1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第一课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教2019A版选择性必修 第一册 1.4 空间向量的应用 第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 立体几何 点、直线、平面 位置关系 度量问题 距离 夹角 垂直 平行 空间向量 点到直线的距离 P l 立体几何中的距离问题包括了以下： 点到直线的距离 两平行线之间的距离 l n 点到平面的距离 α P 直线到平面的距离 l α 两个平行平面间的距离 α β 点到平面的距离 问题1 P 是直线 l 外的一点，如何求出点 P 到 l 的距离 ？ P l B 直线 l 上的方向向量为 则直线 l 上的单位方向向量为 A Q 设 垂线段 PQ 的长度为点 P 到直线 l 的距离 点到线的距离公式 P l B A Q 其中 ， 直线 l 上的单位方向向量 一、点到线的距离 求点到直线的距离的一般步骤 P l B A Q (1) 求所求点与直线上某一点所构成的向量 和直线的单位方向向量 (2) 计算 a 在直线上的投影长度 (3) 利用勾股定理求解 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 为平面 A1ABB1 的中心， E 为 BC 的中点，求点 O 到直线 A1E 的距离 《三维》P 注意点： 如果两条直线 l ，m 互相平行，可在其中一条直线 l 上任取一点 P， 将两条平行直线的距离转化为点 P 到直线 m 的距离求解 l m P 在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E 为线段 DD1 的中点，F 为线段 BB1 的中点， 求直线 FC1 到直线 AE 的距离. 问题2 P 是平面 α 外的一点，如何求出点 P 到 α 的距离 ？ α P Q 垂线段 PQ 的长度为点 P 到平面 α 的距离 设平面 α 的法向量为 n ，A 是平面 α 内的定点 A n PQ 为 在法向量 n 的投影 点到平面的距离公式 其中 A 为平面 α 内的定点， n 为平面 α 的法向量 α P Q A n 二、点到面的距离 求点到直线的距离的一般步骤 (1) 求所求点与平面内某一点所构成的向量 和平面的法向量向量 (2) 求距离 α P Q A n 在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E，F 分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面 B1EF 的距离等于 在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°， M 为 BB1 的中点，N 为 BC 的中点. 求点 N 到平面 MA1C1 的距离. 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，PD⊥平面 ABCD ，且 PD＝1， E，F 分别为 AB，BC 的中点，求点 D 到平面 PEF 的距离. 如果一条直线 l 与一个平面 α 平行，可在直线 l 上任取一点 P， 将线面距离转化为点 P 到平面 α 的距离求解 l α P 如果两个平面 α，β 互相平行，可在其中一个平面 α 内任取一点 P， 将两个平行平面的距离转化为点 P 到平面 β 的距离求解 α β P 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4，M，N，E，F 分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离． $$