第四章 指数函数与对数函数章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数章末检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 题号 一 二 三 四 总分 得分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，那么是（    ） A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数 C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数 3．函数过定点（    ） A． B． C． D． 4．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A． B． C． D． 5．定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．已知实数x，y满足，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有12个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 10．关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．对任意，，都有 11．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知a∈R，函数f（x）有且仅有一个零点，则常数a的值为 ． 13．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是 . 14．已知，为函数图象上两点，其中．已知直线的斜率等于，且，则 ； ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．设，，求证： （1）； （2）； （3）. 16．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1). （1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性； （2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？ 17．已知定义域为R的函数是奇函数． (1)求a，b的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 18．已知函数（a>0且a≠1）是奇函数． (1)求m的值； (2)当a>1时，判断f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性并加以证明； (3)当a>1，时，f（x）的值域是（1，＋∞），求a的值. 19．设（a为实常数），与的图像关于y轴对称. (1)若函数为奇函数，求a的取值； (2)当a=0时，若关于x的方程有两个不等实根，求m的范围； (3)当|a|<1时，求方程的实数根个数，并加以证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数章末检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 题号 一 二 三 四 总分 得分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求指对数函数的值域确定集合，再应用交运算求集合. 【详解】由题设，，， 所以. 故选：B 2．设，，那么是（    ） A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数 C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数 【答案】D 【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数的单调性判断在上的单调性即可. 【详解】，， ， 故为偶函数,当时，，是增函数， 故选：D． 3．函数过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数恒过点，令，即得解. 【详解】由于函数恒过点，令，则，， 故函数恒过定点. 故选：C 4．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解. 【详解】由，得时，，即； 时，；， . 故选：A. 5．定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 所以，即是周期为2的函数， 由，可得， 因为在区间上函数恰有4个不同的零点， 所以函数与的图象在区间上有4个交点， 作出函数与的大致图象， 由图象可知，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D. 6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围 【详解】解：令， ∵ 在上单调递减， ∴ 在内递增，且恒大于0， 且， ． 故选：C． 7．已知实数x，y满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数与指数函数单调性比较大小，即可得的大小. 【详解】解：因为 则， 所以， 故； 设，则， 所以，又因为，因此，即． 综上，. 故选：B． 8．已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有12个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题中条件，得到关于直线对称，周期为；再由已知解析式，根据对称性和奇偶性，得到在恒成立；将原不等式化为，根据函数性质，由题意，判定在有3个整数解；求出函数值得到，进而可判断出结果. 【详解】∵偶函数满足， 所以关于直线对称，且，所以的周期为； ∵当时，，又函数关于直线对称，且为偶函数， 所以在恒成立； 因此由得，所以； 又关于的不等式在上有且只有12个整数解， 所以在上有且只有12个整数解，根据偶函数的对称性可知， 在上有6个整数解；因此在有3个整数解； 由得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 又，，，，， 则， 为使在有3个整数解，只需这三个整数解为， ∴，∴. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D. 【详解】解：对于选项A，由换底公式可得，故A不正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，设，两边分别平方可得，因为，所以，故，故C不正确； 对于选项D，，故D正确． 故选：BD． 10．关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是减函数 D．对任意，，都有 【答案】BCD 【分析】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断 【详解】对于A，由得，故的定义域为，故A错误， 对于B，的定义域为，，则为奇函数，故B正确， 对于C，，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确， 对于D，任意，，， ，，故D正确， 故选：BCD 11．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】因为是偶函数，化简，，．再利用在上单调递增，得解 【详解】因为是偶函数， 所以， ， ． 因为， ，所以． 因为在上单调递增， 所以． 所以． 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知a∈R，函数f（x）有且仅有一个零点，则常数a的值为 ． 【答案】0、1、﹣1. 【解析】对分式进行通分可，结合零点的概念令分子等于0，注意分母不为0的情形即可得结果. 【详解】根据题意，f（x）， 若f（x）有且仅有一个零点， 则方程有且只有一个根， 若a＝0，则x．符合题意， 若a＝1，则x＝0，符合题意； 若a＝﹣1，则x＝0，符合题意； 其余情况下：x＝0或x，不符合题意；故a＝0、1、﹣1； 故答案为：0、1、﹣1． 13．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】由奇偶性得的值，再根据函数的奇偶性与单调性化简后求解， 【详解】由题意可得 则 当时，单调递增，因为是偶函数， 所以当时单调递减，而 故等价于，得， 解得或， 故答案为： 14．已知，为函数图象上两点，其中．已知直线的斜率等于，且，则 ； ． 【答案】 【解析】根据题干，设，，代入函数，直线斜率公式以及两点间距离公式，解方程即可求得的值，进而求解. 【详解】∵，为函数图象上两点，其中．直线的斜率等于，且， ∴，解得，，， ∴，． 故答案为：，． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．设，，求证： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解． 【分析】（1）根据指数幂的运算可证； （2）根据指数幂的运算可证； （3）根据指数幂的运算可证． 【详解】（1）； （2），又，； （3），又 ． 16．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1). （1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性； （2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？ 【答案】（1）答案见解析；（2）当a>1时，x的取值范围是；当0<a<1时，x的取值范围是. 【分析】（1）由题意按照a>1、0<a<1分类，结合指数函数的性质即可得解； （2）由题意转化条件得，按照a>1、0<a<1分类，结合指数函数的性质即可得解. 【详解】（1）当a>1时，f (x)=ax是R上的增函数， 由于0<<1，所以g(x)=是R上的减函数； 当0<a<1时，f (x)=ax是R上的减函数， 由于>1，所以g(x)=是R上的增函数； （2）， 当a>1时，x<0；当0<a<1时，x>0. ∴当a>1时，x的取值范围是； 当0<a<1时，x的取值范围是. 17．已知定义域为R的函数是奇函数． (1)求a，b的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)，． (2)在上为减函数，证明见解析． (3)． 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减涵数． （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 18．已知函数（a>0且a≠1）是奇函数． (1)求m的值； (2)当a>1时，判断f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性并加以证明； (3)当a>1，时，f（x）的值域是（1，＋∞），求a的值. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由已可得化为，求得，检验可得结果； （2）任取，先证明，再讨论两种情况，即可得结果； （3）由在上递减，可得， 解得. 【详解】（1）由已知 即， ∴， ∴ 当时，舍去 ∴.经检验满足题意. （2）由（1）得，任取 , 又 ∴0＜＜1 当时，＞0，∴，此时为增函数 当时，＜0，∴，此时为减函数． （3）由（2）知：当时，在为减函数 又 即在上递减，∴ . 19．设（a为实常数），与的图像关于y轴对称. (1)若函数为奇函数，求a的取值； (2)当a=0时，若关于x的方程有两个不等实根，求m的范围； (3)当|a|<1时，求方程的实数根个数，并加以证明. 【答案】(1) (2) (3)有唯一实数根，证明见解析 【分析】（1）由奇函数的性质列方程即可求得的值； （2）把关于x的方程有两个不等实根，转化成一元二次方程根的分布去解决即可； （3）先构建一个新函数，再去判定函数的零点情况即可解决. 【详解】（1）设点为图像上任意一点，关于y轴的对称点为， 由题意可知在上，则有，，故 由 为奇函数，则有 故，（经检验，时是奇函数） （2）时， 由可得，，即 令，则有两个不等正根 则有，，解之得， （3）令     由，可知， 则时，与均单调递增，故上单调递增， 又时，， 故在上有唯一零点； 又当时，恒成立，即在上无零点. 综上可知，方程有且仅有一个实数根. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$