第二章 一元二次函数、方程和不等式章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式章末检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 题号 一 二 三 四 总分 得分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．－4 B．4 C．5 D．8 5．已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题正确的个数是（    ） ① ②若，，则； ③不等式成立的一个充分不必要条件是或； ④若、、是全不为0的实数，则“”是“不等式和解集相同”的充分不必要条件． A．1 B．2 C．3 D．4 7．若函数满足，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C．图象的对称轴为直线 D．f（x）的最小值为－1 8．已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB，则下列结论正确的为（　　）      A． B． C． D． 10．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 11．已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．的最小值是 C．若有解，则m的取值范围是或 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是 ． 13．二次函数（）的大致图象如图所示，顶点坐标为（，），下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有 个． 14．函数，若，使得，则的取值范围是 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于x的不等式． 16．（本小题15分）若不等式的解集是． (1)解不等式； (2)b为何值时，的解集为R． 17．（本小题17分）设函数y=mx2-mx-1. (1)若对任意x∈R，使得y<0成立，求实数m的取值范围； (2)若对于任意x∈[1，3]，y<-m+5恒成立，求实数m的取值范围. 18．（本小题17分）已知函数． (1)当时，求函数在上的取值范围； (2)当时，求函数在上的最大值. 19．（本小题17分）集合A＝{x|}，B＝{x|}； （1）用区间表示集合A； （2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B； （3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式章末检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 题号 一 二 三 四 总分 得分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，再根据题中条件即可求得范围. 【详解】设 ， 则， 所以， 又，， 则， 所以， 故选： 2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式求得的范围，由二次函数性质求得的最大值后可得结论． 【详解】、为互不相等的正实数，则， 所以， ，时，， 所以． 故选：A． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得， 由已知且，若，则，所以，，则，矛盾. 若，则，从而，合乎题意. 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．－4 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值. 【详解】由的解集为， 则，且，是方程的两根， 由根与系数的关系知， 解得，，当且仅当时等号成立， 故， 设， 函数在上单调递增， 所以 所以的最小值为5. 故选：C 5．已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在等式的两边同乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为正实数、满足， 等式两边同乘以可得， 所以，， 因为，解得，当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故选：C. 6．下列命题正确的个数是（    ） ① ②若，，则； ③不等式成立的一个充分不必要条件是或； ④若、、是全不为0的实数，则“”是“不等式和解集相同”的充分不必要条件． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④； 【详解】解：对于①，当，时，当且仅当时取等号，若、满足，显然，故①错误； 对于②，若，，则，故，故，故②正确； 对于③，使不等式，整理得，故或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故③正确； 对于④，不等式与的解集都为，但是， 若，则不等式与的解集不相同， 故若、、是全不为0的实数，则“”是 “不等式和解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误． 故选：B． 7．若函数满足，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C．图象的对称轴为直线 D．f（x）的最小值为－1 【答案】C 【分析】根据已知求出，再利用二次函数的性质判断得解. 【详解】解：由题得，解得，， 所以， 因为，所以选项A正确； 所以，所以选项B正确；因为，所以选项D正确； 因为的对称轴为，所以选项C错误． 故选：C 8．已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解. 【详解】由已知可得－2，3是方程的两根， 则由根与系数的关系可得且，解得，所以A正确； 对于B，化简为，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，化简为：，解得，D错误． 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB，则下列结论正确的为（　　）      A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用函数图象开口、与轴交点位置以及对称轴方程可判断A；将x＝1代入函数，可判断B；根据OC＝2OB，设得，代入函数可判断C；根据韦达定理可判断D. 【详解】对于A，根据图象，可知a＞0，c＜0，又对称轴x，则b＞0， 则，故A正确； 对于B，当x＝1时，y＝a+b+c，不能说明y的值是否大于0，故B错误； 对于C，设， ∵OC＝2OB，∴，∴，∴， 将点B代入函数，得，故，故C正确； 对于D，当y＝0时，，方程的两个根， 所以，则D正确. 故选：ACD． 10．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】BCD 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断. 【详解】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误； 由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确； 由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故C选项正确； 由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确. 故选：BCD. 11．已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．的最小值是 C．若有解，则m的取值范围是或 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答. 【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且， 于是得，即， 对于A，不等式化为：，解得，A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取“=”，B正确； 对于C，，令，则在上单调递增， 即有，因有解，则，解得或，C不正确； 对于D，当时，，则，， 依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3， 从而得或，因此，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定系数，则在上恒成立，利用二次函数的性质有即可求结果. 【详解】由题设，且，可得， 所以在上恒成立， 而在上递增，故只需即可， 所以. 故答案为： 13．二次函数（）的大致图象如图所示，顶点坐标为（，），下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有 个． 【答案】4 【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得、，进而判断②③；由有两个根和，且，即可判断④；讨论，结合根与系数关系求四个根的和判断⑤. 【详解】抛物线的开口向上，则，对称轴在轴的左侧，则，交轴的负半轴，则， ，①错误； 抛物线的顶点坐标， ，， ，， 抛物线的解析式为， ，②正确， ，③正确， 抛物线交轴于，， 若方程有两个根和，且，则，④正确， 若方程有四个根，设方程的两根分别为，，则，可得， 设方程的两根分别为，，则，可得， 所以这四个根的和为，⑤正确， 故答案为：4 14．函数，若，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可知，若 ，使得，即在上的值域要包含在上的值域，由此在对进行分类讨论，即可求出结果. 【详解】若，使得，即在上的值域要包含在上的值域，又在上. ①当时，单调递减，此时， 解得； ②当时，，显然不满足题设； ③当时，单调递增，此时， 解得. 综上: 的取值范围为. 故答案为: 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)a＝2，b＝1； (2)答案见解析 【分析】（1）由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a、b的值； （2）b＝1时不等式可化为，讨论a与1的大小，从而求出不等式的解集． 【详解】（1）由函数，不等式化为，由不等式的解集为，所以方程的两根为1和2， 由根与系数的关系知：，解得a＝2，b＝1； （2）b＝1时不等式，可化为 即； 当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a； 当a＝1时，解不等式得x≠1； 当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1． 综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}； a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}； a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}． 16．（本小题15分）若不等式的解集是． (1)解不等式； (2)b为何值时，的解集为R． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的值，然后解不等式即可， （2）由（1）可知的解集为R，从而可得，进而可求出的取值范围 【详解】（1）由题意得和1是方程的两个根，则有，解得， 所以不等式化为，， 解得或， 所以不等式的解集为或 （2）由（1）可知的解集为R， 所以，解得， 所以的取值范围为 17．（本小题17分）设函数y=mx2-mx-1. (1)若对任意x∈R，使得y<0成立，求实数m的取值范围； (2)若对于任意x∈[1，3]，y<-m+5恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)（-4，0] (2) 【分析】（1）由mx2-mx-1<0，对任意x∈R恒成立，利用判别式法求解； （2）由当x∈[1，3]时，y<-m+5恒成立，转化为，对x∈[1，3]时恒成立求解. 【详解】（1）解：要使mx2-mx-1<0，对任意x∈R恒成立， 若m=0，显然一1<0，满足题意； 若m≠0，则， 解得-4<m<0 综上，-4<m≤0，即m的取值范围是（-4，0]. （2）当x∈[1，3]时，y<-m+5恒成立， 即当x∈[1，3]时，m（x2-x+1）-6<0成立. 因为，且， 所以， 因为函数在上的最小值为， 所以只需即可， 即实数的取值范围为. 18．（本小题17分）已知函数． (1)当时，求函数在上的取值范围； (2)当时，求函数在上的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数配方后，可得其对称轴，从而可求得其单调区间，进而可求出的取值范围， （2）对函数配方后，可得其对称轴，然后分和两种情况求出函数的最大值 【详解】（1）当时，， 对称轴为直线， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，，，， 函数在区间上的取值范围是； （2）当时，， 对称轴为直线， 当时，函数在上的最大值； 当时，函数在上的最大值； 函数在上的最大值. 19．（本小题17分）集合A＝{x|}，B＝{x|}； （1）用区间表示集合A； （2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B； （3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3），. 【分析】（1）解分式不等式即可得集合A；（2）利用基本不等式求得b的最小值，将b代入并因式分解，即可得解；（3）由题意知A⊆B，对a分类讨论即求得范围 【详解】解：（1）由，有，解得x≤﹣2或x＞3 ∴A＝(-∞, -2]∪(3, +∞) （2）t＞2， 当且仅当t＝5时取等号，故 即为：且a＞0 ∴，解得 故B＝{x| } （3）b＜0，A∩B＝A，有A⊆B，而 可得： a＝0时，化为：2x﹣b＜0，解得但不满足A⊆B，舍去 a＞0时，解得：或但不满足A⊆B，舍去 a＜0时，解得或 ∵A⊆B ∴，解得 ∴a、b 的取值范围是a∈，b∈ (- 4,0). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$