2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 教学课题 2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式 学科 高中数学 年级 高一 时长 1课时 教学背景分析 学生在初中学习了等式、方程的知识，掌握了一元一次函数、一元二次函数的图象和性质，对如何研究一个代数对象已经有了初步的感受；并且学习过从一元一次函数观点看一元一次方程、一元一次不等式，这为类比用一元二次函数的观点看一元二次方程、一元二次不等式打下了一定的基础。 教学目标 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养。 2.能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升数学运算的核心素养。 重难点 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养。 2.能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升数学运算的核心素养。 教学方式与策略 1.重点：理解三个 “二次”的关系，利用函数图像求一元二次不等式的解集。 2.难点：探究一元二次函数根的分布情况与不等式解集的关系。 教学活动设计 活动内容 活动意图 时间分配 一、温故知新： 问题1：三个一次之间的关系，类比建构二次之间的关系。 请观察一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题： （1） 函数y=2x-6与x轴的交点的横坐标为 ； （2）方程2x-6=0的根为 ； （3）不等式2x-6>0的解集为 ； 4..不等式2x-6<0的解集为 ； 内在联系：一次函数y=2x−6与x轴的交点横坐标（零点）就是一元一次方程2x−6=0的根，也就对应一元一次不等式的解集。x>3 x=3 x<3 （3，0） 先回顾三个“一次”，感受数形结合的思想，然后过渡到利用二次函数的图象加深对一元二次不等式的理解，为下一个环节作铺垫. 4分钟 二、步步设疑，激发思考 问题2：园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 教师让学生类比一元一次不等式，说出这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？ 知识点1：一元二次不等式 1.定义： 2.一般形式： 为求一元二次不等式的解集做铺垫，通过生活中的实际问题，激发学生的学习积极性，更高效地投入课堂。 三、合作探究，共解问题 问题3：类比一次函数，一元一次方程及一元一次不等式三者之间的联系。能否得到二次函数与一元二次方程、不等式三者之间的联系，及对应不等式的求解方法？我们继续以不等式x2-12x+20<0为例。 请根据二次函数y=x2-12x+20的图象,并回答下列问题： （1）函数y=x2-12x+20与x轴的交点的横坐标为 ； （2）方程x2-12x+20=0的根为 ； 拓展知识：二次函数零点：一般地，对于二次函数y=ax²+bx+c，我们把使ax²+bx+c=0的实数x 叫做二次函数y=ax²+bx+c的零点. 注意：零点不是点，是交点的横坐标，是数。 （3）不等式x2-12x+20>0的解集为 ； （4）不等式x2-12x+20<0的解集为 ； 问题4：在上述求解不等式的过程中，我们利用了什么数学思想和方法？ 问题5：可以把上述的思想方法推广到求一般的一元二次不等式的解集吗？并找到一元二次方程，一元二次不等式与相应的函数，这三个“二次”之间的联系。（小组活动）仿照上述过程讨论填写“三个二次”之间的关系表格。 知识点2 一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表： 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 从引例中的具体问题入手，树立学生数形结合的数学思想，为推广一元二次不等式求解做准备。 学生小组讨论，培养学生合作探究的能力和从特殊到一般及数形结合的数学思想。 四、学以致用 例：求下列不等式的解集. （1）x²-5x+6>0 （2）9x²-6x>- 1 （3）-x²+2x-3>0 过练习巩固本节所学知识，提高解决一元二次不等式的的能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。 六、归纳小结 思考：利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤是什么？ 解一元二次不等式的一般步骤： 1.化标准形式 2.算判别式 3.判实根 4.定零点，画草图 5.看图写解集 通过自己整理知识框架，做到复习回忆， 巩固新知。 板书设计 2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式 1. 二次函数 2. 一元二次方程 3. 一元二次不等式 （1）定义： （2）一般形式：ax²+bx+c>0 (a≠0) （3）求解方法： 教学特色与反思 本节课首先问题情境板块中，给出问题情境后，通过分析后利用图形帮助学生理解题目意思。然后建构新知板块中，帮助学生建构一元二次不等式的概念，从思考到列式，提出猜想、验证猜想，最后得出一元二次不等式的求解过程。其次在学以致用板块中，符合针对性原则，练习题中呈现了不同难度、不同类型的题目，分析问题和解答过程，培养学生养成先分析后解答的良好习惯。最后归纳小结板块中，以简单的记忆口诀的形式，将本节课的重点呈 现出来，更便于学生理解记忆。 学科网（北京）股份有限公司 $$