4.4.2 对数函数的图象和性质 同步检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.2　对数函数的图像和性质（同步检测） 一、选择题 1.若函数f(x)＝，函数f(x)与函数g(x)图象关于y＝x对称，则g(9－x2)的单调减区间是(　　) A.[0，3) B.[－3，0) C.(0，3] D.(－3，0] 2.已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.[2，＋∞) 3.历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间．对数运算对估算“天文数字”具有独特优势，已知lg 2≈0.301，lg 5≈0.699，则2.510的估算值为(　　) A.1 000 B.100 000 C.10 000 D.2 500 4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A.log2x B. C. D.2x－2 5.下列不等式成立的是(其中a＞0且a≠1)(　　) A.loga5.1＜loga5.9 B.2.1＞2.2 C.log1.1(a＋1)＜log1.1a D.log32.9＜log0.52.2 6.已知a＝70.3，b＝0.37，c＝log70.3，则(　　) A.c＜b＜a B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.a＜c＜b 7.已知函数f(x)＝log2x的值域是[1，2]，则函数φ(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为(　　) A.[，2] B.[2，4] C.[4，8] D.[1，2] 8.当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2] D. 9.(多选)已知函数y＝log2，下列说法正确的有(　　) A.图象关于原点对称 B.图象关于y轴对称 C.图象过原点 D.定义域为(－2，2) 二、填空题 10.比较大小： (1)log22________log2；(2)log8π________logπ8. 11.设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________ 12.函数f(x)＝(3＋2x－x2)的值域为________ 13.对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________ 三、解答题 14.比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1)． 15.已知f(x)＝log3x． (1)作出函数f(x)的图象； (2)当0＜a＜2时，利用图象判断是否有满足f(a)＞f(2)的a值． 16.已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1). (1)求函数f(x)－g(x)的定义域； (2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明； (3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的取值范围． 参考答案及解析： 一、选择题 1.D 解析：函数f(x)＝，函数f(x)与函数g(x)图象关于y＝x对称，则函数g(x)是f(x)的反函数，g(x)＝x，故y＝g(9－x2)＝(9－x2)，9－x2＞0，解得－3＜x＜3.令u＝9－x2，－3＜x＜3，u＝9－x2在(－3，0)单调递增，在(0，3)上单调递减，y＝u在(0，＋∞)上单调递减，故g(9－x2)的单调减区间是(－3，0].故选D. 2.B 解析：题目中隐含条件a＞0，当a＞0时，2－ax为减函数，故要使y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a＞1，且2－ax在x∈[0，1]上恒为正数，即2－a＞0，故可得1＜a＜2. 3.C 解析：令2.510＝x，则lg x＝lg 2.510＝10lg ＝10(lg 5－lg 2)≈10×(0.699－0.301)≈4，所以x≈104，即2.510的估算值为10 000.故选C. 4.A 解析：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax.又因为f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x. 5.B 解析：对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9＞0，log0.52.2＜0，故不成立．故选B． 6.A 解析：因为a＝70.3＞70＝1，0＜b＝0.37＜0.30＝1，c＝log70.3＜log71＝0，所以c＜b＜a．故选A． 7.A 解析：∵f(x)的值域为[1，2]，∴1≤log2x≤2，∴2≤x≤4，∴f(x)的定义域为[2，4].∴φ(x)＝f(2x)＋f(x2)满足解得≤x≤2，∴φ(x)的定义域为[，2].故选A. 8.C 解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图所示，要使当x∈(1，2)时，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，解得1＜a≤2．故选C． 9.ACD 解析：由于函数的定义域为(－2，2)，关于原点对称．又因为f(－x)＝log2＝－log2＝－f (x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又因为当x＝0时，y＝0.故选ACD. 二、填空题 10.答案：(1)＞　(2)＜ 解析：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞，所以log22＞log2. (2)因为函数y＝log8x为定义域上的增函数，且π＜8，所以log8π＜log88＝1.同理1＝logππ＜logπ8，所以log8π＜logπ8. 11.答案：4 解析：因为a＞1，所以f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增，所以loga(2a)－logaa＝，即loga2＝，所以＝2，解得a＝4. 12.答案：[－2，＋∞) 解析：设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4．因为u＞0，所以0＜u≤4．又因为y＝u在(0，＋∞)上单调递减，所以u≥4＝－2，所以函数f(x)的值域为[－2，＋∞)． 13.答案：，，， 解析：当a＞1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0＜a＜1时，对数函数y＝logax的图象是下降的．对数的底数越大，对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向．故曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是，，，． 三、解答题 14.解：(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log31.9＜log32． (2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32． (3)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，则有logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，则有logaπ＜loga3.14． 15.解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示． (2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2． 由如图所示的图象知，当0＜a＜2时，恒有f(a)＜f(2)． 故当0＜a＜2时，不存在满足f(a)＞f(2)的a值． 16.解：(1)若使f(x)－g(x)的解析式有意义，须使f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)的解析式都有意义，即解得－＜x＜， 所以函数f(x)－g(x)的定义域是. (2)函数f(x)－g(x)是奇函数，理由如下： 由(1)知函数f(x)－g(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(－x)－g(－x)＝loga(3－2x)－loga(3＋2x)＝－[loga(3＋2x)－loga(3－2x)]＝－[f(x)－g(x)]， ∴函数f(x)－g(x)是奇函数． (3)若f(x)－g(x)＞0，即loga(3＋2x)＞loga(3－2x). 当a＞1，则3＋2x＞3－2x，解得x＞0，由(1)可得此时x的取值范围是； 当0＜a＜1，则3＋2x＜3－2x，解得x＜0，由(1)可得此时x的取值范围是. 综上，当a＞1时，x的取值范围是；当0＜a＜1时，x的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$