． ②临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 生产线 产品质量 合计 一等品 非一等品 甲 80 20 100 乙 75 25 100 合计 155 45 200 不能 （2） 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 【解析】 【分析】（1）由题意可得列联表，计算的值，与临界值表比较，可得结论； （2）确定的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列. 【小问1详解】 由题意可得列联表如下： 生产线 产品质量 合计 一等品 非一等品 甲 80 20 100 乙 75 25 100 合计 155 45 200 故， 故根据小概率值的独立性检验，不能认为产品质量与生产线有关联. 【小问2详解】 由已知可知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为， 任取一个乙生产线零件为一等品的概率为， 则的取值可能为， ， ， ， ， ， 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 21. 已知函数. （1）已知曲线在点的切线与轴平行，求参数的值； （2）若和有两个不同交点，求参数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由求解； （2）转化为有两个不同实根，设， 则，对a分类讨论求解． 【小问1详解】 . 又在在处的切线平行于x轴 . ， ； 【小问2详解】 和有两个不同交点， 则， 即有两个不同实根 设， 则， （i）若，则，在上单调递减，所以至多有一个零点，不符合题意；. （ii）若，由得，，由得， 则在单调递减，在单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， ①当时，由于，故只有一个零点，舍去， ②当时，由于， 即，故没有零点；舍去 ③当时，，即. 又，故在有一个零点， 令， 由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 又当时，，得， 所以， 由于，且，所以在上有一个零点， 所以在上有两个零点 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问中，当时，即，而，故在有一个零点，令，即，又当时，，得，所以即可求解． 22. 如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和. （1）求双曲线的标准方程； （2）证明：直线的斜率之积为定值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 设点，由题可知， 则， 所以， 由点在双曲线上，可知，即有， 所以，故； （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可； （2）设点，由斜率的定义可知，再将代入双曲线方程即可求解； （3）利用（2）中结论设直线的方程为，的方程为，分别代入椭圆方程求得即可求解. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为， 由题意知，且，所以， 所以双曲线的标准方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，且， 所以可设直线的方程为， 则直线的方程为， 把直线的方程代入椭圆方程， 整理得， 设，则有， 因此 ， 把直线的方程代入椭圆方程， 整理得， 设，，则有，， 因此 ， 所以又， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，， （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门一中2023-2024学年度第一学期第开学考试 高三级数学试卷 命题人：张莉华 审题人：林桂华 本试卷共150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必把自己的姓名､考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效. 一､单选题 1. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则其数学期望（ ） 1 2 4 0.2 0.6 A. 1 B. 0.2 C. 2.8 D. 3 2. 已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. -488 B. 60 C. 480 D. 45 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（ ） A. 72 B. 144 C. 288 D. 156 7. 已知函数为偶函数，且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 8. 若定义在区间上的函数的导函数为增函数，则为上的凹函数.①；②；③；④，这四个函数中为上的凹函数的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 二､多选题 9. 已知随机变量，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为，计算其相关系数为，决定系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为，相关系数为，决定系数为．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，且满足，则（ ） A. 函数在处有极大值 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数在有极大值 D. 函数在区间和上是增函数 12. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于点，两点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 时，以为直径的圆经过点 三､填空题 13. 函数的最小值为_____． 14. 已知，且，则的方差为________． 15. 已知甲盒中有4个白球，1个红球，乙盒中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.先从甲盒中任取2个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球.计算从乙盒中取出的是红球的概率为__________. 16. 函数的值域为__________. 五､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为等边三角形，. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间及极值； （2）若时，不等式在上恒成立，求参数的取值范围. 20. 某企业有甲、乙两条生产线，为了解生产产品质量情况，采用简单随机抽样的方法从两条生产线共抽取200件产品，测量产品尺寸（单位：）得到如下统计数据，其中尺寸位于的产品为一等品，其它产品为非一等品． 尺寸 生产线 甲 2 7 26 32 22 9 2 乙 2 9 25 30 20 10 4 （1）为考察生产线（甲、乙）对产品质量（一等品、非一等品）的影响，请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为产品质量与生产线有关联？ 生产线 产品质量 合计 一等品 非一等品 甲 乙 合计 （2）用样本频率估计概率，从甲、乙两条生产线分别随机抽取2件产品，每次抽取产品互不影响，用表示这4件产品中一等品的数量，求的分布列． 附：①，其中． ②临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21. 已知函数. （1）已知曲线在点的切线与轴平行，求参数的值； （2）若和有两个不同交点，求参数的取值范围. 22. 如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和. （1）求双曲线的标准方程； （2）证明：直线的斜率之积为定值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $